Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych

Bryła sztywna – zbiór punktów materialnych m1, m2, ... mn o odległoś- ciach od osi obrotu r1, r2, ... rn Z ri mi Wykład bez rysunków O X Y Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi

Dla bryły o ciągłym rozkładzie masy gdy liczba n części zmierza do  Moment bezwładności Moment bezwładności – sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu; odgrywa ważną rolę w ruchu obrotowym bryły

I I0 Przykład kuli: S O ° ° a a I0 I Twierdzenie Steinera Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, nie przechodzącej przez środek masy bryły Moment bezwładności bryły I względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I0 względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości a obu osi I = I0 + ma2 S – środek masy bryły

ri Fi Zasady dynamiki ruchu obrotowego Bryła sztywna – zbiór punktów materialnych m1, m2, ... mn o odległościach od osi obrotu r1, r2, ... rn Ruch bryły wywołują siły F1, F2, ... Fn, działające stycznie do okręgów Wypadkowy moment sił działających na bryłę: Prawo Newtona Prędkość kątowa  i przyspieszenie kątowe  są stałe dla wszystkich punktów materialnych Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego: moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu bezwładności I tej bryły i jej przyspieszenia  M=I

zapis wektorowy L = rmv = mr2 L = mr2 dL M = dt Moment pędu Moment pędu (kręt) Lpunktu materialnego o masie m i wektorze wodzącymr, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu Iloczyn wektorowy L=rxmv r v to sin =1 Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów: II zasada dynamiki ruchu obrotowego: pochodna momentu pędu L bryły względem czasu t jest równa momentowi siły M działającej na tę bryłę

M = I  = 0  = const M = 0  i  - wielkości wektorowe: I zasada dynamiki ruchu obrotowego Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny III zasada dynamiki ruchu obrotowego Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły MAB, to bryła B działa na A momentem MBA równym co do wartości, lecz przeciwnie skierowanym MAB = – MBA

Ruch prostoliniowy i obrotowy - porównanie Ważne!

Zasady zachowania w mechanice Zasada zachowania energii: Całkowita energia układu odosobnionego jest wielkością stałą W układzie odosobnionym mogą zachodzić tylko przemiany jednych form energii w inne Układ odosobniony: układ na który nie działają żadne siły zewnętrzne

Zasady zachowania w mechanice Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały Przykład: pęd układu (łódka + człowiek) pozostaje stały (równy 0)

Zasady zachowania w mechanice Zasada zachowania krętu: Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych działających na układ równa się zeru, to kręt całkowity tego układu jest stały L = I = const Kręt układu (człowiek + hantle) pozostaje stały -zmniejszenie momentu bezwładności przyspiesza obrót

Mechanika klasyczna lub newtonowska – mechanika wyprowadzona z zasad dynamiki Newtona; poprawnie opisuje zjawiska, jeżeli prędkości ciał są bardzo małe w porównaniu z c  300 000 km/s Mechanika relatywistyczna lub einsteinowska – mechanika oparta na szczególnej teorii względności; prędkości ciał są porównywalne z c  300 000 km/s Mechanika kwantowa nie opisuje trajektorii mikrocząsteczek, a jedynie prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w różnych punktach przestrzeni R–nie Newtona R–nie Schrödingera Trajektoria r=r(t) Funkcja falowa  Mechanika kwantowa Mechanika relatywistyczna Mechanika klasyczna Prawa mechaniki klasycznej są szczególnymi przypadkami praw mechaniki relatywistycznej

Układy inercjalne Każdy ruch musi być opisany względem pewnego dowolnie obranego układu odniesienia Układ odniesienia, w którym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym Układy inercjalne: Ziemia, układ związany z gwiazdami Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym i prostoliniowym jest też układem inercjalnym v’= v – v0 v0 i v są stałe  v’ też jest stała v’ i v–prędkości ciała w układzie współrz. O’ i O; v0–prędkość układu O’ Istnieje nieskończenie wiele inercjalnych układów odniesienia i żaden z nich nie jest wyróżniony Zasada względności: We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe

Układy nieinercjalne Układ O’ porusza się wzdłuż osi X ruchem dowolnym względem układu O x(t) – współ. punktu P w układzie O x’(t) – współ. punktu P w układzie O’ x0(t) – odległość początku układu O’ od początku układu O y = y’ z = z’ Zał.: punkt znajduje się pod działaniem innych ciał materialnych ( siła), więc porusza się ruchem przyspieszonym (F=ma) Przyspieszenie w układzie O’ nie jest równe przyspieszeniu w układzie O a’= a, jeśli a0 = 0 (układ inercjalny) a0 – przyspieszenie unoszenia Jeśli a0 0, to układ O’ jest nieinercjalny

Transformacja Galileusza Rozważmy dwa układy inercjalne O i O’ poruszające się względem siebie wzdłuż osi x z prędkością u Współrzędne zjawiska zachodzącego w punkcie P w układzie O wynoszą: x, y, z, i t a w układzie O’ odpowiednio x’, y’, z’ oraz t’ (x, y, z, t) – współrzędne czasowo-przestrzenne Związki umożliwiające przejście z jednego układu odniesienia do drugiego układu odniesienia: O  O’ O’  O x = x’ + ut’ x’ = x – ut y = y’ y’ = y z = z’ z’ = z t = t’ t’ = t To jest transformacja Galileusza Dodatkowe ukryte założenie: czas płynie jednakowo w obydwu układach odniesienia Z transformacji Galileusza korzystamy przy opisie zjawisk mechaniki klasycznej

O’  O O  O’ x’ = (x − ut) x = (x’ + ut’) y’ = y y = y’ z’ = z z = z’ t’ = t = Transformacja Lorentza Doświadczenie Michelsona i Morleya: w próżni światło zawsze porusza się z prędkością c, niezależnie od ruchu źródła lub obserwatora Postulat szczególnej teorii względności Einsteina: prędkość światła nie zależy od układu odniesienia Zamiast transformacji Galileusza  transformacja Lorentza: O’  O O  O’ x’ = x − ut x = x’ + ut’ y’ = y y = y’ z’ = z z = z’ t’ = t t = t’ Transformacja Galileusza Transformacja Lorentza czynnik Lorentza  u<<c  =1 • Różnice pomiędzy obu transformacjami: • w transformacji Lorentzawspółrzędna x mnożona przez • czynnik Lorentza  • czas płynie niejednakowo w obu układach odniesienia O i O’

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych