Metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego

1. Metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

2. Co było do tej pory? W zakresie prądów stałych: • Poznaliśmy podstawy teorii obwodów liniowych i nieliniowych prądu stałego. W zakresie prądów sinusoidalnie zmiennych: • Wprowadziliśmy pojęcia wartości skutecznej, wskazu, impedancji, kąta fazowego. • Znamy związki między wskazami prądu i napięcia na elementach RLC. • Umiemy rozwiązywać proste obwody. • Brakuje nam: ogólnej metody rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego.

3. Na tym wykładzie Cel: Zapoznanie się z symboliczną metodą analizy obwodów prądu sinusoidalnego. Zakres: • Liczby zespolone (przypomnienie), • Fazory • Prawa Ohma i Kirchhoffa w postaci zespolonej • Impedancja zespolona, zespolona moc pozorna • Wybrane zagadnienia

4. Liczby zespolone (przypomnienie) 1 Liczby zespolone • Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b). • Liczby rzeczywiste a i b stanowią odpowiednio część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej (a, b). • Liczbę zespoloną z = (a, b) zapisujemy zwykle w postaci kanonicznej gdzie jest jednostką urojoną (w matematyce stosujemy symbol i, ale w elektrotechnice i oznacza prąd, dlatego używamy wyjątkowo j).

5. Liczby zespolone Działania arytmetyczne Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych wykonuje się tak samo, jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem, że j2 = −1:

6. Liczby zespolone Imz b a + jb a Rez Interpretacja geometryczna • Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy Rez, zaś część urojoną Imz. • Jeżeli w układzie współrzędnych (x, y) będziemy na osi Ox odkładać części rzeczywiste, zaś na osi Oy – części urojone, to otrzymamy tzw. płaszczyznę zespoloną. • Liczbę zespoloną (a, b) interpretuje się geometrycznie jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.

7. Liczby zespolone Imz b a + jb |a + jb| a Rez Moduł liczby zespolonej • Długość odcinka pomiędzy punktem (a, b) a początkiem układu współrzędnych nazywamy modułem liczby zespolonej a + jb i oznaczamy |a + jb|. • Z rysunku wynika, że

8. Liczby zespolone Imz b a + jb |a + jb| α a Rez Argument liczby zespolonej • Kąt α pomiędzy odcinkiem łączącym punkt (a, b) z początkiem układu współrzędnych a osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy arg(a + jb). • Umownie argument przyjmuje wartości z przedziału od −π do π. • Z rysunku otrzymujemy

9. Liczby zespolone Imz b a + jb |a + jb| α a Rez Zapis trygonometryczny i wykładniczy • Z powyższego wynika, że liczbę zespoloną z = a + jb można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej gdzie α = arg(a + jb). • Korzystając ze wzoru Eulera, dostajemy postać wykładniczą liczby zespolonej Wzór Eulera

10. Liczby zespolone Działania na liczbach zespolonych • Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci kanonicznej: • Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci wykładniczej:

11. Liczby zespolone Imz zejψ z |z| ψ α Rez Imz jz z α Rez −jz Operator obrotu Liczbę zespoloną nazywamy operatorem obrotu o kąt ψ, gdyż w wyniku mnożenia liczby |z|ejα przez ejψ dostajemy liczbę niezmienionym module lecz argumencie α + ψ, czyli obróconą o kąt ψ. Wnioski: ponieważ j = ej90°, to • Liczba j jest operatorem obrotu o 90°, zaś liczba –j jest operatorem obrotu o −90°. • Mnożenie przez j obraca liczbę o 90°, • Dzielenie przez j obraca liczbę o −90°.

12. Liczby zespolone Imz z b a + jb |a + jb| α α a Rez −b a – jb z* Sprzężenie zespolone • Sprzężeniem zespolonym nazywamy zmianę znaku części urojonej. • Operację sprzężenia oznaczamy gwiazdką: • Liczby zespolone wzajemnie sprzężone mają jednakowe części rzeczywiste i moduły, ale ich części urojone oraz argumenty są przeciwnego znaku.

13. Liczby zespolone Pomocne zależności • Następujące zależności okazują się bardzo przydatne w operowaniu na liczbach zespolonych:

14. Fazory 2 Am A –ψ ωt a(t) Im A = Aejψ A ψ Re Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona • Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu o postaci odpowiada wskaz, który może być rozpatrywany jako odcinek łączący początek układu współrzędnych z pewnym punktem płaszczyzny. • Płaszczyznę tę możemy rozpatrywać jako płaszczyznę zespoloną. • Każdemu punktowi na tej płaszczyźnie odpowiada pewna liczba zespolona. • Wniosek: każdemu przebiegowi sinusoidalnemu odpowiada pewna liczba zespolona.

