STATISZTIKA II. 8. Előadás

1. STATISZTIKA II.8. Előadás Dr. Balogh Péter egyetemi adjunktus Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék

2. Többváltozós regressziószámítás Eddig a kétváltozós leíró lineáris modellt ismertük meg. A valóságban általában az eredményváltozót nem egy hanem több magyarázó változóval lehet jól leírni. (több változó szükséges a lényeges összefüggések leírására) Ha a magyarázó változók száma (k) több (k>1), akkor többváltozós lineáris modellről beszélünk:

4. Többváltozós regressziószámítás A modellben az X-ek egymástól függetlenül ható tényezők (ha nincs multikollinearitás) . Ennek sérülése – a multikollinearitás – nem tartalmilag probléma, hanem rontja a becslés pontosságát. Az X-ek nem valószínűségi változók. Példák: Y: termelés X-ek: termelés tényezői Y: lakásár X-ek: alapterület, elhelyezkedés, kor, felszereltség Y: háztartások X-ek: fő, m2, felszereltség, vízfogyasztása virágok száma

5. A modell alakú, ahol y és ε vektorok n eleműek (n a megfigyelések száma), míg X oszlopainak és β elemeinek száma k+1, azaz az ismeretlen paraméterek száma. Az X mátrix első oszlopa csupa 1 elemből áll, ami konstans változót jelent, és a β0 tengelymetszet paraméter becsléséhez szükséges.

6. A βregressziós együtthatóvektor becslése (LKN módszerrel): Kiindulva az , és az ezekből következő egyenletekből, az maradék négyzetösszeget kell minimalizálni a függvényében, azaz azt a paramétervektort keressük, amelyik mellett az négyzetösszeg minimális. A feladatot többváltozós szélsőérték-számítással megoldva azt kapjuk, hogy feltéve, hogy az mátrix inverze létezik.

7. Az mátrix tartalma: ahol az összegzés minden esetben i=1, 2, …, n-ig megy és a változónevek (x1, x2 stb.) az X adatmátrix egy-egy oszlopát jelölik. Látható, hogy az első sorban és oszlopban a megfigyelések megfelelő összegei, az átlókban azok négyzetösszegei szerepelnek. A mátrix további elemei a változók minden lehetséges szorzatösszegét tartalmazzák.

8. Az mátrix szerkezetéből látszik, hogy • négyzetes és szimmetrikus, • sorainak és oszlopainak száma k+1, és • a változók átlaga, varianciája, változók kovarianciája. A mátrix tulajdonságaitól függ az is, hogy létezik-e a Lineáris algebrából ismert, hogy ehhez a (k+1)*(k+1) méretű mátrix rangjának k+1-nek kell lennie. Ez akkor következik be, ha • azaz a megfigyelések száma nem kisebb, mint a becsülni kívánt paraméterek száma (kevés információból sok paraméter nem becsülhető; 3*a paraméterek száma megfigyelések száma), és • mind a változók, mind a megfigyelések lineárisan független rendszert alkotnak (ha a változók között függvényszerű kapcsolat van a becslést nem lehet elvégezni).

9. Az Excel Eszközök/Adatelemzés/Regresszió menüje. A többváltozós regresszió paraméterei (azaz a elemei) parciális értelmezésűek. Ez annyit jelent, hogy az egyes együtthatók csak a j-edik változó közvetlen hatását tartalmazzák. A paraméter azt jelenti, hogy xj egységnyi növekedése mekkora változásával jár együtt, ha a többi x változót rögzítjük (ceteris paribus feltétel). Az egységet mindig az adott változó (xj, illetve y) mértékegységében kell érteni.(pl. lakásár: ezer Ft/m2, életkor: év)

10. A regressziós együtthatók mellett gyakran használjuk többváltozós esetben is az elaszticitási mutatószámokat, amelyek szintén parciális értelmezésűek. Az eredményváltozónak a j-edik magyarázó változó szerinti parciális rugalmassága (elaszticitása) azt mutatja meg, hogy a megfelelő magyarázó változó 1%-os növekedése (csökkenése) hány százalékos növekedéssel (csökkenéssel) jár együtt az eredményváltozóban, feltételezve, hogy az összes többi tényező nem változik (ceteris paribus). A kétváltozós eset alapján:

11. Az jól mutatja a rugalmasság parciális jellegét. Azt is mutatja, hogy az elaszticitás az xj-k különböző értékeinek függvénye, azaz nem állandó. Ha az elaszticitás függvény helyett konkrét számértékkel akarjuk jellemezni a jelenséget, meg kell adnunk, hogy melyik hely környezetében akarjuk értékelni az elaszticitás függvényt. Ha ez a hely például akkor az elaszticitás értéke: amely már egy százalékosan értelmezhető mutatószámot eredményez.

