Криви на Безие, Сплайн функции

1. Криви на Безие, Сплайн функции

2. Криви на Безие, Сплайн функции Имплицитна дефиниция на крива • За нашите цели дефиниционната област на функцията f е от 2D или 3D пространството. Точките, за които функцията е 0, са точки от кривата.

3. Криви на Безие, Сплайн функции Параметрични криви: Контролират се от един параметър. Пример за параметрично уравнение на права:

4. Криви на Безие, Сплайн функции Какво е сплайн • Гладка крива, зададена чрез няколко контролни точки (параметрична дефиниция). • Местенето на контролните точки променя кривата.

5. Криви на Безие, Сплайн функции “Крива” между 2 точки • Пример за интерполация между 2 точки:

6. Криви на Безие, Сплайн функции Записано в параметрична форма: Всяка сплайн крива се записва параметрично във вида: Геометрия(G) Сплайн базис (B) Дефиниционен базис (T)

7. Криви на Безие, Сплайн функции За кривите на Безие (Bezier curves) се задават 4 контролни точки: • Начална точка на кривата P1 • Крайна точка P4 • Точка, която служи служи за определяне на допирателната към кривата в началната точка:P2 • Точка, която служи служи за определяне на допирателната към кривата в крайната точка : P3

8. Криви на Безие, Сплайн функции Примери за криви на Безие

9. Криви на Безие, Сплайн функции Параметрична форма: т.е. коефициентите, с които влияе всяка от контролните точки са функции на t: B4 B1 B3 B2

10. Криви на Безие, Сплайн функции Матрична форма

11. Криви на Безие, Сплайн функции Кубичен B-сплайн • Броя на контролните точки е >= 4 • Кривата не се изисква да минава през началната и крайната от контролните точки.

12. Криви на Безие, Сплайн функции • Параметрична форма: • Матрична форма:

13. Криви на Безие, Сплайн функции • Графика на блендващите функции за кубичен B-сплайн.

14. Криви на Безие, Сплайн функции • Предимство на B-сплайните: отделните сегменти се свързват естествено в обща гладка крива, без да се налага специална обработка на връзките.

15. Криви на Безие, Сплайн функции • Тъй като всяка контролна точка влияе на 4 сегмента, то местенето на 1 контролна точка ще промени 4 сегмента от кривата. • B-сплайн сегментите се свързват задавайки C2непрекъснатост на кривата. • B-сплайн <-> Безие: • B-сплайн крива може да бъде крива на Безие. • B-сплайн кривите притежават всички полезни свойства, които имат кривите на Безие. • B-сплайн кривите осигуряват по-гъвкав контрол над кривата. • B-сплайн кривите са полиномно дефинирани и не могат да представят прости форми като окръжност и елипса.

16. Криви на Безие, Сплайн функции Кубичен сплайн на Ермит (C-сплайн) – интерполация За интервал (0,1), с начална точка p0 в t=0 и крайна точка p1 в t=1, и тангента m0 в p0 и m1 в p1: При интерполиране на интервала (Xk, Xk+1) се използва: където

17. Криви на Безие, Сплайн функции Опростено изчисляване натангентите: В зависимост от начина на изчисляване на тангентите се получават различни сплайн интерполации. За , при C Є (0,1), се нарича кардинален сплайн. Чрез контролиране на може да се контролира и монотонността на интерполацията – Монотонен сплайн на хермит (Monotone Hermit (cubic) interpolation).

18. Криви на Безие, Сплайн функции Базови функции Пример

19. Криви на Безие, Сплайн функции Чертаене на криви • Веднъж след като имаме дефиницията, как чертаем самата крива? • Два подхода: • Намират се x(t), y(t) иz(t)за равномерно разпределени точки от дефиниционната област. Чертаят се линии между намерените точки от кривата. • Рекурсивно се подразделя кривата докато новите контролни точки се окажат задоволително близко до приближаваната крива.

20. Припомняне Метод на конволюцията за намиране на блендващите функции за сплайн Започва се от първо приближение – константна функция Индуктивната връзка на конволюцията е следната:

21. Припомняне За имаме: ... и т.н.