1 / 34

Matematika Diskrit

Matematika Diskrit. 4. TEORI BILANGAN. Kuliah 7. Dr.-Ing. Erwin Sitompul. http://zitompul.wordpress.com. Bilangan Bulat. Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.

jerold
Download Presentation

Matematika Diskrit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Matematika Diskrit 4. TEORI BILANGAN Kuliah 7 Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

  2. Bilangan Bulat • Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0. • Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil, yang mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02.

  3. Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b bilangan bulat, a 0. Maka ahabismembagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac. Notasi: a | b jika b = ac, cZ dan a 0. Contoh: (a) 4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. (b) 4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

  4. Teorema Euclidean Teorema Euclidean 1: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r dengan 0 r < n. Contoh: (a)1987/97 = 20, sisa 47 1987 = 9720 + 47 (b) 25/7 = 3, sisa 4 25 = 73 + 4 (c) –25/7 = –4, sisa 3 –25 = 7(–4)+ 3 Tetapi bukan –25 = 7(–3) – 4, karena remainderr = –4 (sementara syarat 0 r < n)

  5. Pembagi Bersama Terbesar (PBT) Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b. Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d. Contoh: Tentukan PBT(45,36) ! • Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. • Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. • Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9. Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.

  6. Pembagi Bersama Terbesar (PBT) Teorema Euclidean 2: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0,sedemikian sehingga m = nq + r, 0 r < n. Maka PBT(m,n) = PBT(n,r). Contoh: Ambil nilai m = 66, n = 18, 66 = 183 + 12 Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6

  7. Algoritma Euclidean Tujuan Algoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat. Penemu Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.

  8. Algoritma Euclidean Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan mn, misalkan r0 = m dan r1 = n. Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk memperoleh: r0 = r1q1 + r2 0 r2r1, r1 = r2q2 + r3 0 r3r2, ri–2 = ri–1qi–1 + ri 0 riri–1, ri–1 = riqi + 0 … Menurut Teorema Euclidean 2, PBT(m,n) = PBT(r0,r1) = PBT(r1,r2) = … = PBT(ri–2,ri–1) = PBT(ri–1,ri) = PBT(ri,0) = ri Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut, yaitu ri.

  9. Algoritma Euclidean Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (mn). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n. Algoritma Euclidean 1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP. Jika n 0, lanjutkan ke Langkah 2. 2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke Langkah 1.

  10. Algoritma Euclidean Contoh: Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat mn dipenuhi. 80 = 126 + 8 12 = 81 + 4 8 = 42 + 0 n = 0  m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP.

  11. Kombinasi Linier PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari a dan b dengan koefisien-koefisennya yang dapat dipilih bebas. Contoh: PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)80 + 712 Koefisien, dapat dipilih bebas Teorema Kombinasi Linier: Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBT(a,b) = ma + nb.

  12. Kombinasi Linier Contoh: Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312 dan 70! Solusi: Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(312,70) = 2 sbb: 312 = 470 + 32 (1) 70 = 232 + 6 (2) 32 = 56 + 2 (3) 6 = 32 + 0 (4) Susun (3) menjadi 2 = 32 – 56 (5) Susun (2) menjadi 6 = 70 – 232 (6) Masukkan (6) ke (5) menjadi 2 = 32 – 5(70 – 232) = 132 – 570 + 1032 = 1132 – 570 (7) Susun (1) menjadi 32 = 312 – 470 (8) Masukkan (8) ke (7) menjadi 2 = 1132 – 570 = 11(312 – 470) – 570 = 11312 – 4970 Jadi, PBT(312, 70) = 2 = 11312 – 4970

  13. Aritmatika Modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m Hasil dari modulo m terletak di dalam himpunan { 0,1,2,…,m–1 }

  14. Kongruen Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3. Maka dikatakan 38  13 (mod 5). Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5. Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0. Jika m habis membagi a – b, maka ab (mod m). Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a b (mod m).

  15. Kongruen Contoh: • 17  2 (mod 3)  3 habis membagi 17–2 = 15 • –7  15 (mod 11)  11 habis membagi –7–15 = –22 • 12  2 (mod 7)  7 tidak habis membagi 12–2 = 10 • –7  15 (mod 3)  3 tidak habis membagi –7–15 = –22

  16. Kongruen ab (mod m) dapat dituliskan sebagai a = b + km (k adalah bilangan bulat). Contoh: 17  2 (mod 3)  17 = 2 + 53 –7  15 (mod 11)  –7 = 15 + (–2)11 a mod m = r dapat juga ditulis sebagai ar (mod m). Contoh: 23 mod 5 = 3  23  3 (mod 5) 6 mod 8 = 6  6  6 (mod 8) 0 mod 12 = 0  0  0 (mod 12) –41 mod 9 = 4  –41  4 (mod 9) –39 mod 13 = 0  –39  0 (mod 13)

  17. Kongruen Teorema Kongruen: Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1. Jika ab (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka • (a + c)  (b + c) (mod m) • acbc (mod m) • apbp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif 2. Jika ab (mod m) dan cd (mod m), maka • (a + c)  (b + d) (mod m) • acbd (mod m)

  18. Kongruen Contoh: Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut Teorema Kongruen, 17 + 5  2 + 5 (mod 3)  22  7 (mod 3) 175  25 (mod 3)  85  10 (mod 3) 17 + 10  2 + 4 (mod 3)  27  6 (mod 3) 1710  24 (mod 3)  170  8 (mod 3)

  19. Bilangan Prima Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh: 23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Contoh: 20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

  20. Relatif Prima Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBT(a,b) = 1. Contoh: 20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1. 7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1. 20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1. Contoh: Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1, sehingga dapat ditulis 220 + (–13)3 = 1 (m = 2, n = –13). Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1, sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m20 + n5 = 1.

