1 / 11

TUJUAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. POKOK BAHASAN. TUJUAN. MATERI. ILLUSTRASI. LATIHAN. SELESAI. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. POKOK BAHASAN. Pertemuan Ke-10 : Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya. TUJUAN. MATERI. ILLUSTRASI. LATIHAN. Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI.

halona
Download Presentation

TUJUAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

  2. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-10 : Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI

  3. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN • Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

  4. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN • Menurut Gauss, “ Jikasuatubilangannmengukurperbedaanantaraduabilanganadanb, makaadanbdikatakankongruenterhadapn”. TUJUAN • Pengertianmengukurdalampernyataanitumaksudnyaadalahbahwapanjang (modulus) ndapatmembagihabisperbedaanantarakeduabilanganitu. MATERI ILLUSTRASI Definisi:Misalkan n adalahbilanganbulatpositif. Duabilanganbulat a dan b dikatakankongruen modulo n, dinotasikandengan  a ≡ b (mod n)jika n |(a – b) LATIHAN Contoh 1:3≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7) SELESAI Contoh 2:25 ≡ 12 (mod 7) /

  5. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN • Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari ! • Di dalam kongruensi • a ≡ b (mod n) • Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ? TUJUAN MATERI • Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a, b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ? ILUSTRASI • Kita mengetahui bahwa • –33 ≡ 9 (mod 7) –33 ≡–12 (mod 7) –33 ≡ 2 (mod 7) • Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ? LATIHAN • Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah • tentukan sisa pembagian • 532012dibagidengan7 SELESAI

  6. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Sifat-Sifat Dasar Kongruensi POKOK BAHASAN • Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat • a ≡ a (mod n) • a ≡ b (mod n)  b ≡ a (mod n) • a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)  a ≡ c(mod n) • a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  a + c ≡ b + d (mod n) • a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  ac ≡ bd (mod n) • (5) a ≡ b (mod n)  a + c ≡ (b+ c) mod ndan ac ≡ bc (mod n) • (6) a ≡ b (mod n)  ak ≡ bk (mod n) untuk k N TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

  7. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN • Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan • 532012 dibagi dengan 7. POKOK BAHASAN • Pembahasan TUJUAN Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0  a < 7 sehingga 532012 ≡a (mod 7) MATERI Perhatikan 53≡ 4 (mod 7)  533 ≡ 43 (mod 7)  533 ≡ 1 (mod 7) ILLUSTRASI  (533)670≡1670(mod 7)  532010≡ 1 (mod 7) LATIHAN  532010 . 532≡ 1 . 532 (mod 7)  532012 ≡ 532 (mod 7) SELESAI Ini artinya 532012 dibagi 7 sisanya adalah 2  532012 ≡ 2 (mod 7)

  8. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN • Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa • 7 | 52n + 3 . 25n-2 POKOK BAHASAN • Pembahasan TUJUAN • Kita akan membuktikan bahwa • 52n + 3 . 25n-2≡ 0 (mod 7) Perhatikan 52 ≡ 4 (mod 7) MATERI  52n≡ 4n (mod 7) (1) Sedangkan 25 ≡ 4 (mod 7)  25(n – 1)≡ 4(n – 1) (mod 7) ILLUSTRASI  25(n – 1) . 23≡ 4(n – 1) . 23 (mod 7)  25n – 2≡ 4(n – 1) (mod 7)  3. 25n – 2≡ 3. 4(n – 1) (mod 7) (2) LATIHAN Dari (1) dan (2) : 52n + 3.25n-2≡ 4n + 3.4n-1 (mod 7)  52n + 3.25n-2≡ 4. 4n-1 + 3.4n-1 (mod 7) SELESAI  52n + 3.25n-2≡ 7. 4n-1 (mod 7)  52n + 3.25n-2≡ 0 (mod 7) Ini artinya 7 | 52n + 3 . 25n-2

  9. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) POKOK BAHASAN • 1. Buktikanmasing-masingpernyataandibawahini: • a. Jikaa ≡b(mod n) danm | n, makaa ≡ b(mod m) • b. Jikaa ≡b (mod n) danc > 0 makaca ≡cb (mod n) • c. Jikaa ≡ b(mod n) danbilanganbulata, b, nsemuanyadapatdibagi • dengand > 0 makaa/d≡ b/d(mod n/d) • Berikancontohuntukmenunjukkanbahwaa2≡ b2(mod n) tidaperlu • mengakibatkanbahwaa≡ b(mod n) • Jikaa ≡b (mod n), buktikanbahwafpb(a, n) = fpb(b, n) • 4. Carilahsisanyaapabila 250dan 4165dibagidengan 7 • 5. Carilahsisapembagianbilangandibagidengan 7. • 6. Berapakahsisanyaapabilajumlahdaribilangan-bilangan • 15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005 • dibagidengan 4. TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

  10. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (2) POKOK BAHASAN • Buktikanbahwa 53103 + 10353dapatdibagidengan 39, danbahwa • 111333 + 333111dapatdibagidengan 7. • Untukn> 1 , gunakanteorikongruensiuntukmemeriksapernyataanpembagian • dibawahini • a. 13 | 3n+2 + 42n+1 • b. 27 | 25n+1 + 5n+2 • c. 43 | 6n+2 + 72n+1 • 9. Gunakanteorikongruensiuntukmemerikabahwa • 89| 244 – 1 dan 97 | 248 –1 • Buktikanbahwaapabilaab ≡ cd (mod n) danb≡d (mod n) dengan • fpb(b, n) = 1, makaa≡c (mod n). • Jikaa≡b (mod n1) dana≡c (mod n2), buktikanbahwab≡ c (mod n) dimana • bilanganbulatn = fpb(n1, n2) TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

  11. BAHAN AJAR TEORI BILANGAN POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

More Related