1 / 49

Transformasi geometri

Transformasi geometri. Definisi :. Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang. Perubahan yang (mungkin) terjadi: Kedudukan / letak Arah Ukuran. Jenis-jenis Transformasi Geometri. Proyeksi Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi) Pencerminan (Refleksi) Pemutaran (Rotasi)

flint
Download Presentation

Transformasi geometri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Transformasi geometri

  2. Definisi : • Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang. • Perubahan yang (mungkin) terjadi: • Kedudukan / letak • Arah • Ukuran

  3. Jenis-jenis Transformasi Geometri • Proyeksi • Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi) • Pencerminan (Refleksi) • Pemutaran (Rotasi) • Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi) • Pergeseran merubah bentuk(shear)

  4. Proyeksi • Suatutitikatausistemdiproyeksikanterhadapsuatugarisacuansehinggasetiaptitikatausistemtersebutsejajardengangarisacuan. • Proyeksimerupakanjarakterpendek. Jikatitik A diproyeksikanterhadapsumbux, makahasiltersebutadalahtitik B dengan AB merupakanjarakterpendektitik A terhadapsumbux. Jikadiproyeksikanterhadapsumbuy, makahasilnyaadalahtitik C dengan AC merupakanjarakterpendektitik A terhadapsumbuy y A C O B x

  5. Proyeksi titik terhadap garis x= y TitikA(a,b)diproyeksikanpadagarisy = x menghasilkantitikA’(a’,b’) Cara mencarimatriktransformasi- nyaadalahsebagaiberikut : Perhatikanbahwa : a= r cosθdanb = r sin θ a’=OA’ cos 45 danb’ = OA’ sin 45 OA’=r cos (45 – θ) Maka : a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos 45 cosθ + r cos 45 sin 45 sin θ = Karena a’ = b’, maka b’ =

  6. Sehingga diperoleh : Matriktransformasiuntuktitik yang diproyeksikanpadagarisy = x

  7. Translasi • Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama. • Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’). Y = P’(x+a,y+b) P’(x’,y’) y’ T= a b b y P(x,y) a X x O x’

  8. P’(x’,y’) dy dx P(x,y) Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier. x’ = x + dx y’ = y + dy Model Matrik:

  9. Sebuahbuku yang terletakdiatasmejadigesersejauhh, makasetiaptitik yang menyusunbukutersebutharusbergesersejauhhjuga. Bukubergeserdalamsatuarahyaituarah x positif

  10. Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?

  11. adalah : • Penulisanprosestranslasititik A menjadititik M, dantitik B menjadititik N dengan

  12. Contohsoal : Tentukanbayangandarilingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jikaditranslasikanoleh : Jawab : Misalkantitik P(a,b) adalahtitikpadalingkaran, sehinggapersamaandapatditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9. Titik P ditranslasidengan diperolehtitik T’ sbb :

  13. a = a’ – 3 dan b = b’ – 3 Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3 Substitusikepersamaan : (a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9 (a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9 Jadibayanganlingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9 Cara lain : Persamaanlingkaranmempunyaipusat (2,1). Dengandilakukantranslasipusatlingkarandiperoleh : Jadibayanganlingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

  14. Pencerminan (refleksi) • Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

  15. RefleksititikA (a, c) terhadapsumbux menghasilkanbayanganyaituA’(a’, c’), demikianjugauntuktitikBdantitikC. • Refleksi terhadap sumbu x Diperolehpersamaanbahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -cdanseterusnyasehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(a, -c) sumbux Dengannotasimatrik :

  16. Refleksi terhadap sumbu y Samasepertirefleksiterhadapsumbux menghasilkanpersamaana’= - a, b’ = - b dan c’ = c danseterusnya.sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-a, c) sumbuy Dengannotasimatrik :

  17. Menghasilkanpersamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap titik asal (0,0) RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0) Dengannotasimatrik :

  18. Menghasilkanpersamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d danseterusnya sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = x RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(c,a) y = x Dengannotasimatrik :

  19. Menghasilkanpersamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d danseterusnya, sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = - x RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-c,-a) y =- x Dengannotasimatrik :

  20. Sumbuxdigesersejauhh, menghasilkanpersamaan : a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingganotasipersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = h

  21. Bukti : Sumbu-xdipindahkansejauhhsehinggasumbu-x yang baruadalahy = h. Makakoefisiensetiaptitikberubahmenjadi (x’, y’) dengan : Kemudiantitiktersebutdirefleksikanpadasumbu-x yang barumenjadi : Tahapterakhir, menggesersumbu-x yang barukesumbu-x semuladenganmemakaitranslasidiperoleh:

  22. Sekarang yang digeseradalahsumbuysejauhk, menghasilkanpersamaan : a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingganotasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis x = k x=k A(a,c) A’(2k-a,c) Dengannotasimatrik :

  23. ContohSoal : Tentukanbayanganjajaran-genjang ABCD dengantitiksudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jikadirefleksikanterhadapsumbu-x, kemudiandilanjutkandenganrefleksiterhadapsumbu-y. Jawab : Penyelesaiansoaltersebutdilakukandenganduatahapyaitumencaribayanganjajaran-genjang ABCD darirefleksiterhadapsumbu-x, kemudianbayangan yang terjadidirefleksikanterhadapsumbu-y.