  21. Inversi Modulo Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse) dari perkalian adalah pembagian. Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4  1/4 = 1. Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi modulo lebih sukar. Jikaadanmrelatif prima danm > 1, makaterdapatinversi (balikan) daria modulo m. Balikandaria modulo madalahbilanganbulatx sedemikiansehinggaax 1 (mod m).

  22. Inversi Modulo Contoh: Tentukan balikan dari 4 (mod 9) ! Solusi: Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 9 = 24 + 1. Susun persamaan di atas menjadi   –24 + 19 = 1. Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa–2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).  Periksa bahwa  –24  1 (mod 9)

  23. Inversi Modulo Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9) adalah juga inversi dari 4. Contoh: 7  –2 (mod 9)  9 habis membagi 7 – (–2) = 9 –11  –2 (mod 9)  9 habis membagi –11 – (–2) = –9 16  –2 (mod 9)  9 habis membagi 16 – (–2) = 18

  24. Inversi Modulo Contoh: Tentukan balikan dari 17 (mod 7) ! Solusi: Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 17 = 27 + 3 (1) 7 = 23 + 1 (2) 3 = 31 + 0 (3) Susun (2) menjadi   1 = 7 – 23 (4) Susun (1) menjadi 3 = 17 – 27 (5) Masukkan (5) ke (4) 1 = 7 – 2(17 – 27) 1 = –217 + 57 Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 17 (mod 7)  Periksa –217  1 (mod 7)

  25. Inversi Modulo Contoh: Tentukan balikan dari 18 (mod 10) ! Solusi: Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, makainversidari18 (mod 10) tidakada.

  26. Kongruensi Linier Kongruensi linier berbentuk: axb (mod m), dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah variabel bilangan bulat. Pemecahan: ax = b + km  x = (b + km) / a Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang memberikan hasil x bilangan bulat.

  27. Kongruensi Linier Contoh: Tentukan solusi untuk 4x 3 (mod 9) ! Solusi: 4x 3 (mod 9)  x = (3 + k9 ) / 4 k = 0 x = (3 + 09) / 4 = 3/4  bukan solusi k = 1 x = (3 + 19) / 4 = 3  solusi k = 2 x = (3 + 29) / 4 = 21/4  bukan solusi k = 3, k = 4  tidak memberi solusi k = 5 x = (3 + 59) / 4 = 12  solusi … k = –1 x = (3 – 19) / 4 = –6/4  bukan solusi k = –2 x = (3 – 29) / 4 = –15/4  bukan solusi k = –3 x = (3 – 39) / 4 = –6  solusi … k = –7 x = (3 – 79) / 4 = –15  solusi … Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

  28. Kongruensi Linier Contoh: Tentukan solusi untuk 2x 3 (mod 4) ! Solusi: 2x 3 (mod 4)  x = (3 + k4 ) / 2 • Oleh karena k4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k4 akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil. • Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu bilangan pecahan. • Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi2x 3 (mod 4).

  29. Kongruensi Linier Contoh: Tentukanxsedemikianhingga 3x 4 (mod 7) ! Solusi: 3x  4 (mod 7) (3)–13x  (3)–14 (mod 7) x  (3)–14 (mod 7) x  –24 (mod 7) x  –8 (mod 7) x  6 (mod 7) x = {..., –8, –1, 6, 13, 19, ...}

  30. Aplikasi Teori Bilangan: ISBN • ISBN (International Standard Book Number) • Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–3015–4561–9. • ISBN terdiri atas empat bagian kode: • Kode yang mengidentifikasikan bahasa • Kode yang mengidentifikasikan penerbit • Kode unik untuk buku tersebut • Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka atau huruf X)

  31. Aplikasi Teori Bilangan: ISBN Karakter uji dipilih sedemikian hingga Contoh: ISBN 0–3015–4561–8 0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015 : kode penerbit 4561 : kode unik buku yang diterbitkan 8 : karakter uji. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:   10 + 23 + 30 + 41 + 55 + 64 + 75 + 86 + 91 = 151 Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8

  32. Aplikasi Teori Bilangan: ISBN Contoh: ISBN 978-3-8322-4066-0 MulaiJanuari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit Cara perhitunganmenjadiberbedadandipergunakan modulo 10 Karakterujiinididapatkansebagaiberikut:   91 + 73 + 81 + 33 + 81 + 33 + 21 + 23 + 41 + 03 + 61 + 63 = 100 Jadi, karakterujinyaadalah 100 + x13 0 (mod 10) x13 = 0

  33. PekerjaanRumah (PR7) No.1: Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88. No.2: Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksakarakterujidari ISBN tersebut.

  34. PekerjaanRumah (PR7) No.1: Tentukansolusiuntuk 5x 7 (mod 11) ! No.2: BiladiberikankodeISBN-10: 0072880082, periksaapakahkodeiniadalah valid atautidak. Petunjuk: Periksakarakterujidarikode ISBN tersebut. New No.3: Sukarelauntuktambahan 20 poin KodeISBN-13: 978-007289A054 adalah valid. Berapakahnilaidari A?

More Related