Scambi fra donatori di reni:

1. Scambi fra donatori di reni: modellizzazione e “mechanism design”

2. Liste d’attesa per un trapianto di reneal 31 dicembre 2005: • Iscritti: 6362 • Tempo media d’attesa: 2,99 anni • Percentuale mortalità: 1,52% Trapianti di rene nel 2005 • 1662 interventi • 75 da donatore vivente

3. Liste d’attesa rene – fegato - cuore

4. Idea alla base del lavoro: • Implementare scambi tra coppie donatore-paziente tra di loro non compatibili Donatore2 Paziente1 Paziente2 Donatore1

5. Semplificazioni al problema: • Scambi tra coppie • Modello statunitense: compatibilità 0-1 Modellizzazione del problema: • N = {1,2,…,n} insieme di pazienti • Di donatori per il paziente i • A insieme dei matching • R insieme dei preordini degli elementi di N sull’insieme A

6. Matching in A: il paziente i non viene associato i viene associato a j, se c’è compatibilità avverrà lo scambio

7. Consideriamo: • Le preferenze di i sono:

8. Consideriamo: Razionalità individuale: Pareto-efficienti: massimali scambio tra i e j il paziente i non riceve un rene

9. Implementiamo la “social choice rule”: attraverso il meccanismo di priorità Ordine di priorità: permutazione dei pazienti in modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima priorità

10. Meccanismo di priorità Consideriamo un ordine di priorità (1,2,…,n) sui pazienti

11. Definendo la game form attraverso il meccanismo di priorità, una strategia dominante consiste nel: • dichiarare come accettabile l’intero insieme di giocatori; • dichiarare interamente il proprio insieme di donatori

12. Decomposizione di Gallai-Edmonds Underdemanded patients: Overdemanded patients: Perfectly matched patients:

13. Esempio di gioco: 3 2 12 13 4 1 14 Overdemanded 5 15 16 6 9 7 8 10 11 Underdemanded:

14. Meccanismo egualitario • Lotteria: distribuzione di probabilità • sull’insieme dei matching • Meccanismo stocastico: procedura sistematica che seleziona una lotteria • Matrice di allocazione: riassume la probabilità che i sia associato con j • Profilo di utilità:

15. Chiamiamo D l’insieme delle componenti dispari tra gli underdemanded patients, riordinate in ordine decrescente di priorità • Consideriamo: Definiamo l’insieme dei vicini di in I: • Per ogni definiamo

16. Partizioniamo in e in nel seguente modo: Passo 1: Passo k:

17. Profilo di utilità egualitario Costruiamo nel modo seguente: Il profilo di utilità egualitario è fattibile. Nel nostro esempio:

18. Esempio di gioco: 3 2 12 13 4 1 14 Overdemanded 5 15 16 6 9 7 8 10 11 Underdemanded:

19. Dominanza secondo Lorenz Riordiniamo il vettore in ordine crescente Diciamo che il profilo di utilità egualitario domina secondo Lorenz ogni altro profilo di utilità fattibile, cioè che per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato in ordine crescente

20. Curva di Lorenz Per una popolazione di cardinalità n, alla quale viene attribuita una sequenza di valori in ordine crescente, la curva di Lorenz è la poligonale che congiunge dove

21. Per il nostro esempio:

22. Indice di Gini Coefficiente di Gini: Nel nostro esempio: L’indice di Gini per il nostro problema è quindi dell’ 8,85%