Una premessa….

1. b a Una premessa…. 2 1 3 4 4-6 e 3-5: angoli alterni interni 1-7 e 2-8: angoli alterni esterni 5-4 e 3-6: angoli coniugati interni 1-8 e 2-7: angoli coniugati esterni 4-8, 1-5, 2-6, 3-7: angoli corrispondenti 5 6 8 7 t

2. Il quinto postulato di Euclide a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

3. a b Hp: α  β Th: a // b α dim β t DEF: due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune oppure sono coincidenti Un criterio per il parallelismo… TEO delle rette parallele (o CRITERIO di paralleli-smo): se due rette tagliate da una trasversale for-mano angoli alterni interni tra loro congruenti  sono parallele

4. CRITERIO generale per il parallelismo: • Se due rette, tagliate da una trasversale, formano • angoli alterni (interni o esterni) congruenti, • oppure • angoli corrispondenti congruenti • oppure • angoli coniugati (interni o esterni) supplementari • allora le due rette sono parallele.

5. a b COROLLARIO: due rette perpendico-lari alla stessa retta sono parallele. La retta a forma quattro angoli retti con la trasversale t; così anche la retta b. In particolare gli angoli alterni interni α eβ saranno entrambi retti e quindi con-gruenti tra loro. Quindi le rette a e b sono parallele per il criterio di parallelismo (infatti gli angoli alterni interni interni α eβ formati dalla trasversale tcon le rette a e bsono con-gruenti). α t β

6. t  b a α Costruzione di una parallela ad una retta per un punto dato Consideriamo una retta a e un punto P ad essa esterno. Tracciamo una retta t passante per P: essa formerà un angolo α con la retta a. Tracciamo ora una retta b passante per P che forma con t un angolo  congruente all’angolo α (questo è possibile per il postulato del trasporto dell’angolo) Le rette a e b sono parallele, poi-ché rispetto alla trasversale t formano angoli alterni interni congruenti. P 

7. t  b a α Il criterio di parallelismo e quanto visto sulla costruzione della parallela ad una retta data per un punto esterno ad essa ci permette quindi di affermare che vale il seguente: TEOREMA di esistenza della retta parallela:data una retta a ed un punto P esterno ad essa, esiste una retta b passante per Pe parallela alla retta data Potrebbe esistere una seconda retta passante per P che, pur non formando angoli alterni interni congruenti, sia comunque parallela alla retta a… Questo teorema non ci assicura che tale retta sia unica !!! P 

8. Attenzione, infatti…. due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni tra loro congruenti  sono parallele due rette tagliate da una trasversale non formano angoli alterni interni tra loro congruenti  non sono parallele … non sono affermazioni equivalenti!!! Questo ci permetterebbe di stabilire chenonesiste una eventuale seconda retta parallela Questo ci ha permesso di stabilire l’esistenza della parallela

9. Per garantire che non esiste una seconda retta parallela ad una retta per un punto dato è indispensabile intro-durre il seguente postulato: POSTULATO dell’unicità della parallela(o QUINTO POSTULATO di EUCLIDE) Data una retta ed un punto esterno ad essa, è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data.

10. a b Hp: a // b Th: α  β α dim β t È solo grazie al quinto postulato di Euclide che diventa possibile dimostrare il seguente teorema: INVERSO del CRITERIO di parallelismo due rette tagliate da una trasversale sono parallele  formano angoli alterni interni tra loro congruenti

11. Più in generale, è possibile dimostrare che: • Se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale • angoli alterni (interni o esterni) congruenti, • e • angoli corrispondenti congruenti • e • angoli coniugati (interni o esterni) supplementari

12. Perché il quinto postulato di Euclide è così importante? • Euclide stesso probabilmente non reputava tale postulato di sufficiente evidenza: nella redazione dei suoi “Elementi” vi ri-corre così solo quando non può farne a meno, dimostrando i primi 28 teoremi senza utilizzarlo • nel tentativo (fallito!) di darne una dimostrazione, sono state formulate alcune importanti teorie, oggi note sotto il nome di “geometrie non euclidee”: esse si sono affermate nel corso del XIX sec., con enormi riflessi anche nell’ambito degli studi fi-losofici • nella formulazione della teoria generale della relatività, Einstein utilizzerà la descrizione non euclidea dello spazio

