1 / 11

PRIMERA DERIVADA

PRIMERA DERIVADA. DÍA 47 * 1º BAD CT. ENTORNO DE UN PUNTO. INTERVALO Y ENTORNO Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b Sea un intervalo abierto (a, b) en R. Representa el conjunto de valores tales que a < x < b

carlos-jimenez
Download Presentation

PRIMERA DERIVADA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PRIMERA DERIVADA DÍA 47 * 1º BAD CT Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  2. ENTORNO DE UN PUNTO • INTERVALO Y ENTORNO • Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. • Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b • Sea un intervalo abierto (a, b) en R. • Representa el conjunto de valores tales que a < x < b • Sea el entorno cerrado E[a, r] en R. • Representa el conjunto de valores tales que (a – r) ≤ x ≤ (a + r) • Sea el entorno abierto E(a, r) en R. • Representa el conjunto de valores tales que (a – r) < x < (a + r) • El intervalo [-2, 2] representa lo mismo que el entorno E[0, 2]. • El intervalo (-1, 5] representa lo mismo que el entorno E(2, 3). • Cuando lo que interesa de una función es su comportamiento en las cercanías de un punto de su dominio se emplea el entorno. Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  3. EXTREMOS RELATIVOS • CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO • Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x=a. • f(x) es creciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: • f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). • f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). • f(x) es decreciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: • f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). • f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). • EXTREMOS RELATIVOS • f(x) tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple • f(a) ≥f(x). • f(x) tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple • f(a) ≤ f(x) Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  4. Ejemplos • EJEMPLO 1 • Sea la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 • Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 • Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) • Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ • Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) • Los intervalos a estudiar son: • (-oo, -2) , (-2, 1) y (1, +oo) • En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. • En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. • En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  5. Ejemplos • EJEMPLO 2 • Sea la función: y = x3 – 12.x • Hallamos su derivada: y ‘ = 3.x2 – 12 • Simplificamos: y ‘ = 3.(x2 – 4 ) • Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 2 son las raíces de y ‘ • Factorizamos: y ‘ = 3.( x + 2).(x – 2) • Los intervalos a estudiar son: • (-oo, -2) , (-2, 2) y (2, +oo) • En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. • En ( - 2, 2)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. • En ( 2, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  6. Gráfico f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente 0 a-r a a+r b-r b b+r Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  7. Gráfico Max(a,f(a)) f(a) f(a-r) f(a+r) f(b-r)=f(b+r) f(b) En x=a la función tiene un máximo relativo. En x=b la función tiene un mínimo relativo 0 a-r a a+r b-r b b+r Min(b,f(b)) Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  8. Ejemplos • EJEMPLO 1 • Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: • y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 • Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 • La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0 • Simplificamos: x2 + x – 2 =0 • Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 • En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. • En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. • Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. • Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  9. Máx(-2, 15) • Teníamos la función: • y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 • En x=1 • f(1)= 2 + 3 – 12 – 5 = - 12 • f(0,9) = 2.0,93 + 3.0,92 – 12.0,9 – 5 = • = - 11,92 • f(1,1) = 2.1,13 + 3.1,12 – 12.1,1 – 5 = • = - 11,908 • Luego en x=1 hay un MÍNIMO RELATIVO • En x= - 2 • F(-2)= - 16 + 12 + 24 – 5 = 36 – 21 = 15 • f(-1,9) = - 2.1,93 + 3.1,92 + 12.1,9 – 5 = 14,912 • f(-2,1) = 2.(-2,1)3 + 3.(-2,1)2 – 12.(-2,1) – 5 = 14,908 • Luego en x=-2 hay un MÁXIMO RELATIVO - 3 -2 -1 0 1 2 Mín(1, - 12) Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  10. Ejemplos • EJEMPLO 2 • Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: • y = x4 – 2.x2 • Hallamos su derivada: y ‘ = 4.x3 – 4.x • La igualamos a cero: 4.x3 – 4.x = 0 • Simplificamos: 4.x.(x2 – 1) =0 • Resolvemos la ecuación: x = 0 , x = - 1 y x = 1 • En x = 0 habrá un máximo o un mínimo relativo. • En x = -1 habrá un máximo o un mínimo relativo. • En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. • Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. Apuntes 1º Bachillerato C.T.

  11. Tenemos la función: y = x4 – 2.x2 • Estudiamos el entorno de los puntos críticos. • En x=0 • f(0)= 0 • f(0,1) = 0,14 – 2. 0,12 = 0,0001 – 0,02 = - 0,0199 • f(-0,1) = (-0,1)4 – 2. (-0,1)2 = 0,0001 – 0,02 = - 0,0199 • Luego en x=0 hay ni Máximo RELATIVO • En x=-1 • f(-1)= -1 • f(-0,9) = (-0,9)4 – 2.(-0,9)2 = 0,6561 – 1,62 = - 0,9739 • f(-1,1) = (-1,1)4 – 2.(-1,1)2 = 1,4641 – 2,42 = - 0,9559 • Luego en x=-1 hay ni Mínimo RELATIVO • En x=1 • f(1)= -1 • f(0,9) = (0,9)4 – 2.(0,9)2 = 0,6561 – 1,62 = - 0,9739 • f(1,1) = (1,1)4 – 2.(1,1)2 = 1,4641 – 2,42 = - 0,9559 • Luego en x=1 hay ni Mínimo RELATIVO Apuntes 1º Bachillerato C.T.

More Related