12. Az függvényértékek becslése a korábbiakhoz hasonlóan történik az egyenletből. Készíthető interpoláció és extrapoláció is (a két változós esethez hasonlóan). A reziduumok vektorának előállítása: amely egy n elemű oszlopvektor, elemei az egyes megfigyelésekhez tartozó maradékok értékei. A maradékok szórásnégyzete (reziduális variancia): A négyzetgyöke a reziduális szórás azt mutatja, hogy megfigyeléseink átlagosan mennyivel térnek el a becsült regressziós egyenes megfelelő pontjaitól.

13. Példa: A cementtermelés magyarországi alakulása és az erre ható tényezők idősorai. Az Excel segítségével végezzük el a becslést.

15. Az Excel segítségével végezzük el a becslést: A paraméterek értelmezése: Konstans: tengelymetszetet jelent, azaz azt, hogy mindkét magyarázó változó 0 értéke mellett mekkora cementtermelés lenne várható. Mivel ez irreális feltevés (távol van a megfigyeléseinktől), ilyen esetekben a tengelymetszet-paramétert nem értelmezzük. A 30,558 paraméter azt jelenti, hogy csupán a GDP növekedése (a lakásépítések számától függetlenül) úgy befolyásolja a cementtermelést, hogy 1 százalékponttal nagyobb GDP-növekedés a cementtermelés 30,6 ezer tonna növekedésével jár együtt. A másik paraméter úgy értelmezendő, hogy ha ezerrel több lakás épül, az a cementtermelés 21,2 ezer tonnával történő növekedését vonja maga után.

16. Számíthatjuk az elaszticitásokat is: pl. A cementtermelés GDP szerinti becsült parciális elaszticitása: ez függ attól, hogy melyik pontban vizsgáljuk. Az átlagpontban (x1átlag=101,6 és x2átlag=35958,3): Ha az időszak végi (legfrissebb) értékeket tekintjük (x1=122,6 és x2=35543), akkor Ez azt jelenti, hogy az időszak végére a cementtermelés érzékenyebb lett a GDP növekedési ütemére.

17. A regressziót is számíthatjuk az Excel-lel. Ezek alapján a maradék négyzetösszeg: és innen a (korrigálatlan) reziduális szórásnégyzet: , aminek gyöke a reziduális szórás: Azaz a regressziós egyenes pontjai átlagosan 223,62 ezer tonnával térnek el a tényleges cementtermelési adatoktól.

18. A pontosság és a kapcsolat mérése A paraméterek becslése után meg kell állapítani, hogy: • a becsült kapcsolat milyen erős, • milyen szoros, • vannak-e kölcsönös kapcsolatok a magyarázó változók között, • mennyire tekinthető sikeresnek az illesztés Erre ad választ a korrelációszámítás. A számítás során a kétváltozós lineáris korrelációs együtthatóból indulunk ki, amelyet az y és az xjváltozó között r(y, xj )=ryj, az xj és az xl között r(xj , xl)=rjl módon jelölünk.

19. A pontosság és a kapcsolat mérése Rendezzük a korrelációs együtthatókat mátrix formába: Ez a korrelációs mátrix, ami a kétváltozós korrelációs együtthatókat tartalmazza rendezett formában. A mátrix négyzetes, és mérete (k+1)*(k+1). Az eredményváltozó (y) megjelenik a mátrixban, de a konstans változó nincs benne (korrelációja bármely változóval értelmetlen, a nevezőben a konstans szórása nulla szerepelne). A mátrix szimmetrikus. Szoros kapcsolatban áll a kovarianciamátrixszal. Kovarianciamátrix - olyan négyzetes mátrix, amely több változó varianciáit és kovarianciáit tartalmazza szimmetrikus elrendezésben. A regressziószámításban az eredményváltozó és a magyarázó változók kovarianciamátrixát szokták használni.

