FAPAN : Faculdade do Pantanal Curso : Administração de Empresa 1º semestre

1. FAPAN: Faculdade do Pantanal • Curso : Administração de Empresa 1º semestre • Ano Letivo: 2011 / 1 • Profº: Esp. Gledson Nilton Emiliano • e-mail: gledsoneada@hotmail.com

2. MATEMÁTICA INTRODUTÓRIA • A Matemática, olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas surpresa beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura ... sublimamentepura e capaz de perfeição severa, tal como somente a arte de maior qualidade pode apresentar. (Bertrand Russel) “ Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”. (LOBACHEVSKY)

3. CONJUNTOS NUMÉRICOS • A Matemática se originou de convívios sociais, das trocas, das contagens, do comércio, tendo em vista o caráter prático, utilitário e empírico. • As primeiras noções relativas ao conceito de número, nos remetem aos primórdios da raça humana. • Encontros arqueológicos em cavernas levam-nos a estimar contagens a mais de 300.000 anos.

4. Os números • Os números devem ter surgidos da necessidade do ser humano fiscalizar os próprios bens, para sua própria sobrevivência, em registros de seu interesse : • - Marcações e desenhos em cavernas, riscos em ossosou madeiras que representariam animais abatidos e outros.

5. Vivemos em um mundo matematizado. • Como faríamos as operações e registros financeiros? • Como comparar medidas? • Como fazer localizações? • Como seria nosso dinheiro? • Sem os números, qualquer registro numérico teria de ser feito através de uma linguagem escrita, acarretando maiores dificuldades.

6. Conjuntos numéricos • Os conjuntos numéricos surgiram para suprir as necessidades humanas quando efetuamos: • Contagens • Registros • Cálculos • Localizações

7. Números Naturais (N): • Qual é o número do seu sapato? • Qual é o número da sua casa? • Qual é o número do seu celular? • Qual é o CEP da sua cidade? • Quantas pessoas tem nesta sala? • Qual é a senha do seu cartão de crédito??????? É um conjunto de números criado/construído possivelmente para o homem efetuar comparações entre o número de elementos de diferentes conjuntos.

8. Representação dos Naturais • O conjunto dos números naturais é representado por: lN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} • Representação em uma reta numérica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... IN

9. Subconjuntos importantes dos naturais: • lN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} (* asterisco significa a exclusão do zero). • lNp= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n, ...} com n Є lN , representa o conjunto dos números pares. • lNi = {1, 3, 5, 7, 9, 11,13, ..., 2n+1, ....} com n Є lN, representa o conjunto dos números ímpares. • P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... } conjunto dos números primos.

10. Números Inteiros (Z) • Criado principalmente para as relações financeiras. • O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, números negativos, nulo e positivos. • Representação em uma reta numérica: ... - 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ...

11. Subconjuntos de Z: • Z* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Z – {0} • Z+ = IN = {0, +1, +2, +3, +4, ...} inteiros não-negativos • Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0} inteiros não-positivos.

12. Módulo ou valor absoluto • Módulo ou valor absoluto de um número inteiro: é a distância da origem ao ponto que representa o número. Assim representamos o módulo de -2 por: • | -2 | = 2 e módulo de 2 por |2|=2. • Números opostos possuem o mesmo módulo: • |- 10| = |+10|

13. ..- 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ...

14. Conjunto dos números Racionais (Q): • A representação desse conjunto é feito através de uma propriedade comum à todos seus elementos. • Q = { x | x = a/b, com a Є Z, b Є Z e b≠ 0} • Q é representado por todo número que pode ser escrito através de um quociente entre dois inteiros, com denominador diferente de zero, mais conhecido por nós como fração.

15. Números racionais: • todos os naturais e inteiros: 0, -2, 4, 10, -10... - toda fração: ... - todo número decimal exato: 0,25; 1,2; 3,289;... - todo número decimal infinito periódico (dízima periódica): 0,333...; 1,2555...; 2,323232... .

16. Determinação da fração geratriz de um número decimal: (transformar para forma fracionária) • a) 0,75=................ • b) 1,25=............... • c) 3,143=................ • d) 0,222...=.............. • e) 0,414141....=................ • f) 0,17878...=.....................

17. O conjunto dos números inteiros é um subconjuntodos racionais • Existe uma relação de inclusão: Q Z IN

18. PORCENTAGEM • Porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100. • É representada pelo símbolo “%”que é lido “por cento”. • Forma de taxa percentual: 35% • Forma de fração centesimal: 35/100 • Forma decimal (taxa unitária) : 0,35

19. EXEMPLOS • 23% = • 45% = • 3% = • 100% = • 200% = • 0,3%

20. Exemplos: • 01- Calcular 15% de 120. • 02- Um artigo com preço R$ 120,00 tem seu valor reajustado para R$ 150,00. Qual foi o percentual de aumento? • 03- Um artigo de preço R$ 150,00 teve uma redução em seu preço passado a valer R$ 120,00. Qual o percentual relativo a essa redução? • 04- Uma dívida no valor de R$ 250,00 tem desconto de 4% se paga com antecipação de pelo menos 15 dia. Sendo paga 20 dias antes do vencimento, terá, valor, em reais de: • R$ 246,00 b) R$ 244,00 c) R$ 240,00 d) R$ 236,00

21. Problemas envolvendo porcentagem: • 01-Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após: “chamamos este número (f) de fator de atualização (correção) • um aumento de 35% • um aumento de 20% • um desconto de 20% • um desconto de 3%

22. 02 - O governo brasileiro, em abril de 2006, aprovou o aumento do valor do salário mínimo, que passava de R$ 300,00 para 350,00. Qual foi o percentual de aumento? • 03 - Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas sete moças. Quantos alunos tem a classe?

