UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2. Objetivos: • Determinar a deformação de elementos carregados axialmente. • Desenvolver método para encontrar as reações dos apoios indeterminados, usando as equações de equilíbrio. • Analisar os efeitos da tensão térmica, das concentrações de tensão e das deformações inelásticas. Tema de aula 4: Carga Axial SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: • 4.1 Princípio de Saint-Venant • 4.2 Deslocamento e deformação Elástica de um Elemento com Carregamento Axial • 4.3 Princípio da Superposição • 4.4 Membro com Carga Axial Estaticamente Indeterminado • 4.5 Método das Forças para Analisar Membros com Carga Axial • 4.6 Tensão Térmica • 4.7 Concentrações de Tensão • 4.8 Deformação Axial Inelástica • 4.9 Tensão Residual “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

3. 4.1-Principio de Saint Venant “a tensão e a deformação produzidas em ptssuficientemente distantes da região de aplicação da carga serão as mesmas para quaisquer cargas aplicadas na mesma região e que tenham mesma resultante” • 4.2-Deslocamento e deformação elástica de elemento com carga axial δ é o deslocamento relativo. δ =L-L0 Logo no elemento; e pela L. Hooke; Então; Se P e A forem constantes; Convenção de Sinais: força axial interna e deslocamentopositivos se provocarem, respectivamente, tração e alongamento; ou

4. Exemplo: S Sol: Obtemos as forças internas pelo método das seções: Graficamente ; Pela convenção de sinais, em AB e BC temos deslocamento positivo, e em CD negativo. Para o deslocamento de A somamos todos os deslocamentos; para BC fazemos apenas o deslocamento , positivo neste trecho:

5. 4.3-Princípio da superposição “Podemos separar a carga em componentes e somar seus efeitos”, se; 1. A carga for linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento. Ex: As relações σ= P/A e δ = PL/AE . 2. A carga não mudar muito a geometriado elemento. Ex: Não poderia, pois P=P1+P2, mas Pd ! • 4.4-Membro com carga axial estaticamente indeterminado Ocorre quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações no membro. Ex: D.C.L: Estaticamente indeterminada pois; (não podemos obter FA nem FB). Usamos como equação de compatibilidade os deslocamentos δ, que neste caso será; δA/B=0 (barra fixa em A e B), então secionamos a barra e somamos os deslocamentos através das forças obtidas em cada trecho. a eq. da compatibilidade fica; e o sistema agora é determinado. • 4.5-Método das forças para analisar membros com carga axial Trata-se também de resolver problemas indeterminados, porém usando a superposição para escrever as equações de compatibilidade. Ao invés de secionar, somamos os deslocamentos de forças atuando independentemente no membro(eliminamos momentaneamente a reação de um apoio considerado redundante, depois consideramos apenas ele agindo) a eq. da compatibilidade fica; e o mesmo sistema agora é determinado.

6. Exemplo: A barra uniforme está submetida a uma carga P no colar B. Determinar as reações nos pinos A e C. Desprezar as dimensões do colar. Sol: Façamos o D.C.L ; As eq. de equilíbrio mostram ser indeterminado. Resolvendo pelo método das forças, fazemos a superposição. Inicialmente consideramos Fc redundante, P causaria deslocamento +; Depois consideramos apenas Fc que causaria deslocamento -; As Eq.s de compatibilidade ficam então: Usando a eq. de equilibrio temos:

7. Fazer: A carga de 1.500 lb deve ser suportada por dois arames verticais de aço A-36. Se, inicialmente, o arame AB tiver 50pol de comprimento e o arame AC tiver 50,1 pol de comprimento, determinar a força desenvolvida em cada arame depois que a carga estiver suspensa. Cada arame tem área da seção transversal de 0,02 pol2.

8. Fazer: Um tubo de aço A-36 tem um núcleo de alumínio 6061-T6. Submetidos àforça resultante de tração 200kN, se deslocam igualmente. Determinar a tensão normal média no alumínio e no aço devido a esse carregamento. O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm.