20. A korrelációs mátrixban a kétváltozós korrelációs együtthatók a vizsgált változók közti minden közvetítőn keresztülgyűrűző kapcsolatok leírására szolgálnak. Mi kíváncsiak vagyunk a két változó közötti közvetlen kapcsolatra is, azaz a kapcsolatból kiszűrjük mindazt a hatást, ami más változók közvetítésével realizálódik. Parciális korrelációs együttható

21. Parciális korrelációs együttható: valamely magyarázó változó és az eredményváltozó olyan korrelációs együtthatója, amelyből a többi változó zavaró hatását kiszűrték. Három változós esetben (két hatótényező van) Az y eredményváltozó és az x1 magyarázó változó közti ry1.2parciális korrelációs együttható azt mutatja, hogy milyen szoros és milyen irányú a sztochasztikus kapcsolat y és x1 között akkor, ha csak a közvetlen kapcsolatot tekintjük, és kiiktatjuk az x2 -n keresztül érvényesülő közvetett hatásokat.

22. A parciális korrelációs együtthatók számítása általában a korrelációs mátrix inverzéből történik. Jelöljük a korrelációs mátrix inverzének elemeit q-val: Ekkor az y és a j-edik magyarázó változó parciális korrelációs együtthatója:

23. A parciális korrelációs együtthatók előállíthatók az egyszerű korrelációs együtthatókból is elemi úton. Ha a magyarázó változók száma 2:

24. A többszörös determinációs együttható: a kétváltozós eset determinációs együtthatójának többváltozós esetre történő kiterjesztése. A négyzetösszeg felbontásából származtatjuk: A második elem azt hangsúlyozza, hogy az y eredményváltozó és az összes többi változó kapcsolatát akarjuk jellemezni. Tartalma az, hogy a teljes regresszió által megmagyarázott eltérés négyzetösszeg hány százalékát teszi ki a teljes négyzetösszegnek. Hasonlít a H2 típusú mutatókhoz, értelmezhető PRE elv alapján, felfogható a modell magyarázó erejének is.

25. Az alapadatokból kiszámítása egyszerű. Bármelyik kettő ismeretében a négyzetösszeg-felbontás alapján kalkulálható a determinációs együttható.

26. A korrelációs mátrixból: Ahol qyy a korrelációs mátrix inverzének főátlóbeli eleme. A többszörös determinációs együttható előállítható közvetlenül a kétváltozós korrelációs együtthatókból. (két magyarázó változó esetén)

27. A többszörös korrelációs együtthatót a többszörös determinációs együttható pozitív előjelű négyzetgyökeként definiáljuk: Értéke arra utal, hogy a magyarázó változók és az eredményváltozó között milyen szoros a kapcsolat. A többszörös korrelációs együttható felírható egyszerű korrelációs együtthatóként is:

28. A multikollinearitás jellemzésekor az eredményváltozó és a magyarázó változók egy részhalmaza között keressük a kapcsolatot. • Kereshetjük a j-edik magyarázó változó és a többi magyarázó változó közti teljes magyarázó erő leírását adó determinációs együtthatót is. A 2. esetben pl. az determinációs együtthatót keresve felírhatjuk a regressziót, majd ezt becsüljük és négyzetösszegeiből előállítjuk a megfelelő determinációs együtthatót.

29. Ha különböző számú magyarázó változót tartalmazó modellek illeszkedését hasonlítjuk össze a determinációs együttható nem jól használható. Szabadságfokkal korrigált mutatót kell alkalmazni!!!!

30. Példa: A KSH 2001-es kistérségi adatbázisából véletlenszerűen kiválasztott 15 kistérség adatai.

32. A három változó közötti korrelációs mátrix: Az ipar hatása erős pozitív (0,7118), a munkanélküliség hatása erős negatív (-0,7466), a kölcsönhatásuk közepes negatív (-0,3956).

33. A parciális korrelációs együtthatók számítása pl. Az iparosodás és jövedelemképződés közötti közvetlen kapcsolat szoros és pozitív, de gyengébb mint a teljes kapcsolat (a munkanélküliség közvetett hatása miatt). nagyobb iparosodás kisebb munkanélküliség jövedelem növekedés

34. A determinációs együttható meghatározásához a négyzetösszeg-felbontást használjuk fel: A többszörös determinációs együttható: Ez azt jelenti, hogy a kistérségi jövedelmek alakulását kb. 77%-ban tudjuk magyarázni a két változóval (a modell magyarázó ereje 77%-os). A többszörös korrelációs együttható ennek négyzetgyöke: Amely a tényleges és modellből becsült jövedelmek szoros kapcsolatát mutatja.

