1 / 23

IT 105 Matematika Diskrit

Kalkulus Predikat / Kalimat Berkuantor. IT 105 Matematika Diskrit. Grace Lusiana Beeh , S. Kom . lezzz.mail@gmail.com. Selasa , 21 Feb 2012. Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011. Kuantor. Universal  x.P (x)  negasi :  x.P (x) Untuk s emua ( setiap ) x berlaku P(x)

gavin
Download Presentation

IT 105 Matematika Diskrit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KalkulusPredikat/ KalimatBerkuantor IT 105MatematikaDiskrit Grace LusianaBeeh, S. Kom. lezzz.mail@gmail.com Selasa, 21 Feb 2012

  2. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 Kuantor • Universal • x.P(x) negasi : x.P(x) • Untuksemua(setiap) x berlaku P(x) • Eksistensensial • x.P(x) negasi : x.P(x) • Ada (beberapa) x berlaku P(x)

  3. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 …contohkuantor universal… • x.P(x) • Semuamahasiwamasukkuliah. Negasinya: x.P(x) • Ada/beberapamahasiswatidakmasukkuliah. • x.P(x) • Setiapmahasiwamemakaipakaianrapidansepatu. Negasinya: x.P(x) • Ada/beberapamahasiswayang tidakmemakaipakaianrapiatautidakmemakaisepatu.

  4. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 …contohkuantoreksistensial… • x.P(x) • Ada mahasiwa yang sakit. Negasinya: x.P(x) • Semuamahasiswatidaksakit. • x.P(x) • Ada x yang berlaku x>0 ataux genap. Negasinya:x.P(x) • Semua x berlaku x<0 atau x=0 danx tidakgenap.

  5. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 KuantorGanda • Ada 8 caraberbedadalammenggunakan 2 kuantordandalam 2 variabel x dan y, masing-masingadalah : • (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), • (x)(y), (y)(x), (y)(x), (x)(y). • Jikasemuakuantornyasama, makaurutanpenulisankuantor-kuantoritubisadibalik. Akan tetapi, jikakuantornyaberbeda, urutanpenulisannyatidakselaludapatdibalik.

  6. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 … • Misalkan p(x,y) : “y adalahibu dari x” • Nyatakanartisimbollogika di bawahinidalambahasasehari-hari dan tentukannilaikebenarannya. • (x) (y) p(x,y) Untuksetiap orang x, terdapatlahseorang y, sedemikanhingga y adalahibudari x. Dengan kata lain : setiap orang mempunyaiibu. (nilaikebenarannya : benar) • (y) (x) p(x,y) Terdapatlahseorang y sehinggauntuksemua orang x, y adalahibudari x. Dengan kata lain : Ada seseorang yang merupakanibudarisemua orang di duniaini. (nilaikebenarannya: salah)

  7. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 IngkaranKuantorGanda • Secara formal: •  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y) •  { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)

  8. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 Contohingkarankuantorganda… Apakahingkarankalimatberikutini ? (bilanganbulat n) (bilanganbulat k) n = 2k Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan genap. Penyelesaian : Ingkaran : ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n  2k. Atau : Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2 kali bilangan bulat lain. Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak genap

  9. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 MateriKuantortambahan…

  10. Kuantor Universal • Kuantor universal menunjukkanbahwasetiapobyekdalamsemestanyamempunyaisifatkalimat yang menyatakannya. • Kata yang digunakan: semuaatausetiap • Misalnya: p(x) : “x dapatmati”. Karenasemuamanusiadapatmati, makahaltersebutdinyatakandengan : (x) x manusia, x  p(x). • Kalausemestasudahjelas, makadapatdihilangkan. Jadi, jikasemestapembicaraannyasudahjelas, yaituhimpunanmanusia-manusia di bumi, makadituliskan: ( x) p(x).

  11. Kuantor Eksistensial • KuantorEksistensialmenunjukkanbahwa di antaraobyek-obyekdalamsemestanya, paling sedikitadasatuobyek (ataulebih, asaltidaksemua) yang memenuhisifatkalimat yang menyatakannya. • Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikitsatu • Contoh: (x  D) q(x), disingkat (x) q(x) : • bernilai Tjhj paling sedikitadasatu xdalam D yang menyebabkanq(x) benar • hanyabernilaisalahjikauntuksemua x  D, q(x) bernilaisalah.