9. 4.6-Tensão térmica A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado devido à ΔT é calculada por: α =coef. Linear de dilatação térmica (tabela). se a temperatura varia em x; Se elemento for estaticamente indeterminado, limitado por apoios, produz tensões térmicas calculadas pelos métodos descritos anteriormente. Exemplo: Três barras feitas de materiais diferentes estão acopladas e colocadas entre duas paredes sob uma temperatura T1= 12°C. Determinar a força exercida sobre os apoios (rígidos) quando a temperatura muda para T2 = 18°C. As propriedades dos materiais e a área das seções transversais são dadas na figura. Sol: Resolveremos pelo método das forças, com a superposição dos deslocamentos; Inicialmente consideramos Fapoio redundante, a Ftensão térmica causaria deslocamento + (δT); Depois consideramos apenas Fapoioque causaria deslocamento – (δ); As Eqs. de compatibilidade ficam então: 0= δT- δ

10. 4.7-Concentrações de tensão Em projetos precisamos estimar a tensão máxima verdadeira (σmáx) que atua na menor área: Isso será feito baseado na tensão média (σméd=P/A ) que atua na menor área, e no fator de concentração de tensão (K); K é tabelado em função da geometria do corpo. Ex: Na região elástica, concentrações de tensão são mais importantes em materiais frágeis que rompem logo após esta região, dúcteis ainda teriam escoamento. Ocorrem em mudanças súbitas de áreas da seção. Ex:

11. Fazer: Determinar a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando esta é submetida a uma tração P = 2 kip.

12. 4.8-Deformação axial inelástica. Um material perfeitamente plástico (ou elastoplástico) tem o seguinte comportamento gráfico; Aplicando numa barra uma carga P que provoca tensão elástica σ=σ1 e deformação ε1; A carga sempre poderá ser obtida pelo volume da tensão Aumentando para uma carga P’ que inicie escoamento parcial com σ =σE (aumenta volume); Aumentando para a carga plástica Pp , esta causará escoamento total σ =σE (volume máximo), até que o encruamento (endurecimento por deformação) solicite carga extra;

13. Exemplo: A barra é feita de aço e supõe-se que seja elástica perfeitamente plástica, com σE= 250 MPa. Determinar (a) o valor máximo da carga PEque pode ser aplicada sem provocar escoamento do aço e (b) o valor máximo de Pp que a barra pode suportar. Esquematizar a distribuição de tensão na seção crítica para cada caso. Sol: (a) Na região elástica precisamos do fator de com- centração de tensão (K) para obter o pico máx: K=1.75(tabela) Logo: (b)A carga máxima é a carga plástica Pp quando toda área está sob tensão uniforme de escoamento σE:

14. 4.9-Tensão Residual. Se um elemento estaticamente indeterminado escoa devido ao carregamento externo, quando retirada esta carga aparecerão tensões residuais dos apoios. Ex: Um elastoplástico sob tensão axial σE se deforma plasticamente εc; Retirando sua carga ele retorna elasticamente até o’; E se ele for estaticamente indeterminado? Retirando sua carga, ele ainda sofrerá um tensão residual elástica extra do apoio retornando até D; Trata-se de uma superposição (soma) da tensão causada pelo carregamento OC plástico na ‘ida’, com a tensão causada pelo descarregamento CD elástico (de sinal contrário) na ‘volta’. (a diferença entre as tensões na ‘ida’ e na ‘volta’, será a tensão residual permanente)

15. Exemplo: A haste tem raio de 5 mm e é feita de um material elastoplásticode σE= 420 MPa e E=70GPa. Aplicando P=60 kN à haste e depois retirando, determine (a) a tensão residual na haste e (b) o deslocamento permanente do colar em C. Sol; (a) Da análise elástica feita em 4.5 teríamos FA=45KN e FB=15KN, com (são as tensões das descargas elásticas causadas pelos apoios na ‘volta’ (em sentidos contrários) Calcularemos os carregamentos na ‘ida’; AC torna-se plástico em 420MPa, antes de CB; Logo, para que as cargas se anulem, teremos; consequentemente Portanto e na ‘ida’, que levam aos ptsB’(-420) e A’(344) do gráfico; -Nota: p/obter em B’, fariamos com Logo as tensões residuais são; que retornando elasticamente levam aos ptsC’ e D’; (b) Precisamos da deformação residual (poderia ser em AC), para obter o deslocamento Logo; finalmente;

16. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! • Bibliografia: • R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.