35. Útelemzés Valós esetekben a magyarázó változók nem korrelálatlanok, egyik elmozdulása szükségképp elmozdítja valamely másikat is, így a parciális hatások mellett közvetett hatások is jelentkeznek és ezeket is szükséges vizsgálni a regresszióban. pl. háztartások tejfogyasztása (eredményváltozó) egy főre jutó jövedelem és a háztartásban élő gyermekek száma (magyarázó változók) A két magyarázó változó nem független egymástól, mivel a gyermekek számának növekedésével csökken az egy főre jutó jövedelem. Az egy főre jutó jövedelem parciális regressziós együtthatója csak a közvetlen hatást mutatja (növekvő jövedelem növekvő fogyasztást okoz) Teljes hatás < közvetlen hatás !!!!!!

36. Útelemzés Legyen regressziónk most A jövedelem és a tejfogyasztás közvetlen kapcsolatát a βy1 együttható fejezi ki. A teljes hatáshoz szükség van a másik ágon realizált hatások felmérésére. Az x1 és x2 közötti kapcsolatot a két magyarázó változó közötti regresszióból kapjuk meg: A β21 paraméter azt jelenti, hogy az egy egységgel magasabb egy főre jutó jövedelem mennyivel kisebb gyerekszámmal jár együtt átlagosan. tejfogyasztás egy főre jutó jövedelem gyermekek száma

37. Útelemzés A βy2 együttható azt mutatja, hogy eggyel nagyobb gyerekszám ceteris paribus mennyivel nagyobb fogyasztást okoz. Ezért, ha az egy főre jutó jövedelem közvetett hatását szeretnénk felmérni a fogyasztásra, a β21*βy2 szorzatot kell képeznünk. Ez azt jelenti, hogy az egy főre jutó jövedelem egységnyi növekedése a gyerekszámon keresztül hány egységgel növeli az egy főre jutó fogyasztást. A közvetlen és közvetett hatások összege adja meg a teljes hatást: Az ezt kifejező β1 paraméter az egy főre jutó jövedelem és az egy főre jutó tejfogyasztás közti kétváltozós regressziófüggvény meredekségi paramétere.

38. Az útelemzés sémája: A nyilak a regressziós kapcsolatokat jelölik. közvetlen hatás közvetett hatás Közvetlen hatás + Közvetett hatás = Teljes hatás

40. 20 háztartás adatai

41. Háromváltozós becsült regressziós függvény: együtthatói parciális értelmezésűek Milyen regressziós összefüggés van a gyerekszám és az egy főre jutó jövedelem között? A teljes hatás: Kétváltozós regresszióval is megkaphatjuk ezt az értéket, ha a gyerekszám és a tejfogyasztás közötti kapcsolatot közvetlenül vizsgáljuk:

42. Proxyk, dummyk és minőségi változók A regressziós modellekben megjelenhetnek magyarázó változóként diszkrét, ordinális szintű, nem megfigyelhető változók is. Proxy változó - nem megfigyelhető jelenség hatását pótló (helyettesítő) változó. A regresszió­számításban jellemző módon a magyarázó változók pozíciójában jelenhet meg. Pl. nemzetközi politikai légkör leírására az aranyár vagy olajár, analitikus trendszámításnál a t időváltozó (a regresszió speciális esete),

43. Proxyk, dummyk és minőségi változók Minőségi változók kezelése: minőségi ismérvnek két változata van: férfi – nő, vezető – beosztott, ….stb. (dummy – d – változó alkalmazása) lehetőségek: • d=1 férfi d=0 nő • d=0 férfi d=1 nő • d=1/2 férfi d= –1/2 nő A paraméterek értelmezése más az egyes esetekben!!!!

44. Használt gépkocsik futásteljesítménye, ára és törésjellemzője

45. A becslés eredménye: -79,13 jelentése az, hogy ha egy kocsinak volt töréskára az a kínálati árát 79 ezer Ft-tal csökkenti.

46. Ha kettőnél több változata van a minőségi ismérvnek (m kategória) akkor általában (a nullának tekintett referenciakategória mellett) m-1 számú változót használunk fel. Példa: A képzettség és a bér kapcsolata egy vállalatnál

47. Középfokú végzettség Felsőfokú végzettség

48. Regresszió megfogalmazása: y= havi bruttó bér x= munkában töltött évek KF; FF= A dummyk az alapfokú végzettséghez (referenciakategóriához) képest adják az eredményt