Kvadratická nerovnice

1. Název projektu: Moderní škola Kvadratická nerovnice Mgr. Martin Krajíc 16.5.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Kvadratická nerovnice - úvod Kvadratická nerovnice s jednou neznámou je každá nerovnice ve tvaru: ax² + bx + c˃ 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c ˂ 0 ax² + bx + c ≤ 0 ... a,b,c ɛ R , a ≠ 0 • neznámá x je v druhé mocnině • pokud by a = 0, vznikla by lineární nerovnice

3. Kvadratická nerovnice – postup řešení Postup řešení kvadratické nerovnice: • nerovnici si přepíšeme na rovnici a upravíme si ji do základního tvaru ax² + bx + c = 0 • vypočteme diskriminant rovnice • podle čísla v diskriminantu dostaneme jeden z těchto případů: a) D ˃ 0 b) D = 0 c) D ˂ 0

4. Kvadratická nerovnice – postup řešení a) D ˃ 0 • v tomto případě má kvadratická rovnice dva kořeny • načrtneme číselnou osu a tyto dva kořeny na ni vyznačíme • kořeny nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly • z každého intervalu vezmeme vždy jedno číslo (nebereme krajní čísla) a dosadíme ho za neznámou x v trojčlenu základního tvaru kvadratické rovnice • pokud vyjde kladné číslo, poznamenáme si u daného intervalu plus, pokud vyjde záporné číslo, poznamenáme si mínus • podle nerovnítka u nerovnice určíme výsledný interval (intervaly)

5. Kvadratická nerovnice – postup řešení Př: Řešte nerovnici v R: 3x² - 5x + 2 ˃ 0 • přepíšeme si na rovnici: 3x² - 5x + 2 = 0 • vypočteme diskriminant: D = b² - 4ac = (-5)² - 4.3.2 = 1 • vypočteme kořeny: x1 = , x2 = 1 • na číselnou osu vyznačíme kořeny a rozdělíme ji na intervaly (-∞, ) ( , 1)1(1, ∞) + - + • vrátíme se k nerovnici, kvadratický trojčlen má být větší než nula, tedy kladný, proto výsledné intervaly budou (-∞, ) a (1, ∞) • výsledek zapíšeme x = (-∞, ) U (1, ∞) Z prvního intervalu vezmeme např. číslo nula a dosadíme za x do trojčlenu kvadratické rovnice: 3.0² - 5.0 + 2 = 2. K intervalu si připíšeme znaménko +. Z druhého intervalu vezmeme např. číslo 0,8 a opět dosadíme: 3.0,8² - 5.0,8 + 2 = -0,08. K intervalu si připíšeme znaménko - . Z třetího intervalu vezmeme např. číslo 2 a opět dosadíme: 3.2² - 5.2 + 2 = 4. K intervalu si připíšeme znaménko + .

6. Kvadratická nerovnice – postup řešení a) D = 0 • v tomto případě má kvadratická rovnice jeden kořen • načrtneme číselnou osu a tento kořen na ni vyznačíme • kořen nám rozdělí číselnou osu na dva intervaly • z každého intervalu vezmeme vždy jedno číslo (nebereme krajní čísla) a dosadíme ho za neznámou x v trojčlenu základního tvaru kvadratické rovnice • pokud vyjde kladné číslo, poznamenáme si u daného intervalu plus, pokud vyjde záporné číslo, poznamenáme si mínus • podle nerovnítka u nerovnice určíme výsledek • výsledkem mohou být dva intervaly, jedno číslo a nebo prázdná množina

7. Kvadratická nerovnice – postup řešení Př: Řešte nerovnici v R: -2x² + 4x - 2 ˂ 0 • přepíšeme si na rovnici: -2x² + 4x - 2 = 0 • vypočteme diskriminant: D = b² - 4ac = 4² - 4.(-2).(-2) = 0 • vypočteme kořen: x = 1 • na číselnou osu vyznačíme kořen a rozdělíme ji na intervaly (-∞, 1) 1 (1, ∞) - - • vrátíme se k nerovnici, kvadratický trojčlen má být menší než nula, tedy záporný, proto výsledné intervaly budou (-∞, 1) a (1, ∞) • výsledek zapíšeme x = (-∞, 1) U (1, ∞) Z prvního intervalu vezmeme např. číslo nula a dosadíme za x do trojčlenu kvadratické rovnice: -2.0² + 4.0 - 2 = -2. K intervalu si připíšeme znaménko -. Z druhého intervalu vezmeme např. číslo 2 a opět dosadíme: -2.2² + 4.2 - 2 = -2. K intervalu si připíšeme znaménko - .

8. Kvadratická nerovnice – postup řešení Poznámka: všechny následující rovnice by měly stejný postup řešení, pouze jiný výsledek: -2x² + 4x - 2 ≤ 0…výsledkem by byly oba intervaly i kořen rovnice…xɛ R -2x² + 4x - 2 ≥ 0…ani jeden z intervalů není řešením, do výsledku by patřil pouze kořen rovnice…x= 1 -2x² + 4x - 2 ˃ 0…v tomto případě není výsledkem ani jeden interval ani kořen rovnice…x= Ø

9. Kvadratická nerovnice – postup řešení a) D ˂ 0 • v tomto případě nemá kvadratická rovnice žádný kořen • za neznámou x v trojčlenu základního tvaru kvadratické rovnice dosadím libovolné číslo • pokud vyjde kladné číslo, poznamenáme si plus, pokud vyjde záporné číslo, poznamenáme si mínus • podle nerovnítka u nerovnice určíme výsledek • výsledkem jsou buď všechna reálná čísla nebo prázdná množina

10. Kvadratická nerovnice – postup řešení Př: Řešte nerovnici v R: x² + 4x + 12 ˂ 0 • přepíšeme si na rovnici: x² + 4x + 12 = 0 • vypočteme diskriminant: D = b² - 4ac = 4² - 4.1.12 = -32 • diskriminant je záporný, rovnice nemá žádný kořen • dosadíme do trojčlenu za neznámou x libovolné číslo, např: 1 1² + 4.1 + 12 = 17 • vyšlo kladné číslo, poznamenáme si + • kvadratický trojčlen má být menší než nula, tedy záporný, proto výsledkem je prázdná množina • výsledek zapíšeme x = Ø • kdybychom řešili nerovnici x² + 4x + 12 ˃ 0, postup by byl stejný, ale výsledkem by byla množina všech reálných čísel…x ɛ R

11. Kvadratická nerovnice – příklady Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Gabriel Laub: „Matematika ……: nepřehlížejte nuly“. 1) 5x² + 6x + 1 ˂0 a) U = (-1, -0,2) b) Z = (-∞, -1) U (-0,2, ∞) 2) -5x² + 10x - 5 ≥0 a) Č = -1 b) N = (-∞, -1) U (-1, ∞) 3) -3x² + x - 2 ≥0 a) Á = R b) Í = Ø

12. Kvadratická nerovnice – správné řešení UČÍ Gabriel Laub: „Matematika ……: nepřehlížejte nuly“.

13. Kvadratická nerovnice Použité zdroje: KUKULICH. Citáty. [online]. [cit. 2013-05-16]. Dostupné z: http://citaty.kukulich.cz/