1 / 33

Matematika Diskrit

Matematika Diskrit. 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI. Kuliah 5. Dr.-Ing. Erwin Sitompul. http://zitompul.wordpress.com. Pekerjaan Rumah (PR 4). Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku : a) A  ( A  B ) = A  B b) A  ( A  B ) = A  B.

hamilton-tanner
Download Presentation

Matematika Diskrit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

  2. Pekerjaan Rumah (PR 4) BuktikanbahwauntuksembaranghimpunanAdanBberlaku: a) A(A  B) = AB b) A (A  B) = A B

  3. Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4) Solusi: a) A(A  B) = (AA)  (AB) Hk. Distributif = U (AB)Hk. Komplemen = AB Hk. Identitas b) A(A  B) = (AA) (AB) Hk. Distributif = (AB)Hk. Komplemen = AB Hk. Identitas

  4. Matriks • Matriks adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk baris dan kolom. • Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m dan jumlah kolom n, (m,n). • Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran nn. • Contoh matriks, yang berukuran 34, adalah:

  5. Matriks • Matriks simetri adalah matriks dengan aij = aji untuk setiap i dan j. • Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

  6. Relasi • Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian (improper subset) dari A  B. • Notasi: R (AB) • a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R menghubungkan a dengan b. • a R b adalah notasi untuk (a,b) R, yang artinya relasi R tidak menghubungkan a dengan b. • Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R.Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.

  7. Relasi • Contoh: • Misalkan A = { Amir, Budi, Cora } B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } • AB = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3), (Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3), (Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) } • Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu: • R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3), (Cora,SP) } • Dapat dilihat bahwa: • R (AB) • A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R • (Amir,DM)  R atau Amir R DM • (Amir,DSA) R atau Amir RDSA

  8. Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 } Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.

  9. Relasi • Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus. • Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AA. • Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari AA. Contoh: Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x adalah faktor prima dari y, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }.

  10. Representasi Relasi 1. Representasi dengan Diagram Panah

  11. Representasi Relasi 2. Representasi dengan Tabel

  12. Representasi Relasi 3. Representasi dengan Matriks • Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2, …,am} dan B = {b1,b2, …,bn}. • Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij] dimana:

  13. Representasi Relasi a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cora, dan b1 = DM, b2 = DSA, b3 = SP, dan b4 = E3 p1 = 2, p2 = 3, p3 = 4, dan q1 = 2, q2 = 4, q3 = 8, q4 = 9, q5 = 15 a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 9

  14. Representasi Relasi 4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah • Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). • Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. • Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul (vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc). • Jika (a,b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). • Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang (loop).

  15. Representasi Relasi Contoh: Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) } adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d }, maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

  16. Relasi Biner • Relasi-relasi pada satuhimpunandisebut juga relasi biner. • Relasi biner memiliki sifat-sifat: • Refleksif (reflexive) • Menghantar (transitive) • Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric)

  17. Relasi Biner 1. Refleksif (Reflexive) • Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) R untuk setiap aA. • Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika adaaA sedemikiansehingga (a,a) R. Contoh: Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) RelasiR = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) } bersifat refleksif karena terdapat anggota relasiyang berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu (1,1),(2,2),(3,3), dan (4,4). (b) Relasi R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) } tidakrefleksif karena (3,3) R.

  18. Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri (a,a)R untuk setiap a A  relasi bersifat refleksif Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Stidakrefleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S, ada (a,a) S untuk aN,seperti (1,1), (3,3). Ttidakrefleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a) Tyang memenuhi relasi tersebut.

  19. Relasi Biner • Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n. • Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.

  20. Relasi Biner 2. Menghantar (Transitive) • Relasi R pada himpunan A disebut menghantarjika (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R untuk semua a, b, cA.

  21. Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) } bersifat menghantar. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) R, tetapi (2,2) R, juga (4,2) dan (2,3) R, tetapi (4,3) R. (c)R = { (1,2), (3,4) } bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk aturan { (a,b) R dan (b,c) R }  (a,c) R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = { (4,5) } selalu menghantar.

  22. Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar atau tidak? Bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c, maka pasti a habis membagi c. { a R b  b R c }  a R c Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak? Stidakmenghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidakmenghantar karena (3,7) R.

  23. Relasi Biner 3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris (Antisymmetric) • Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b)  R, maka (b,a)  R untuk semua a,b A. • Relasi R pada himpunan Atidak simetris jika (a,b)  R sedemikian sehingga (b,a)  R. • Relasi R pada himpunan A sedemi-kian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R hanya jika a = b untuk a,b A disebut anti simetris. • Relasi R pada himpunan Atidak anti simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R. Relasi Simetris Relasi Anti Simetris

  24. Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) } bersifat simetris, karena jika (a,b)  R maka juga (b,a)  R. Disini, (1,2) dan (2,1)  R, begitu juga (2,4) dan (4,2)  R. bersifat tidak anti simetris, karena misalnya (1,2)  R dan (2,1)  R padahal 1  2. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } bersifat tidaksimetris, karena (2,3) R, tetapi (3,2) R. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4)  R dan (4,2)  R padahal 2  4.

  25. Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (c)R = { (1,1),(2,2),(3,3) } bersifat simetris dan anti simetris, karena (1,1) R dan 1 = 1, (2,2) R dan 2 = 2, dan (3,3) R dan 3 = 3. (d)R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) } bersifat tidaksimetris, karena (2,3) R, tetapi (3,2) R. bersifat anti simetris, karena (1,1) R dan 1 = 1 dan, (2,2) R dan 2 = 2.

  26. Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (e) R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) } bersifat simetris. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada Rpadahal 2  4. (f)R = { (1,2),(2,3),(1,3) } bersifat tidak simetris. bersifat anti simetris, karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R.

  27. Relasi Biner Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak simetris dan tidak anti simetris. Rtidak simetris, karena (4,2) R tetapi (2,4) R. Rtidak anti simetris,karena (2,3) R dan (3,2) R tetapi 2  3.

  28. Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris? Anti simetris? Bersifat tidak simetris, karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4) R tetapi (4,2) R. Bersifat anti simetris, karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3, maka (3,3) Rdan 3 = 3.

  29. Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris? Sbersifatsimetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S. Sbersifattidak anti simetris, karena walaupun terdapat(2,2) R, terdapat pula { (3,1),(1,3) } R padahal 3  1. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak simetris. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  anti simetris.

  30. Inversi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh: R–1 = { (b,a) | (a,b) R }.

  31. Inversi Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }. R–1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan: (q,p) R–1 jika q adalah kelipatan dari p. Maka akan diperoleh: R–1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }.

  32. Inversi Relasi Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R, maka matriks yang merepresentasikan R–1, misalkan N, adalah transpose dari matriks M. N = MT berarti bahwa baris-baris dari M menjadi kolom-kolom dari N

  33. Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.

More Related