15. Fazory Am A –ψ ωt a(t) Im A = Aejψ A ψ Re Fazor • Tę liczbę zespoloną nazywa się zespoloną wartością skutecznąalbo fazorem. • Fazor przebiegu ma postać • Wielkości zespolone podkreślamy. • Uwaga: Należy odróżniać A i A, gdyż A to fazor przebiegu a(t), zaś A to wartość skuteczna (moduł fazora), tzn. A = |A|.

16. Fazory Przejście od fazora do wartości chwilowej • Mając fazor A, możemy otrzymać wartość chwilową a(t) jako • Wyprowadzenie:

17. Fazory Fazor pochodnej i całki Jeżeli przebieg sinusoidalny a(t) ma fazor A, to pochodna czasowa tego przebiegu ma fazor jωA, zaś całka z a(t) ma fazor A/jω. Wyprowadzenie:

18. Fazory Wnioski • Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie czasu zostaje sprowadzone do mnożenia i dzielenia w dziedzinie fazorów. • Równania różniczkowo-całkowe opisujące obwody elektryczne stają się równaniami algebraicznymi w dziedzinie fazorów, np. • Zaleta: nie musimy rozwiązywać równań różniczkowo-całkowych, a tylko algebraiczne! • Cena: obliczenia trzeba wykonywać na liczbach zespolonych.

19. Fazory dla elementów obwodu 3 Uwagi ogólne • Zakładamy, że wszystkie źródła napięciowe i prądowe mają jednakową częstotliwość, chociaż mogą mieć różne fazy. • Jednakowa częstotliwość oznacza, że ich wskazy wirują z tą samą prędkością kątową, zatem pozostają one względem siebie w ustalonej pozycji. • Zakładamy też, że wszystkie elementy są liniowe – tylko wtedy sinusoidalne napięcia powodują przepływ sinusoidalnego prądu.

20. Fazory dla elementów obwodu e(t) E E Źródło napięcia • Każdemu źródłu napięcia o przebiegu przyporządkowujemy fazor • Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy α.

21. Fazory dla elementów obwodu j(t) J J Źródło prądu • Każdemu źródłu prądu o przebiegu przyporządkowujemy fazor • Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy β.

22. Fazory dla elementów obwodu R R R i I I u U U Fazorowe prawo Ohma dla rezystora • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla rezystora liniowego zachodzi zależność • Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to • Na schemacie dla fazorów rezystor zaznacza się tak samo, jak dla prądów stałych.

23. Fazory dla elementów obwodu L jXL XL i I I u U U Fazorowe prawo Ohma dla cewki • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla cewki liniowej zachodzi zależność • Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to • Na schemacie dla fazorów cewkę zaznacza się jako reaktancję XL.

24. Fazory dla elementów obwodu I i I –jXC C XC U u U Fazorowe prawo Ohma dla kondensatora • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla kondensatora liniowego zachodzi zależność • Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to • Na schemacie dla fazorów kondensator zaznacza się jako reaktancję XC.

25. Fazory dla elementów obwodu U U I I I U Elementy RLC – podsumowanie R L C

26. Prawa Kirchhoffa dla fazorów 4 I1 I2 I5 I3 I4 Pierwsze prawo Kirchhoffa • Pierwsze prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać tzn. sumujemy algebraicznie fazory prądów w węźle z uwzględnieniem, czy prąd wpływa czy wypływa. • Uwagi: Pamiętamy, że nie wolno dodawać wartości skutecznych, lecz tylko wskazy. Ale fazory, to nic innego, jak algebraiczne oznaczenia wskazów. Dlatego dodawanie algebraiczne fazorów jest równoważne geometrycznemu dodawaniu wskazów.

27. Prawa Kirchhoffa dla fazorów Wyprowadzenie • Pierwsze prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych: • Wyrażamy wartości chwilowe przez fazory: • Równania (*) i (**) są częściami urojonymi równania (***) • Jeżeli równanie (***) jest spełnione, to spełnione jest i równanie (*), zatem możemy rozpatrywać to ostanie. Po uproszczeniu (*) (**) (***)

28. Prawa Kirchhoffa dla fazorów U2 U3 E1 U1 U4 E2 Drugie prawo Kirchhoffa • Drugie prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać tzn. sumujemy algebraicznie fazory napięć i sił elektromotorycznych w oczku z uwzględnieniem, zgodności zwrotów strzałek. • Wyprowadzenie tego równania jest analogiczne jak w przypadku pierwszego prawa Kirchhoffa dla fazorów.

29. Prawa Kirchhoffa dla fazorów X2 I2 R3 E1 I3 I1 R1 X4 I4 E2 II prawo Kirchhoffa – c.d. • Zapisując równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa, korzystamy często od razu z ze związków pomiędzy fazorami prądu i napięcia na poszczególnych elementach.

30. Prawa Kirchhoffa dla fazorów R i e L C Przykład • Obliczyć prąd w obwodzie

31. Prawa Kirchhoffa dla fazorów R i e L C R I UR E UL XL UC XC Przykład • Obliczamy potrzebne wielkości • Rysujemy schemat dla wartości skutecznych (lub dla fazorów).

