Teorema dell’unicità del limite

1. Teorema dell’unicità del limite Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico.

2. Dimostrazione

3. Ragioniamo per assurdo: Supponiamo che esistano due limiti finiti diversi l1e l2 ; cioè lim f(x) = l2 lim f(x) = l1 e x x0 x x0 Allora per la definizione di limite data precedentemente:

4. Prefissato un qualunque numero > 0 si può determinare un primo intorno di x0 tale che per ogni x di tale intorno sia: < f(x) < l1 + l1 - si può determinare un secondo intorno di x0tale che per ogni x di tale intorno sia: l2 - < f(x) < l2 +

5. Supponiamo l2 > l1 Prendiamo Nella parte comune ai due intorni varranno le due disuguaglianze precedentemente scritte. In tale parte comune sarà certamente: l2 - < f(x) < l1 +

6. e quindi: < l1 + l2 - ed anche: > Disuguaglianza assurda. Quindi è assurdo che esistano due limiti diversi.

7. Teorema della permanenza del segno Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ha per limite il numero finito l diverso da zero, esiste un intorno del punto x0 tale che per ogni x di tale intorno la funzione f(x) assume valori dello stesso segno di l.

8. Teorema del confronto Se f(x) e g(x) e h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 , se per ogni x di detto intorno risulta: h(x) g(x) f(x) e se è inoltre lim f(x)=lim h(x) =l allora lim g(x)=l

9. Teorema della somma Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0, allora anche la somma f(x)+g(x) ha limite finito per x tendente a x0e questo limite è uguale alla somma dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure lim[f(x)+g(x)]=l1+l2

10. Nulla si può dire se i limiti sono uno + infinito e l’altro - infinito

11. Teorema della differenza Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0, allora anche la differenza f(x)-g(x) ha limite finito per x tendente a x0e questo limite è uguale alla differenza dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure lim[f(x)-g(x)]=l1 -l2

12. Nulla si può dire se entrambi i limiti sono + infinito Nulla si può dire se entrambi i limiti sono - infinito

13. Teorema del prodotto Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0, allora anche il prodotto f(x)*g(x) ha limite finito per x tendente a x0e questo limite è uguale al prodotto dei limiti. Cioè se è lim g(x)=l2 lim f(x)=l1 allora è pure limf(x)*g(x)=l1 *l2

14. Nulla si può dire nel caso in cui un limite è infinito e l’altro è uguale a zero.

15. Teorema della funzione reciproca Se la funzione f(x) per x tendente a x0 ha limite finito l diverso da zero, allora la funzione reciproca ha per limite lim =0 allora Se lim f(x)=

16. Teorema del quoziente Dai teoremi precedenti si deduce il limite del quoziente

17. Nulla si può dire se lim f(x)=lim g(x)=0 oppure se lim f(x)=lim g(x)=