Lógica para Computação

1. Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. kaestner@dainf.cefetpr.br

2. Lógica Proposicional • Linguagem informal x linguagem formal (1.1); • Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; • Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); • Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU), negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…); • Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como “todos”, “algum”, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa. Prof. Celso A A Kaestner

3. Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2): • Alfabeto: • Símbolos proposicionais, variáveis proposicinais ou átomos: P = {p0, p1, p2, …}; • Conectivos: • unário: negação:  (NÃO); • binários: conjunção:  (E), disjunção:  (OU), implicação:  (SE…ENTÃO…); • Símbolos de pontuação: parênteses “(“e “)”. Prof. Celso A A Kaestner

4. Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2.1): • Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto LLP com as seguintes regras de formação: • Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P  LLP ; • Caso indutivo 1: Se A LLP então A LLP ; • Caso indutivo 2: Se A, B LLP então (A  B)  LLP, (A  B)  LLP, e (A  B)  LLP. Prof. Celso A A Kaestner

5. Lógica Proposicional • Fbf… • Exemplos … • Regras para a omissão de parênteses; • Precedência entre os conectivos. • Subfórmulas (1.2.2); • Tamanho das fórmulas (1.2.3); • Expressando idéias (1.2.4); • Exercícios. Prof. Celso A A Kaestner

6. Lógica Proposicional Semântica (= significado, 1.3): • Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; • Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0); • Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V: P {0,1}. Prof. Celso A A Kaestner

7. Lógica Proposicional • Para as fórmulas complexas: • V (A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ; • V (A  B) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1; • V (A  B) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1; • V ((A  B) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. • Matrizes dos conectivos … • Exercícios (pg.16). Prof. Celso A A Kaestner

8. Lógica Proposicional • Satisfazibilidade, Validade, Tabelas-verdade (1.4): • Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V (A ) = 1; • Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V (A ) = 0; • Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 1; • Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 0. Prof. Celso A A Kaestner

9. Lógica Proposicional • Resultados (1.4): • Toda fbf válida é também satisfazível; • Toda fbf insatisfazível é falsificável; • Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; • Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também não pode ser insatisfazível e satisfazível; • Se Aé válida, A é insatisfazível e reciprocamente; • Se A é satisfazível, A é falsificável e reciprocamente. Prof. Celso A A Kaestner

10. Lógica Proposicional • Tabelas-verdade… • http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequiz/tablepractice.html ; • http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table ; • http://www.brian-borowski.com/Truth/. • Exercícios (pg. 20). Prof. Celso A A Kaestner

11. Lógica Proposicional Conseqüência lógica(1.5): • Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1; • De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf ={A1, A2 … An }, denotando-se por |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de  também satisfaz B. Prof. Celso A A Kaestner

12. Lógica Proposicional Conseqüência lógica: • Exemplo: Modus ponens: p , (p  q) |=q . • Teorema da dedução:  , A |= B sse  |=A B . • Mais exemplos… Prof. Celso A A Kaestner

13. Lógica Proposicional Equivalência lógica: • Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A  B sse A |= B e B |= A; • Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; • Definição: A  B(A B )(BA) • Teorema: A  Bsse A  Bé tautologia. Prof. Celso A A Kaestner

14. Lógica Proposicional Equivalência lógica(1.5.1): • Algumas equivalências notáveis: • p p(dupla negação); • p  q  p q (definição de  em função de  e ); •  (p  q )  ( p  q ) e  (p  q )  ( p  q ); (Leis de De Morgan) • p ( q  r ) (p  q )(p  r )(distributividade de  sobre ); • p ( q  r ) (p  q )(p  r )(distributividade de  sobre ). Prof. Celso A A Kaestner

15. Lógica Proposicional Equivalência lógica(1.5.2): • (Re)definições de conectivos em função de  e : • p  q  p q (pq); • p  q  ( p  q ). • É possível se definir todos os conectivos em função de um só ? Prof. Celso A A Kaestner

16. Lógica Proposicional Ver http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/Novo4.pdf “Barras de Sheffer” ou “conectivos de Sheffer” são simbolizados por: • # (negação conjunta) e • |(disjunçãoalternativa), definidos pela seguinte tabela: p q p # q p | q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Prof. Celso A A Kaestner

17. Lógica Proposicional Fazendo: •  p = (p # p), e • p q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os conectivos e  a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q =(p q) e p | q =(p  q): Prof. Celso A A Kaestner

18. Lógica Proposicional • Exercícios (pg. 27). • Desafios da Lógica Proposicional (1.6)… Prof. Celso A A Kaestner