Extremos locales Teorema del valor medio

1. Extremos locales Teorema del valor medio

2. Habilidades • Define el concepto de extremos locales • Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado geométricamente. • Define e interpreta el Teorema de Fermat. • Calcula puntos críticos analizando premisas.

3. Sea D el dominio de f. Se dice que cDes un punto de máximo absoluto de fsi para todo xD. Se dice que cDes un punto de mínimo absoluto de fsi para todo xD. Valores máximos y mínimos Definición El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D. Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.

4. E H B G F C A D Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f : b a

5. Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de fsi para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de fsi para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Valores máximos y mínimos locales Definición Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.

6. E H B G F C A D Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo relativos de f : b a

7. y puntos de mínimo local c4 c2 x c1 d1 d2 c3 d3 a b puntos de máximo absoluto Ejemplo máximo absoluto

8. Ejemplo ¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos? y x

9. y y y a x x x b a a b b Teorema del valor extremo Teorema Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b]. ¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema?

10. x ejemplo Determine los extremos absolutos de la función f sobre .

11. y c1 c2 c3 x Teorema de Fermat Si ftiene un extremo local en c y si f ’ (c) existeentonces:

12. Continua en [a, b] . 1 Sea f: 2 Derivable en (a, b) . Entonces Existe c (a, b) tal que y a c2 c1 b x Teorema del valor medio Teorema

13. Continua en [a, b] . 1 2 3 Derivable en (a, b) . f (a)=f (b) . Entonces Existe c (a, b) tal que y c1 a c2 b x Teorema de Rolle Teorema Sea f :

14. Ejemplos • Muestre que 5 es un número critico de la función pero g no tiene un extremo local en 5. • La función f(x) = IxI tiene un mínimo local en 0, esto contradice las hipótesis del teorema de Fermat. • Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.

15. Teorema Si ftiene un extremo local en centonces c es un punto crítico de f. Puntos críticos Definición Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que:

16. y x c1 c4 c5 c6 c7 c3 a c2 c2 puntos críticos Ejemplo

17. y x c1 c4 c5 c6 c7 c3 a c2 c2 Ejemplo puntos de extremo

18. Ejemplo

19. 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>. 2 Halle f(a) y f(b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto. Método del intervalo cerrado Método del intervalo cerrado Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]:

20. Ejemplos Determine los extremos absolutos de las funciones en los intervalos que se indican.

21. Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Secciones 4.1 y 4.2 Encuentre los números críticos de la función: 40; 43, 50, Pág. 285 Encuentre los extremos absolutos de f o justifique la no existencia. Pág. 284 – 285: 17; 30; 56; 63. Ejercicios 4.1 pág 284: 4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.