  12. Contoh (1a) • Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa : kalimat (m D) m2 = m bernilai benar. • Penyelesaian: Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila dapat ditunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) yang memenuhi sifat p. Untuk m = 1  D, m2 = 12 = 1 = m. Jadi, kalimat (mD) m2 = m benar untuk m = 1 Terbuktibahwakalimat (m D) m2 = m benar.

  13. Contoh (1b) • Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10. Buktikan bahwa : kalimat (m E) m2 = m bernilai benar. Penyelesaian: Untuk 5 m 10, 52 = 25  5 ; 62 = 36  6 ; . . . ; 102 = 100  10 Berarti tidak ada satupun m  E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi, kalimat (m E) m2 = m salah

  14. Contoh (2b) • Nyatakanbilanganberkuantor di bawahinidalambahasasehari-hari (bilanganbulat m) m2 = m • Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : • Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri • Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri • Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.

  15. Contoh (3a) • Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 2 0 • Penyelesaian: a. Jika x = 1 maka x2 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0Jadi, tidaksemua x memenuhi x2 – 2  0 sehinggakalimat(x) x2 – 2  0bernilai salah.

  16. Contoh (3b) • Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 10x + 21 = 0 • Penyelesaian: x2 – 10x + 21 = 0 (x – 3)(x – 7) = 0 x1 = 3 ; x2 = 7 Memangbenarada x yang memenuhirelasi x2 – 10x + 21 = 0 (yaitu 3 dan 7) sehinggakalimat (x) x2 – 10x + 21 = 0 bernilaibenar.

  17. Contoh (4a-b) • Terjemahkankalimat di bawahinidenganmenggunakankuantordan • Beberapa orang rajinberibadah. • Setiapbilanganadalahnegatifataumempunyaiakarriil. • Penyelesaian: a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x). b. Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif” q(x) : “x mempunyai akar riil” Maka kalimat (b) dapat ditulis (x)(p(x)  q(x)).

  18. Contoh (4c-d) • Terjemahkankalimat di bawahinidenganmenggunakankuantordan • Ada bilangan yang tidak riil. • Tidaksemuamobilmempunyaikarburator. • Penyelesaian: c. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil” maka kalimat (c) dapat ditulis sebagai (x)  p(x). d. Jika q(y) = “mobil mempunyai karburator” Maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai ((y) q(y)). atau kalimat (d) dapat ditulis sebagai (y)  q(y).

  19. IngkaranKalimatBerkuantor • Secara umum: • Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah : “Ada x yang tidak bersifat p(x)” Dalam simbol:  ((x  D) p(x))  (x  D)  p(x) • Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” adalah : “Semua x tidak bersifat q(x)”. Dalam simbol :  ((x  D) q(x))  (x  D)  q(x)

  20. Contoh (5a) • Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 • Penyelesaian: Untuklebihmemudahkanpenyelesaian, terlebihdahulukalimatditulisulangdenganmenggunakankuantor, kemudianbarulahdituliskaningkarannya. Kalimatmula-mula : (x bulat) x2 = 9 Ingkaran : (x bulat) x2 9 Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9

  21. Contoh (5b) • Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari 20 baris. • Penyelesaian: Kalimat mula-mula : (x  program COBOL) panjang x > 20 baris) Ingkaran : (x  program COBOL) (panjang x  20 baris) Atau : Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama dengan 20 baris

  22. Contoh (6a) • Tulislahkalimat di bawahinidalamsimbollogikaberkuantor, kemudiantulislahingkarannya (semestanyaadalahhimpunanbilanganbulat) Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 + x genap • Penyelesaian: Misalkan Z : himpunan bilangan bulat Misal p(x) : x bilangangenap q(x) : x2 + x bilangangenap Kalimatmula-mula : (x  z) (p(x)  q(x)) Ingkaran: (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)  q(x)) = (x  Z) (p(x)  q(x)) Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”

  23. PresentasiMatDis - Grace Beeh - 2011 Usainb: MingguDepan TTS MatDis

More Related