13. A partire dall’inverso del criterio di parallelismo è pos-sibile dimostrare: TEOREMA dell’angolo esterno(versione euclidea)In un triangolo ogni angolo esternoè congruente alla somma dei dueangoli interni non adiacenti ad esso. dim TEOREMA sulla somma degli angoli interni di un poligono convesso In un poligono convesso di n lati La somma degli angoli interni è congruente a (n – 2) angoli piatti. dim

14. DIMOSTRAZIONI fine

15. DIMOSTRAZIONE del CRITERIO di parallelismoHp: α  β Th: a // b Per assurdo: Neghiamo la tesi: le rette a e b non sono tra loro parallele  esiste un punto P  a  b Si considera quindi il triangolo ABP. Per il triangolo ABPl’angolo β è un ango-lo esterno β è maggiore di ogni angolo interno non adiacente (teo angolo esterno) In particolare, quindi, si avrà α < β(1) Del resto α  β per ipotesi (2) La conclusione(1)e l’ipotesi(2) SONO IN CONTRADDIZIONE TRA LORO: siamo giunti ad un assurdo, la tesi non poteva quindi essere negata b a P α A B β t

16. DIMOSTRAZIONE dell’inverso del criterio di parallelismoHp: a // b Th: α  β t P  β  α b a c Per assurdo: Neghiamo la tesi: α e β (angoli formati dalle rette a e b con la trasversale t) non sono congruenti tra loro. Esisterà, quindi, una retta c passante per P che forma con t un an-golo  congruente ad α. Per il criterio di parallelismo, c, passante per P, è parallela ad a. Del restob, anch’essa passante per P, è parallela ad a per ipotesi. Quindi per il punto P passano due rette en-trambe parallele ad a. QUESTO CONTRADDICE IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE: siamo giunti ad un assurdo, la tesi non poteva quindi essere negata

17. D  E  C A B DIMOSTRAZIONE del TEOREMA dell’angolo esterno (versione euclidea) Hp: ABC triangolo Th: e +  Prolunghiamo il lato AC dalla parte di C; sia D un punto su tale prolungamento. Costruiamo la retta CE in mo-do che ECB   : si avrà che CE // AB (criterio di paralle-lismo) Varrà quindi che l’angolo ECD   (generalizzazione dell’inverso del criterio di parallelismo). Pertanto l’angolo esterno e risulterà congruente alla somma di due angoli a loro volta congruenti ad  e  e, poiché somme di angoli congruenti sono congruenti, si avrà la tesi. c.v.d.

18. D  E  C A B DIMOSTRAZIONE del TEOREMAdella somma degli angoli interni di un poligono convesso La seguente figura dovrebbe rendere immediatamente evidente la correttezza della tesi nel caso il poligono considerato sia un trian-golo (la somma degli angoli interni risulta uguale a 3-2 angoli piatti). Hp: ABC triangolo Th:  +  +   

19. DIMOSTRAZIONE del TEOREMAdella somma degli angoli interni di un poligono convesso Ora osserviamo che ciascun poligono di n lati può essere suddiviso in n–2 triangoli, mediante tutte le diverse diagonali che è possibile tracciare da uno dei suoi vertici (a scelta) verso ciascuno dei re-stanti vertici… B C T1 T2 D A T3 T4 E F

20. La DIMOSTRAZIONE per ASSURDO IPOTESI  TESI Si ragiona a partire dalla negazione della TESI, per arrivare ad una contraddizione: con l’IPOTESI del teorema oppure con un assioma ammesso dalla geometria oppure con un teorema già dimostrato. Questo significa che non è corretto negare la TESI, e quindi che essa è VERA.