23. 04 - A produção de uma indústria de roupas passou , em um ano, de 60 mil para 78 mil peças. • a) Qual foi o aumento percentual de produção? • b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da produção? • 05 – Em uma loja o preço de uma calça foi reajustado de R$ 90,00 para R$ 112,50. Determine a taxa percentual de aumento do produto.

24. 06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%. Percebendo que as vendas sofreram uma grande queda, o gerente resolveu fazer uma promoção de 20%. O preço final da camisa (após a promoção) é menor, maior ou igual ao preço original (antes do aumento)? E qual será o preço da camisa na promoção? • 07 –(ANTT) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a vendo do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto sobre o novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior do aumento. Nesse caso o comerciante deve anunciar um desconto de aproximadamente: • a) 19% b)23% c)25% d) 28% e)30%

25. 08- O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual foi o aumento no 2º mês? • a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% • 09 – Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% gerando uma taxa de rendimento de 56%. Qual a taxa de rendimento desse investimento descontada a inflação? • a)26% b)22% c)20% d) 18%

26. 10- O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3,50, mas, ao comprá-la na fábrica , o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço, da fábrica, que pagará o consumidor.

27. Conjunto dos números Irracionais (I): • Há números decimais que não admitem a sua representação na forma fracionária de dois inteiros; • são os decimais infinitos não-periódicos. Esses números são chamados números irracionais.

28. Pela grande diversidade de números irracionais, vamos citar apenas alguns exemplos: • Todos são números decimais infinitos que não apresenta periodicidade.

29. Conjunto dos números Reais (lR) • Da reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais ( I ) obtemos o conjunto dos números reais. Então temos : • lR = Q U I = { x/ x Є Q ou x Є I}

30. O diagrama a seguir relaciona osconjuntos numéricos estudados

31. INTERVALOS REAIS • Certos subconjuntos de lR, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se: • Intervalo aberto: a b IR

32. Intervalo fechado: a b IR [a; b] = {x Є IR| a ≤ x ≤ b} • Intervalo semi- fechado: a b IR [a; b[ = {x Є IR| a ≤ x < b}

33. Intervalo semi- fechado: a b IR [a; b[ = {x Є IR| a < x ≤ b} • Intervalo infinito: “valores maiores que...” a [a; += {x Є IR| x ≥ a }

34. b IR ]-; b] = {x Є IR| x ≤ b } b IR ]-; b[ = {x Є IR| x < b }

35. a c b IR [a; b] – {c} = {x Є IR| a ≤ x ≤ b e x ≠ c } • + IR = {-; +}

36. EQUAÇÕES : Equilíbrio, igualdades, incógnitas. • Equação de 1º grau: é toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a Є IR* e b Є IR. • 2x + 4 = 8 • 2x = 8 – 4 • 2x = 4 • x = 4/2 • x = 2

37. 6.(2x – 1) – (7x + 4) = 2.(3x – 2) • 12x – 6 – 7x – 4 = 6x – 4 • 12x – 7x – 6x = +6 +4 – 4 • – x = +6 . ( -1 ) • x = – 6 • S = { - 6}.

38. Equação com frações • + • = • 40x +45x – 6x = 15 • 79x = 15 • x = 15/79

39. Equação do 2º grau: • É toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0 , com a ≠ 0. • Fórmula resolutiva: • determina os valores de x. • x = onde Δ = b² – 4.a.c .

40. O discriminante : • Δ > 0 →a equação possui duas raízes reais (x’≠ x”) . • Δ= 0 →a equação possui apenas uma raiz real ( x’= x”). • Δ <0 →a equação não possui raízes reais, (x’ e x”).

41. 01 - Resolva as seguintes equações: • a) x² +2x – 3 = 0 • b) (x + 1)² = 2(x + 1) • c) 5x² + 4x + 1 = 0 • d) 8x² – x = 0

42. 02 - Resolva e responda os seguintes problemas: • a) Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo fixo de R$ 5,00, independente do número de peça produzidas, e um custo de R$ 2,00 para cada unidade produzida . Qual o número de unidades produzidas se o custo total da produção dessas peças foi de R$ 55,00?

43. Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda. Ao entrar no carro observou que o taxímetro marcava R$ 3,20. Chegando à escola Mário pagou R$ 21,20. Sabendo que a distância entre sua casa e a escola é de 12 Km, qual o valor do quilômetro rodado?

44. c) A quantia de R$ 200,00 será repartida entre dois sócios (S1 e S2 ). Sabendo que o sócio S1 deve receber R$ 40,00 a mais que o outro, quanto deve receber cada um ?

45. Equações exponenciais: Equações com incógnita nos expoentes. • Uma equação exponencial tem sua condição de existência: “ a base da potência com incógnita no expoente deve ser maior que zero e diferente de “1”. ( b >0 e b≠ 1) • Exemplos: • a) • =

46. Como resolver uma equação exponencial: • A técnica mais simples para resolver uma equação exponencial é reduzir os dois membros, através de transformações, para uma mesma base. • Desta forma potencias com a mesma base nos indicará expoente com mesmo valor. • Observe nos exemplos:

47. a) = 4x = 5 x = 5/4

48. b) 2x + 1 = 4x + 2 = x 4x – x = -2 3x = -2 x =

49. c) = 81 • - x = 4 .(-1) • X = - 4 S = { -4}

50. FUNÇÕES: RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS • Presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. • Muitas situações práticas na área de administração de empresa podem ser representadas por funções matemáticas.