Funktioner generelt

1. Funktioner generelt Disposition Signe og Lea, Hh2øa

2. Disposition • Omvendte funktioner • Sammensatte funktioner • Irrationelle funktioner • Funktionsundersøgelse

3. Omvendte funktioner • For at kunne finde den omvendte funktion, skal funktionen være invertibel. Funktionen skal altså være sammenhængende. • Vi ved, at vi har en funktion, hvor der til et x svarer et y. Vi siger vi sender x over i y, og skriver: f(x) = y = forskriften for funktionen • Den omvendte funktion, er den funktion, der sender x ”hjem” igen. • Den generelle forskrift for den omvendte funktion hedder følgende: f-1(x) = f -1(x) = x - f f--1

4. Sammensatte funktioner • En sammensat funktion, er 2 funktioner, der sættes sammen til én. Man kan ikke bare sætte dem sammen, men de skal ’regnes’ ind i hinanden. Det gør man ved at sige f(g(x)). • Eksempel

5. Irrationelle funktioner • ex, og ln(x) • Nedenfor vises de 3 funktioner i et koordinatsystem. Til venstre ses, • hvorfor f-1 af ex er ln(x) og omvendt. Dette er det, fordi de vil overlappe hinanden hvis den ene blev drejet 180 grader.

6. Sammensatte irrationelle funktioner • Ligesom almindelige funktioner kan være sammensatte, kan irrationelle det også. For at finde f’ for sammensatte irrationelle funktioner anvendes denne ligning: (f(g(x)))’ = f’(g(x))*g’(x) Eksempel  Givet er en sammensat funktion. h(x) = Indre funktion: g(x) = g’(x) = 8x Ydre funktion: f(x) = f’(x) = Så anvendes den tidligere nævnte ligning. h’(x) * 8x h’(x) =

7. Funktionsundersøgelse 3. gradsfunktion  f(x) = ax3+bx2+cx+d • Hvis a er positiv er funktionen voksende til at starte med. • Hvis a er negativ er funktionen aftagende til at starte med. • D-værdien fortæller hvor funktionen skærer i y-aksen. • Eksempel

8. Funktionsundersøgelse • Definitionsmængde • Værdimængde • Nulpunkter • Fortegnsvariation

9. Funktionsundersøgelse • Monotoniforhold Dette er målt i forhold til x-aksen. • Ekstrema Først differentieres funktionen Formel for differentialregning: f(x) = axn f’(x) = n*axn-1 f’(x) = 0 Lokalt/globalt

10. Funktionsundersøgelse • Vendetangent En vendetangent er det punkt, der ligger, hvor f ” (x)=0 f ”(x) findes ved at differentiere en givet funktion 2 gange – altså først finde f’(x) og derefter differentiere den igen. Derfor hedder det f-dobbeltmærke Eksempel ved 3. gradsfunktion