32. Prawa Kirchhoffa dla fazorów R I UR E UL XL UC XC Przykład • Układamy równania (tutaj jest tylko jedno) • Wyznaczamy z niego fazor prądu • Wartość chwilowa wynosi

33. Impedancja zespolona 5 I Dwójnik pasywny U Impedancja zespolona • Impedancją (zespoloną) dwójnika pasywnego nazywamy iloraz fazorów napięcia na jego zaciskach i pobieranego przez niego prądu: • Jednostką impedancji zespolonej jest om. • Impedancja jest liczbą zespoloną charakteryzującą właściwości dwójnika dla prądu sinusoidalnego. • Uwaga: Z nie jest fazorem, ale podkreślamy ten symbol dla odróżnienia od Z = |Z|.

34. Impedancja zespolona I Dwójnik pasywny U Moduł i kąt fazowy impedancji • W ogólności czyli • Moduł impedancji Z = |Z| jest zatem ilorazem wartości skutecznych napięcia i prądu dwójnika. • Kąt fazowy impedancji φ = argZ jest różnicą pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu, czyli jest kątem fazowym dwójnika. • Zespolona impedancja Z łączy obydwie wielkości Z i φ, które dotychczas były rozpatrywane niezależnie.

35. Impedancja zespolona Admitancja zespolona • Admitancją zespoloną nazywamy odwrotność impedancji zespolonej: • Zachodzą oczywiste związki

36. Impedancja zespolona U U I I I U Elementy RLC – impedancja R L C

37. Impedancja zespolona Prawo Ohma dla fazorów • Z określenia impedancji wynika prawo Ohma dla fazorów

38. Impedancja zespolona Z1 Z2 Zn Z Połączenie szeregowe • Połączeniem szeregowym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie płynie jeden i ten sam prąd. • Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednej tylko impedancji Z.

39. Impedancja zespolona A I U1 Z1 Z2 U2 U Un Zn B A I Z U B Impedancja zastępcza p. szeregowego • Z prawa koła napięć • Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ui = ZiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze • Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli • Impedancja zastępcza szeregowego połączenia równa się sumie impedancji.

40. Impedancja zespolona Z1 Z2 Zn Z Połączenie równoległe • Połączeniem równoległym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich dwójników występuje jedno i to samo napięcie. • Do zaznaczenia, że dwójniki o impedancjach Z1, Z2, …, Zn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis • Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednego tylko impedancji Z.

41. Impedancja zespolona A I I1 In I2 U Z1 Z2 Zn B A I Z U B Impedancja zastępcza p. równoległego • Z pierwszego prawa Kirchhoffa • Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ii = U/Zi, stąd ostatni wzór przyjmuje postać • Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli • Odwrotność impedancji zastępczej równoległego połączenia dwójników równa się sumie odwrotności ich impedancji.

42. Impedancja zespolona Z1 Z2 Połączenie równoległe dwóch impedancji • W przypadku dwóch impedancji połączonych równolegle • Po przekształceniu

43. Impedancja zespolona Redukcja impedancji Wniosek: Impedancję zastępczą dowolnego połączenia dwójników wyznacza się za pomocą zależności analogicznych do tych, które poznaliśmy przy redukcji połączeń rezystorów. Zatem: • Cewkę przedstawiamy jako jXL, a kondensator jako –jXC, • Dla połączenia szeregowego sumujemy impedancje, • Dla połączenia równoległego sumujemy admitancje, • Stosujemy ewentualnie wzory na zamianę trójkąt-gwiazda i gwiazda-trójkąt.

44. Impedancja zespolona R XL R XC XL XC Przykłady

45. Impedancja zespolona 1 3 6 30 10 1 – j3 3 + j9 6 6 4 + j6 Przykład (Wartości rezystancji i reaktancji w omach)

46. Impedancja zespolona C L R Przykład Wyznaczyć pulsację rezonansową

47. Zespolona moc pozorna 6 Zespolona moc pozorna • Zespoloną mocą pozorną nazywamy iloczyn fazora napięcia i sprzężonego fazora prądu: • Zwróćmy uwagę na to, że fazor prądu jest sprzężony.

48. Zespolona moc pozorna Związek z mocą czynną i bierną • W ogólności fazory napięcia i prądu mają postać czyli gdzie φ jest kątem fazowym odbiornika, • Ale UIcosφ = P (moc czynna) oraz UIsinφ = Q (moc bierna), zatem

49. Zespolona moc pozorna Związek z impedancją • Ponieważ to czyli • Mamy też

50. Zespolona moc pozorna Moc – podsumowanie • Mamy zatem • Zespolona moc pozorna jest jedną wielkością, która łączy w sobie trzy wielkości: moc czynną, moc bierną i moc pozorną. • Zespolona moc pozorna jest wielkością addytywną – można sumować zespolone moce pozorne różnych elementów, gdyż wykonujemy wtedy w istocie sumowanie mocy czynnych i biernych.