In een reguliere taal…

lengte n x y z A B S E x u w z x u u v v w v w z x u v v v w z x u v v v v w z In een reguliere taal… zin

x y z u v w x u v v v w z In een reguliere taal… Er is een n , zo dat … Voor elke deelzin y met lengte n … Er is een kern v , waarvoor … Voor alle i  0 … x u vi w z is ook een zin

x y z u v w x u v v v w z “Pomp-stelling” L is Regulier  n  x, y, z xyzL |y|n  u, v, w uvw=y |v|1  i  0 x u vi w z L

Pomp-stelling omdraaien…    L is Regulier  n  x, y, z xyzL |y|n  u, v, w uvw=y |v|1  i  0 x u vi w z L

Noem mij een n ! x y z …dan geef ik jeeen zin xyz … …en nou mag jij v aanwijzen … u v w …dan vind ik een i zoals nodig! Gebruik vanomgekeerde Pomp-stelling  n  x, y, z xyzL |y|n  u, v, w uvw=y |v|1  i  0 x u vi w z L  L is niet Regulier

Noem mij een n ! Nou, ehh, 7 ! …dan is hier een zin … …met een opsplitsing … a a a a a a a b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b b a a deze neem ik! neem dan i=2… a a a a a a a a a b b b b b b b Voorbeeld:{ ambm | m0 } is niet regulier …wijs maar een v aan!  L

Gevolg S aSbS   • (Hoofdstuk 2){ am bm | m0 } is contextvrij • (Pomp-stelling){ am bm | m0 } is niet regulier • Er zijn contextvrije talendie niet regulier zijn

triviaal Stelling 12 onmogelijk triviaal Stelling 13 Stelling 16 triviaal NFA DFA RE ZRG CFG RG Stelling 11 Definitie 8 +9 Definitie 4 +6 Definitie (11) Definitie 1 +3 Definitie 2.5+7 Definitie 14+15 Stelling 7 Stelling 17 Reguliere talen: overzicht

Chomsky-hierarchie • Type 3: Reguliere grammatica’slinks:Nrechts:T* N? • Type 2: Contextvrije grammatica’slinks:Nrechts: (NT)* • Type 1: Contextgevoelige grammatica’slinks: N rechts: (NT)* • Type 0: Algemene grammatica’slinks: (NT)+rechts: (NT)*

Chomsky-hierarchie • Er zijn talen die contextvrij zijnmaar niet regulier { am bm | m0 }(bewijs met Pomp-stelling) • Er zijn talen die zelfs niet contextvrij zijn { am bm cm | m0 } (bewijs met uitgebreide Pomp-stelling)

Pomp-stellingen • We kunnen ook een pompstelling formuleren voorContextvrije talen • …en daarmee bewijzen datbepaalde talen niet Contextvrij zijn • { am bm cm | m0 } is niet contextvrij

 m S knivo’s z  m k Ontleedboom bij CFG S  ……… | …… A  ………… | …… B  …… | …… | …C  …… | … | …

 m k non- terminals A A > m k Ontleedboom bij CFG S  ……… | …… A  ………… | …… B  …… | …… | …C  …… | … | … S >knivo’s z • Als de zin lang genoeg is,is er een pad met een dubbele nonterminal

S A A A A A A u v v v w w w x x x y Pomp-stelling voor CFG

S A u w y Pomp-stelling voor CFG A

S A A A A u v v w w x x y Pomp-stelling voor CFG • Voor alle i  0 …u vi w xi yis ook een zin

S A  k+1nivo’s A u v w x y Pomp-stelling voor CFG • Voor alle i  0 …u vi w xi yis ook een zin • v en x niet allebei leeg • |vwx| m k+1

x y z u v w x u v v v w z Pomp-stellingvoor Reguliere talen L is Regulier  n  x, y, z xyzL |y|n  u, v, w uvw=y |v|1  i  0 x u vi w z L namelijk|N|

Pomp-stellingvoor Contextvrije talen L is Contextvrij  c  z zL |z|>c  u,v,w,x,y uvwxy=z |vx|  1  i  0 u vi w xi y L namelijkm k namelijkm k+1 , d |vwx|  d

Omgekeerde Pomp-stellingvoor Contextvrije talen  c, d  z zL |z|>c  u,v,w,x,y uvwxy=z |vx|  1  i  0 u vi w xi y L  L is niet Contextvrij |vwx|  d

max(c,d) v v w w x x Voorbeeld:{ anbncn | n0 } is niet CF Noem mij een c,d ! …dan is hier een zin … a a a … a a a b b b … b b b c c c … c c c • Opsplitsing bevat <3 verschillende letters • Pompen met i>1 vermeerdert niet alle letters …wijs maar eenopsplitsing uvwxy aan! |vwx|  d

Als L en MCF-talen zijn dan… L  M is ook CF L M is ook CF L* is ook CF Stelling 5.11 Als L en MReg-talen zijn dan… • L  M is ook Reg • L M is ook Reg • L* is ook Reg Stelling 2.10 • L  M is niet CF • Cmpl(L) is niet CF • L  M is ook Reg • Cmpl(L) is ook Reg

Doorsnede van CF-talenis niet altijd CF • { an bn | n  0 } is contextvrij • { ck | k  0 } is contextvrij • { an bnck | n, k  0 } is contextvrij • { ak bncn | n, k  0 } is contextvrij • Met de pompstelling bewezen we: { an bncn | n  0 } is niet contextvrij • Dus CF-eigenschap blijft niet behouden onder doorsnede

a b b a a S S S S S b Ontleden met een Stackmachine • Nonterminal bovenop stack?Vervang door een van de regels! • Terminal bovenop stack?Accepteer die input S  aS S  cS S  b maar door welke? a a b

Leftmost Lookahead(k) LL(1) grammatica’s • Als je op grond van het eerstvolgende input-symboolde keuze kunt makendan is de grammatica een LL(1)-grammatica • … en kan het met de eerste k symbolendan is het een LL(k )-grammatica

Complexiteit van ontleden Tijd nodig voor het parsenvan een zin met lengte n • Contextvrije grammatica: O(n3) • Contextvrije grammaticamet LL(1)-eigenschap: O(n) Wanneer is een grammatica LL(1) ?

Definitie LL(1) Een grammatica is LL(1) • Als je op grond van het eerstvolgendeinput-symbool kunt kiezen uit alternatieven Formeel: • Als de lookahead-sets van dealternatieven van elke nonterminalonderling disjunct zijn

S N   x  Definitie Lookaheadset van alternatief N Lah(Nx) = {x} Lah(NP) = …… { x | S* N   * x }

S N N  x  x  Eigenschappen vanNonterminals … nodig om Lookahead-sets te bepalen • Empty(N) • First(N) • Follow(N) N* 

In een reguliere taal…