Matematika Diskrit

Matematika Diskrit 1. LOGIKA (LOGIC) Kuliah 2 Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1) Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan semboyan dagang untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar semboyan “Barang bagus tidak murah”, sedangkan pedagang kedua mempunyai semboyan “Barang murah tidak bagus”. Selidiki apakah kedua semboyan pedagang tersebut menyatakan hal yang sama atau tidak? Solusi: Bila p: Barang itu bagusq: Barang itu murah Maka semboyan pedagang pertama adalah p ~q Semboyan pedagang kedua adalah q ~p ? p ~q  q ~p

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1) p ~q  q ~p Kedua semboyan pedagang menyatakan hal yang sama.

Varian Proposisi Bersyarat Konversi: q p Inversi: ~p ~q Kontraposisi: ~q ~p

Varian Proposisi Bersyarat Contoh: Tentukan konversi, inversi, dan kontraposisi dari:“Jika Amir memiliki mobil, maka ia orang kaya.” Solusi: Konversi: “Jika Amir orang kaya, maka ia memiliki mobil.” Inversi: “Jika Amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya.” Kontraposisi: “Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil.” Konversi: q p Inversi: ~p ~q Kontraposisi: ~q ~p

p hanya jika q Kontraposisi Contoh: Tentukan kontraposisi dari proposisi-proposisi berikut: a) “Jika ia bersalah, maka ia dimasukkan ke dalam penjara.” b) “Jika 6 lebih besar dari 0, maka 6 bukan bilangan negatif.” c) “Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.” Solusi: a) “Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.” b) “Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.” c) “Jika Iwan tidak belajar, maka ia tidak lulus ujian.” Kontraposisi: ~q ~p

p hanya jika q p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p Kontraposisi Contoh: d) “Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapatpekerjaan itu.” e) “Perlu ada angin agar layang-layang bisaterbang.” f) “Cukup hari hujan agar hari ini dingin.” Solusi: d) “Jika ia terlambat, maka ia tidak akan mendapat pekerjaan itu.” e) “Jika tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisa terbang.” f) “Jika hari ini tidak dingin, maka hari ini tidak hujan.”

Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi) • Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” • Notasi: pq pq  (p q)  (q p)

Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi) Dengan kata lain, “p jika dan hanya jika q” dapat pula dibaca “jika p maka q dan jika q maka p”

Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi) • Berbagai cara membaca bi-implikasi pq: • p jika dan hanya jika q. • p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. • Jika p maka q,dan sebaliknya. • p iffq.

Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi) • Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi dalam berbagai bentuk • 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. • Syarat perlu dan syarat cukup agar turun hujan adalah kelembaban udara yang tinggi. • Jika Anda orang kaya, maka Anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya. • Cikarang terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah provinsi di Indonesia. • Jika udara di luar panas maka Anda membeli es krim, dan jika Anda membeli es krim maka udara di luar panas.

Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi) • Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi dalam berbagai bentuk • Syarat cukup dan perlu agar Anda memenangkan pertandingan adalah Anda melakukan banyak latihan. • Anda naik jabatan jika Anda punya koneksi, dan Anda punya koneksi jika Anda naik jabatan. • Jika saya lama menonton televisi maka mata saya lelah, begitu juga sebaliknya. • Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya.

Hukum Logika Implikasi dan Bi-Implikasi

Contoh Latihan Contoh: Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika.” a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika). b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (Petunjuk: Gunakan Hukum De Morgan). Solusi: Bila p: Dia belajar Algoritmaq: Dia belajar Matematika Maka: a) ~ (p ~q) b) ~ (p ~q)  ~ pq “Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika.”

