670 likes | 1.79k Views
Pertidaksamaan Kuadrat. by Gisoesilo Abudi. Pengertian. Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua . Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
E N D
PertidaksamaanKuadrat by GisoesiloAbudi
Pengertian Pertidaksamaankuadratadalahsuatupertidaksamaan yang mempunyaivariabeldenganpangkattertinggidua. Himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaankuadratdapatdituliskandalambentuknotasihimpunanataudengan garis bilangan
BentukUmum ax2 + bx + c * 0 Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R Tanda (*) adalahtandapertidaksamaanyaitu : <, >, ≤, dan ≥
Langkah-langkahPenyelesaian Nyatakanpertidaksamaankuadratdalambentukpersamaankuadrat (jadikan ruas kanansamadengan 0) Carilahakar-akar dari persamaankuadrattersebut Buatlah garis bilangan yang memuatakar-akartersebut, tentukantanda (positif ataunegatif) padamasing-masingintervaldengancaramengujitandapadamasing-masinginterval. Himpunanpenyelesaiandiperoleh dari interval yang memenuhipertidaksamaantersebut.
Contoh 1 Tentukanhimpunanpenyelesaian dari pertidaksamaanx2 + 5x – 14 < 0 ! Penyelesaian. x2 + 5x – 14 < 0 ⇔ x2 + 5x – 14 = 0 (Nyatakandalampersamaankuadrat) ⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaandifaktorkanuntukmencariakar) ⇔ x = -7 atau x = 2 Garisbilangan yang memuat (-7) dan 2 -7 2
Pengujian Uji beberapatitik, misalnya : Sebelahkiri -7, diambil -10, maka : (-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif) Antara -7 dan 2, diambil 0, maka : (0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif) Sebelahkanan 2, diambil 3, maka : (3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif) Karenatandapertidaksamaanpadasoaladalah <, maka interval yang bertandanegatif yang memenuhipertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R} (+) (+) (-) 2 -7
Contoh 2 Tentukanhimpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 ! Penyelesaian. 9 - x2 ≥ 0 ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakandalampersamaankuadrat) ⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaandifaktorkanuntukmencariakar) ⇔ x = -3 atau x = 3 Garisbilangan yang memuat (-3) dan 3 -3 3
Pengujian Uji beberapatitik, misalnya : Sebelahkiri -3, diambil -4, maka : 9 - (-4)2 = – 7 (negatif) Antara -3 dan 3, diambil 0, maka : 9 - (0)2 = 9 (positif) Sebelahkanan 3, diambil 4, maka : 9 - (4)2 = -7 (negatif) Karenatandapertidaksamaanpadasoaladalah ≥, maka interval yang bertandapositif yang memenuhipertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R} (-) (-) (+) 3 -3
Latihan Agar kalian lebihmemahamicaramencariakar-akarpertidaksamaankuadratcobaAndakerjakanlatihandibukupaketErlangga. Jika kalian kelas x KelompokBisMenkerjakansoallatihanhalaman 63 no. 1 - 10 Jika kalian kelas x kelompokTeknologikerjakansoallatihanhalaman 81 - 82 no. 4. SelamatMencoba
MenerapkanPersamaan & PertidaksamaanKuadrat by GisoesiloAbudi
HubunganantaraKoefisien PK denganSifatAkar • Misalkanx1dan x2adalahakar-akarpersamaankuadratax2 + bx + c = 0. • Jikakeduaakarnyasama (x1 = x2), maka : • ⇔ D = 0 • ⇔ b2 – 4ac = 0 • ⇔ b2 = 4ac • Jikakeduaakarnyaberlawanan (x1 = -x2 ), maka : • ⇔ x1 + x2 = - b/a • ⇔ -x2 + x2 = - b/a • ⇔ 0 = - b/a • ⇔ b = 0
HubunganantaraKoefisien PK denganSifatAkar • Jikakeduaakarnyaberkebalikan (x1 = 1/x2), maka : • ⇔ x1 . x2 = c/a • ⇔ 1/x2 . x2 = c/a • ⇔ 1 = c/a • ⇔ c = a • Kesimpulan : • Akar-akarnyakembarjikadanhanyajika b2 = 4ac • Akar-akarnyaberlawananjikadanhanyajika b = 0 • Akar-akarnyaberkebalikanjikadanhanyajika c = a
Menyusun PK yang diketahuiAkar-akarnya Misalkan : MenggunakanPerkalianFaktor Jikadiketahuix1dan x2adalahakar-akarpersamaankuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0 Contoh Denganmenggunakanperkalianfaktor, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)
Penyelesaian -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuklebihjelas Anda cobauntukmencaripenyelesaiancontoh b, c, dan d.
Menyusun PK yang diketahuiAkar-akarnya Misalkan : MenggunakanRumusjumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jikadiketahuix1dan x2adalahakar-akarpersamaankuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 Contoh Denganmenggunakanrumusjumlahdanhasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)
Penyelesaian -2 dan 3 Persamaankuadratnya : ⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuklebihjelas Anda cobauntukmencaripenyelesaiancontoh b, c, dan d.
Menyusun PK BerdasarkanAkar-akar PK lain Kita dapatmenyusun PK, jikaakar-akarnyadiketahuimempunyaihubungandengan PK lain. Contoh 1 Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnyadariakar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !
Penyelesaian. x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2 Misalkanakar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1dan x2 Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2 Misalkanakar-akar PK baru yang akandicariadalahαdanβ, maka : α = x1 + 5 danβ = x2 + 5, sehingga α + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10 = 8 + 10 = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0 α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5 = x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = 2 + 5 . 8 + 25 = 67
Contoh 2 Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK barujikaakar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) ! Penyelesaian Jikaαdanβmerupakanakar-akarpersamaanbaru, maka : α = p + 2 ⇔ p = α – 2 β = q + 2 ⇔ q = β – 2 Karena p merupakansalahsatuakarpersamaanx2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0
Persamaankuadrat ax2 + bx+ c = 0, a ≠ 0, mempunyaiakar-akar x1dan x2, maka :
AplikasiPersamaan dan PertidaksamaanKuadrat Contoh Sejumlahsiswaakanpatunganuntukmembelialatpraktekseharga Rp612.000,00. Setelahmasing-masingmembayardenganjumlah yang sama, ada 3 temannya yang inginbergabung. Jikaketigaorangituikutbergabung, makamasing-masingakanmembayar Rp34.000,00 kurangnyadariyang telahmerekabayar. Tentukanjumlahsiswa yang berencanaakanmembelialatpraktektersebut !
Penyelesaian Misaljumlahsiswa : x Masing-masingsiswamembayarsebesar : (612.000 : x) Setelah 3 temannyamasuk, maka {612.000 : (x + 3)} Selisihpembayaran = pembayaranmula-mula – pembayaransetelah 3 temannyabergabung. sehisehingga ⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x ⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x+ 9)(x – 6) = 0 ⇔ x = -9 ataux = 6 Jadisebelum 3 temanbergabungada 6 siswaygpatungan