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TEORIA

TEORIA. MODELLO CLASSICO OSCILLATORE ARMONICO LIBERO FORZATO FORZATO E SMORZATO MODELLO SEMICLASSICO MATERIA QUANTISTICA CAMPO CLASSICO MODELLO QUANTISTICO MATERIA E CAMPO QUANTISTICI.

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  1. TEORIA • MODELLO CLASSICO OSCILLATORE ARMONICO LIBERO FORZATO FORZATO E SMORZATO • MODELLO SEMICLASSICO MATERIA QUANTISTICA CAMPO CLASSICO • MODELLO QUANTISTICO MATERIA E CAMPO QUANTISTICI

  2. Modello dell’elettrone come oscillatore classico Struttura atomica: - L’elettrone ruota attorno al nucleo di massa elevata, formando una nuvola di carica elettronica - In assenza di campo elettrico esterno <x>elettrone = 0 e  = 0 - Quando il campo elettrico viene applicato, le forze sull’elettrone e sul nucleo sono in direzioni opposte, si crea un dipolo elettrico - Per elevate frequenze del campo, solo l’elettrone si muove - La forza di richiamo sulla nuvola elettronica è proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio E - q(t) + + Campo elettrico esterno applicato Nessun campo esterno

  3. La nuvola elettronica viene vista come una massa legata ad una molla, la forza attrattiva tra il nucleo e la nuvola elettronica come la molla che fornisce la forza di richiamo - F = -eE - q(t) +

  4. OSCILLATORE ARMONICO LIBERO Oscillatore ha una propria frequenza 0

  5. OSCILLATORE FORZATO Campo elettrico E = E0 cos t con frequenza angolare  L’oscillatore vibra non alla frequenza propria 0, ma alla frequenza del campo  Ampiezza massima dell’oscillazione q0 cresce tanto più quanto più si avvicina ad 0 RISONANZA

  6. OSCILLATORE FORZATO E SMORZATO L’oscillatore perde energia per emissione spontanea o collisione Forze dissipative assunteproporzionali alla velocità L’oscillatore si muove alla frequenza del campo esterno, ma con un ritardo di fase  Ancora condizione di risonanza, ma q0 rimane finito

  7. L’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza curva di tipo Lorentziano

  8. L’intensità di una linea dello spettro dipende da • numero di molecole Ni per volume unitario che sono nello stato iniziale (densità di popolazione) • probabilità che la transizione abbia luogo

  9. Vibrazionale Rotazionale Elettronico 1. POPOLAZIONE DEI LIVELLI • A. Effetto della separazione dei livelli Livelli ΔE(cm-1)N/N0 a 300 K • Elettronici 20000 2 10-42 • Vibrazionali 21503.3 10-5 • Rotazionali 10 0.953

  10. B.Effetto della temperatura Energia 0 K T media T elevata

  11. condizione di Bohr L-U= h U h L Assorbimento di Radiazione L’assorbimento di radiazione di solito coinvolge 1 fotone Radiazione di intensità molto alta (laser) può produrre assorbimento di più fotoni (vedi Laser) Dati 2 stati L e U con energie L e U. La differenza di energia tra gli stati deve corrispondere esattamente all’energia del fotone

  12. U U h h 2h L L Emissione di Radiazione EmissioneStimolata L’emissione stimolata è l’esatto analogo dell’assorbimento. Una specie eccitata interagisce con il campo elettrico oscillante e trasferisce la sua energia alla radiazione incidente. L’emissione stimolata è una parte essenziale dell’azione laser.