Contoh Latihan Contoh: Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan:p : Pelayanannya baik.q : Tarif kamarnya murah.r : Hotelnya berbintang tiga. Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik dengan menggunakan p, q, dan r: a) “Tarif kamarnya murah tetapi pelayanannya buruk.” b) “Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak keduanya.” c) “Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah dan pelayannya buruk.” Solusi: a) q  ~p b) ~q p c) ~ (r  (q ~p)) (~q ~p)  (q p)

Contoh Latihan Contoh: Nyatakanlah pernyataan berikut dalam notasi simbolik:“Jika Anda berusia di bawah 17 tahun, maka Anda tidak dapat mengikuti Pemilu, kecuali kalau Anda sudah menikah.” Solusi: Anggap:p : Anda berusia di bawah 17 tahun.q : Anda sudah menikah.r : Anda dapat mengikuti Pemilu. Maka pernyataan di atas dapat dinyatakan dengan: (p ~q)  ~r “Jika Anda berusia dibawah 17 tahun dan belum menikah, maka Anda tidak dapat mengikuti Pemilu.”  r  (~pq)

Contoh Latihan Contoh: Tunjukkan bahwa [~p (p q)] q adalah sebuah tautologi. Solusi: Untuk menunjukkan tautologi, disusun tabel kebenaran: Benar untuksemua kasus [~p (p q)] q adalah sebuah tautologi.

Argumen Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai: Dalam hal ini p1, p2, …, pn disebut hipotesis (premis) dan q disebut konklusi. Argumen dapat bernilai sahih (valid) atau palsu (invalid). Perlu ditekankan, bahwa valid tidak sama maknanya dengan true (benar).

Argumen Definisi: Sebuah argumen dikatakan sahih (valid) jika konklusi benar, yaitu bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (invalid). Jika argumen sahih, maka kita mengatakan bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis; atau sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi:adalah benar. Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar. (p1p2 pn) q

Argumen Contoh: Perlihatkan bahwa argumen berikut adalah sahih:“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.”“Air laut surut setelah gempa di laut.”“Karena itu, tsunami datang.” Solusi: Misalkan:p : Air laut surut setelah gempa di laut.q : Tsunami datang. Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan: pq p q Terdapat 2 cara untuk membuktikan kesahihan argumen ini. Keduanya mempergunakan tabel kebenaran.

Argumen Cara 1: pq p q Menyusun tabel kebenaran p, q, dan pq: • Argumen sahih adalah: jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. • Kita periksa: apakah bila hipotesis p  q dan p benar, maka konklusi q juga benar. • Lihat baris 1: p  q dan p benar secara bersama-sama, dan q pada baris 1 juga benar. • Argumen adalah s a h i h.

Argumen Cara 2: pq p q Menunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa [(pq) p] qadalah sebuah tautologi Apabila tautologi, maka argumen adalah sahih • Argumen adalah s a h i h.

Argumen Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut adalah tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu:“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.”“Tsunami datang.”“Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.” Solusi: Misalkan:p : Air laut surut setelah gempa di laut.q : Tsunami datang. Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan: pq q  p • Perhatikan baris 3 • Konklusi p salah, walaupun semua hipotesis benar • Jadi, argumen tersebut tidak sahih atau p a l s u.

Pekerjaan Rumah (PR 2) No.1: Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar Anda bisa log on ke server.” a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p maka q.” b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut. No.2: Periksa kesahihan argumen berikut ini:“Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.”“5 tidak lebih kecil dari 4.”“5 adalah bilangan prima.”

Pekerjaan Rumah (PR 2) No.1: Diberikan pernyataan “Bila ingin mendaftarkan diri untuk berkonsultasi dengan dokter di rumah sakit ini, Anda cukup mengirimkan pesan singkat SMS ke nomor kami.” a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk implikasi “jika p maka q.” b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi dari implikasi diatas. New No.2: Periksa kesahihan argumen berikut ini:“Saya akan menyusun rancangan anggaran hanya jika Anda memberi persetujuan awal.”“Anda tidak memberi persetujuan awal.”“Saya akan menyusun rancangan anggaran.”

Matematika Diskrit