Aturan Inferensi

1. Aturan Inferensi x P(x)Universal instantiation P(c) P(c) utk setiap cUniversal generalization  x P(x) x P(x) Existential instantiation P(c) utk suatu c P(c) utk suatu cExistential generalization  x P(x)

2. Metode Pembuktian (1) Bukti langsung dan Tak langsung • Bukti Langsung Implikasi p  q dapat dibuktikan dengan menunjukkan jika p benar maka q juga harus benar. Soal 9. Berikan bukti langsung dari “Jika n bilangan bulat ganjil maka n2 ganjil.” • Bukti Tak langsung • Karena p  q ekivalen dengan q  p maka • p q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bhw • q  p benar. • Soal 10.Berikan bukti dari • “Jika n2 ganjil maka n ganjil.”

3. Bukti kosong dan bukti trivial Bukti kosong Jika hipotesis p dari implikasi p  q salah, maka p  q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari q. Contoh. P(n): Jika n > 1, maka n2 > 1. Tunjukkan P(0) benar. Bukti trivial Jika konklusi q dari implikasi p  q benar, maka p  q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari p. Contoh. P(n): Jika a, b integer positif dengan a  b, maka an bn. Tunjukkan P(0) benar.

4. Metode Pembuktian (2)Bukti dengan kontradiksi • Tunjukkan bahwa sedikitnya ada 4 hari yang sama dari pilihan 22 hari sebarang. • Buktikan bahwa 2 irasional. bukti tak langsung bukti dg kontradiksi • Tunjukkan bahwa jika n2 ganjil maka n ganjil.

5. Metode Pembuktian (3)Bukti eksistensi • Bukti Eksistensi Konstruktif • Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yang dapat dituliskan sebagai jumlah dua bilangan pangkat 3. • Solusi. 1729 = 103 + 93 = 123 + 13. • Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yg sama dengan jumlah bilangan-bilangan bulat positif yg tidak melebihinya. 2. Bukti Eksistensi Nonkonstruktif Tunjukkan bhw ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional. Solusi. Kita tahu bahwa 2 irrasional. Pandang 22. Jika ia rasional maka terbukti. Jika tidak, perhatikan (22)2= 22=2. Jadi terbukti ada pasangan (x=2, y =2) atau (x= 22 dan y= 2) yg salah satunya memenuhi xy rasional.

6. Metode Pembuktian (4)Bukti ketunggalan • Ada 2 bagian dalam bukti ketunggalan: • Menunjukkan bahwa ada elemen x yg memenuhi sifat yg diinginkan. (existence) • Menunjukkan bahwa jika y  x maka y tidak memenuhi sifat yg diinginkan. (uniqueness) Contoh. Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat mempunyai invers penjumlahan yang tunggal. Solusi. Jika p bulat maka p+q = 0 ketika q = -p, dan q juga bulat. Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan ada r bulat dengan r  q dan p+r=0. Maka p+q = p+r. Dengan mengurangi kedua ruas dgn p didapat q=r, kontradiksi dgn r  q. Jadi ada bilangan bulat q yang tunggal sehingga p+q=0.

7. Metode Pembuktian (5)Contoh Penyangkal (Counter Example). Tunjukkan bahwa pernyataan “setiap bilangan bulat positif adalah hasil tambah dari tiga bilangan kuadrat” adalah salah. Solusi. Pernyataan ini benar untuk beberapa nilai, mis. 1=02+02+12; 2=02+12+12 ; 3=12+12+12 ; 4=02+02+22 ; 5=02+12+22 ; 6=12+12+22 . Tapi kita tidak dapat mengekspresikan seperti di atas untuk bilangan 7. Jadi bilangan 7 merupakan contoh penyangkal dari pernyataan di atas.