  13. U h L EmissioneSpontanea Una specie eccitata in assenza di campo elettrico oscillante emette un fotone. L’energia del fotone corrisponde esattamente alla differenza di energia tra gli stati

  14. Coefficienti di Einstein Densità di radiazione : energia della radiazione per unità di volume La densità di energia alla frequenza appropriata per eccitare una molecola da E1 a E2 è rappresentata da (12). N1 è il numero di molecole per volume unitario con energia E1 e N2 con energia E2. Einstein postulò la velocità di assorbimento di fotoni proporzionale alla densità di energia radiante alla frequenza appropriata e alla popolazione dello stato iniziale: B12 è il coefficiente di Einstein perl’assorbimento stimolato

  15. Le molecole in E2 emettono spontaneamente. La velocità diemissione spontaneaè data da: A21 è il coefficiente di Einstein per l’emissione spontanea L’emissione stimolatada E2 coinvolge la densità di energia radiante alla stessa frequenza: I 3 processi avvengono simultaneamente:

  16. All’equilibrio, dN1/dt=0. Pertanto: All’equilibrio N1/N2 è dato dalla distribuzione di Boltzmann : La legge di distribuzione del corpo nero di Planck: L’uguaglianza delle due espressioni richiede: B12 = B21 = B

  17. Assorbimento stimolato Emissione spontanea Emissione stimolata INTERAZIONE MATERIA - CAMPO ELETTROMAGNETICO B12 = B21 A ÷ 3 B

  18. MODELLO SEMICLASSICO • Equazione di Schroedinger dipendente dal tempo iħ  (r,t)   t = H (r,t) • Se H è indipendente dal tempo si possono separare le variabili (r,t) = φ (r) T(t) • La soluzione è T(t) = e- iEnt/ħ con H φn= Enφn

  19. Siano due stati stazionari E2 E1 Introduciamo ora il campo elettromagnetico sotto forma di una debole perturbazione H’(t)

  20. ed integro rispetto adR Premoltiplico per Quindi

  21. Usando le condizioni di ortonormalità t = 0 il sistema si trova nello stato 1 a1(0) = 1 a2(0) = 0

  22. Il termine principale dell’interazione tra la materia ed il campo elettromagnetico è dato dal termine di dipolo Momento di transizione di dipolo Se l’integrale è diverso da zero la transizione è permessa, altrimenti è proibita Regole di selezione

  23. REGOLE DI SELEZIONE E MOMENTI DI TRANSIZIONE • Il momento di dipolo cambia quando un elettrone 1s diventa un 2p (non un 2s) • Il cambiamento in dipolo associato con la transizione 1s  2p causa l’oscillazione del campo elettromagnetico • I cambiamenti della lunghezza di legame di una molecola che vibra causano un cambiamento nel momento di dipolo che causa l’oscillazione del campo EM

  24. E = E0 cos t = E0 ½[exp(it) + exp(-it)]

  25. a2(t’) è piccolo quando  è lontano da  0 Il secondo termine è grande quando  = 0 ed il primo quando  = -0 Risonanza Introducendo il termine dissipativo si evita l’infinito.

  26. Consideriamo il caso 0≈  La probabilità di trovare il sistema nello stato 2 al tempo t’ è |a2(t’)|² Esaminiamo la parte oscillatoria di questa soluzione  = 0 -  exp(it) - 1 = exp(it/2) { exp(it/2) - exp(- it/2) } = 2i exp(it/2) sin(t/2) P2(t’) = ( |μ21|²/ħ²) E02sin²(t’/2) / (/2)²

  27. P2(t’) = ( |μ21|²/ħ²) E02sin²(t’/2) / (/2)² Quando t’ =  / Δ il sistema si trova nello stato 2 Il sistema oscilla tra i due stati

  28. P2(t’) = ( |μ21|²/ ħ²) E02sin²( t’/2) / (/2)² t2sin²( t/2) / ( t/2)² t   Al crescere di a la funzione tende ad una delta di Dirac wfi = P2(t’)/t’  2 / ħ² |μ21|²(E2 – E1 + h) Regola d’oro di Fermi La velocità di transizione non dipende dal tempo La velocità di transizione dipende dal quadrato del momento di transizione |μ21|² (E2 – E1 + h) è la condizione di Bohr

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