Funkce

1. Funkce Lineární funkce - příklady

2. Opakování: Funkce - definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g, h, … a obvykle zapisujeme ve tvaru: y = f(x), např. y = 2x+1 nebo ve tvaru: f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce.

3. Opakování: zápis funkce f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce, nebo-li nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

4. Opakování: obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x, přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f)

5. Opakování: zadání, zápis funkce 2) Tabulkou 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) f: y = 2x + 1 3) Grafem

6. Opakování: Lineární funkce Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + bkde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech reálných čísel. Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce. y = - 5x + 3/4 y = - 3x + 1,5 y = 0,5x - 3 y = - 1/2x – 0,75 y = 2x + 1

7. Opakování: Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y=2x-1, pro xR. Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka říkáme lineární funkce.

8. Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi y=a1x+b1; y=a2x+b2a jestliže a1=a2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímky.

9. Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b(koeficient a=1). b=2: y=x+2 b=1: y=x+1 b=0: y=x b=-1: y=x-1 Koeficient b určuje posunutí grafu ve směru osy y.Udává y-ovou souřadnici průsečíku s osou y. b=-2: y=x-2

10. Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a(koeficient b=1). a=2: y=2x+1 a=1: y=x+1 a>1funkce rostoucí a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 Funkce f je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x1<x2, pak f(x1)<f(x2). a=-2: y=-2x+1

11. Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a(koeficient b=1). a=2: y=2x+1 a=1: y=x+1 a<1funkce klesající a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x1<x2, pak f(x1)>f(x2). a=-2: y=-2x+1

12. Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a(koeficient b=1). a=2: y=2x+1 a=0funkce konstantní a=1: y=x+1 a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 Zvláštní případ lineární funkce y=b se nazývá konstantní funkce.Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. a=-2: y=-2x+1

13. Příklady Je dána funkce f: y=-3x+2 ; x -3;3). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. 1) [1; -1] … pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f, musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí patřit do definičního oboru funkce. -1=-3.1+2 -1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci patří. 2) [2; 4] 4=-3.2+2 4-4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci nepatří. 3) [3; -7] … x-ová souřadnice nepatří do definičního oboru! … uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.

14. Příklady Je dána funkce f: y=2x-1 ; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [0; 1] [0; -1] [3/2; -2] [0,25; -1/2] [-1/4; -1,5]

15. Příklady Je dána funkce f: y=2x-1; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [0; 1] Ne [0; -1] Ano [3/2; -2] Ne [0,25; -1/2] Ano [-1/4; -1,5] Ano

16. Příklady Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [-3; 2,5] [0; -0,5] [-9; 6,5] [3; -1,5] [6; -3,5]

17. Příklady Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [-3; 2,5] Ano [0; -0,5] Ne [-9; 6,5] Ne [3; -1,5] Ano [6; -3,5] Ne

18. Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3s osami souřadnic.

19. Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3s osami souřadnic. Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y] [0; -3] Dosazením do rovnice dostaneme: y=-3 Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí a průběhu jejich grafů víme, že koeficient b v rovnici lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá, že souřadnice průsečíku s osou x jsou: [0; -3] Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; b]. Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0] 4x=3 Dosazením do rovnice dostaneme: 0=4x-3 x=3/4 [3/4; 0]

20. Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

21. Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte. f: y = 3 a=0 funkce konstantní

22. Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte. f: y = -2x a<0 funkce klesající

23. Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y = 2x - 3, g: y = 2x + 5, h: y = 7x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

24. Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y=2x-3, g: y=2x+5, h: y=7x+5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h? Lineární funkce f a g mají stejný kladný koeficient a, jsou tedy rostoucí pod stejným sklonem (úhlem). Liší se jen koeficientem b, tedy jejich grafy jsou rovnoběžné přímky. Lineární funkce g a h mají stejný koeficient b, jejich grafy tedy mají společný průsečík s osou y … [0; 5].

25. Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:A[0,2] a B[2,3].

26. Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:A[0,2] a B[2,3]. Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce: y = ax + b Dosazením vypočítaných koeficientů a a b do obecné rovnice lineární funkce dostaneme námi hledanou rovnici funkce procházející zadanými body. Dostaneme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: koeficientech lineární funkce a a b. 2 = a.0 + b 3 = a.2 + b 2 = b 3 = 2a + b  3 = 2a + 2 3 - 2 = 2a 1 = 2a a = 0,5 y = 0,5x + 2

27. Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky.

28. Příklady: Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky. y = 150 – 30.x Čas, počet minut vytékání. 20 = 150 – 30.x Množství vody v sudu. 30.x = 150 – 20 30.x = 130 x = 130 : 30 x = 13/3 min 20 litrů bude v sudu za 4 minuty a 20 sekund.

29. Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky. x = 13/3 min