  24. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

  25. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

  26. Hasilakhirdiperolehjajaran-genjangA’’B’’C’’D’’ dengan titiksudutA’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) danD’’(-1,-11). Cobapikirkan : Bagaimanacaramendapatkanmatriktransformasipadasuatusistem yang mengalamirefleksilebihdarisatu kali tetapipenyelesaiannyahanyadenganmengunakansatutahapsaja ?

  27. y P’(x’,y’) P(x,y)  x Perputaran (rotasi) • Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut  x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

  28. Untukmemudahkanperhitungan, makadibuatnotasidalambentukmatrik : dengan : - sin θdancosθadalahfungsi linier dariθ • x’ kombinasi linier darixdany • y’ kombinasi linier darixdany

  29. Bukti : Titik A berpindahketitik A’ sejauhα. Dalamkoordinatkutub, titik A(a,b) ditulis : A(rcosθ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Matriktransformasi untuktitik yang dirotasi terhadaptitikpusat O (0,0)

  30. y P’(x’,y’) my.y P(x,y) x mx.x Penskalaan (dilatasi) • Merupakantransformasisuatutitikatausistemterhadapsuatuacuan yang menyebabkanjaraktitikatausistemberubahdenganperbandingantertentu. (Perpindahantitik P ketitik P’ denganjaraktitik P’ sebesar m kali titik P) x’ = mx x y’ = my y

  31. Dalam bentuk matrik dituliskan : • Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu terhadap acuan.

  32. Dikenalsuatuistilahfaktordilatasik yang menyebab-kanperbesaranatauperkecilansuatusistem. • Jikanilaik (bilangannyata): • k> 1 : hasildilatasidiperbesar • -1<k<1 : hasildilatasidiperkecil • k = 1 : hasildilatasisamadenganaslinya. • Contoh : Gambardisampingdilakukandilatasidenganfaktor k = 2. Carilahtitik-titik A’, B’ C’ dan D’ !

  33. Transformasidapatdilakukandengan : • Jawab : Jadihasildilatasiterhadaptitik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6) C’(12,10), D’ (6,10) Notasi : (0,k) A(a,b) A’(ka,kb)

  34. Shear • Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya perubahan bentuk disebut transformasi shear. • Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda. • Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

  35. Shear terhadapsumbu-x Perubahanterjadipadaabsistitik-titikpadaujungsistem yang tidakterletakpadasumbu-xdenganfaktorsheark (k : bilangannyata)

  36. Shear terhadapsumbu-y Perubahanterjadipadaabsistitik-titikpadaujungsistem yang tidakterletakpadasumbu-ydenganfaktorsheark (k : bilangannyata)

  37. Contohsoal : Tentukantitikkoordinatbayangandarisebuahbangunsegitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jikasegitigatersebutdishearterhadapsumbu-xdenganfaktorshear k=3 sertasketsakanbayangan yang terbentuk. Jawab : Sketsabayangan :

  38. Koordinat Homogen • Koordinathomogenadalahrepresentasikoordinat 2 dimensidengan 3 vektor Koordinathomogen

  39. KomposisiTransformasi • Komposisitransformasiadalahmenggabungkanbeberapatranformasi, sehinggadapatmenghasilkanbentuktransformasi yang lebihkompleks • Dapatdilakukan 3 transformasidalamsebuahmatriktunggal : - operasi yang dilakukanadalahperkalianmatrik - ketikamentransformasikansuatutitik, tidakadapenangankhusus : matrik . Vektor - transformasigabungan : matrik . matrik

  40. Macamkomposisitransformasi : • Rotasisebagaititikperubahan : Translasi – Rotasi – Translasi • Skalasebagaititikperubahan : Translasi – Skala – Translasi • Perubahansistemkoordinat : Translasi – Rotasi – Skala

  41. Latihan : • Jikatitik (a,b) direfleksikanterhadapsumbu-y, kemudiandilanjutkandengantransformasisesuaimatrikmenghasilkantitik (1, -8). Tentukannilaiadanb. • Tentukanmatrik yang bersesuaiandengandilatasipusat (0,0) danfaktorskala 3 dilanjutkandenganrefleksiterhadapgarisy = x. • Buktikanbahwa : merupakanmatriktransformasiuntuktitik yang dirotasiterhadaptitik P(m,n)

More Related