Bab 6 Elektron Dalam Zat Padat (Teori Pita Energi)

1. Bab 6 Elektron Dalam Zat Padat (Teori Pita Energi)

2. Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Untuk Teori Pita Energi) • Berdasarkan daya hantar listrik, zat padat dibedakan menjadi tiga jenis : • Logam dan semi-logam, dengan σ ≥ 105 ohm-1m-1. • Semikonduktor, dengan 10-5 ohm-1m-1 ≤ σ ≥ 105 ohm-1m-1. • Isolator, dengan σ ≥ 10-5 ohm-1m-1. • Tahanan Listrik (‘resisivity’ : ohm-m) dipengaruhi oleh SUHU. Pada bahan LOGAM DAN SEMI-LOGAM resistivity akan MENINGKAT, tetapi pada bahan SEMIKONDUKTOR resitivity ini akan MENURUN seiring dengan kenaikan suhu. • Untuk dapat menerangkan sifat daya hantar listrik zat padat diperlukan sebuah model. Model yang dikembangkan adalah MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI dan MODEL PITA ENERGI. • MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI tidak bisa menjelaskan rentang nilai konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada model ini potensial dari gugus ion diabaikan (V=0). • MODEL PITA ENERGI dapat menjelaskan rentang nilai konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada model ini potensial dari gugus ion tidak diabaikan atau adanya potensial berkala pada zat padat.

3. Lanjutan….. • Beberapahal yang diperhatikanpada model PITA ENERGI: • Adanyaenergipotensialperiodikdalamkeristaldengankeberkalaankisikristal. • Fungsi gelombangnya untukkisisempurna (tanpavibrasitermal, cacargeometriataupunkimiawi). • Merupakanteorielektrontunggal; hanyamenelaahperilakusatuelektronsaja yang mananelektroninidipengaruhiolehpotensialperiodik yang mempresentasikansemuainteraksinya. • DapatmenggunakanpersamaanSchroendingeruntukmengkajiinformasi yang adapadaelektrontersebutdengantetapmengikutiaturansebaran Fermi-Dirac untukpengisiankeadaanelektron. • Teorema yang dapatdigunakanuntukmenguraikanbentukdansifatfungsiSchroedingeruntuksatuelektrondalampotensialberkalaadalahTeorema Bloch. Fungsi-fungsinyadikenaldenganFunsi Bloch.

4. Teori Pita EnergiUntukZat Padat (Teorema Bloch, Bentuk dan Sifat Fungsi ) Dalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial: Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal. Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah: Merupakan fungsi yang memiliki keberkalaan kisi kristal Gambaran potensial periodik untuk kisi linier monoatomik Persamaan Schroedinger untuk elektron dalam kristal linier monoatomik dengan Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah; Jika punya solusi untuk harga energi E, maka juga punya solusi E. Jika tedapat degenerasi maka Dari syarat batas siklis Born-von Karmann didapat untuk elektron ruang kristal yang terbatas.

5. Teori Pita EnergiUntukZat Padat (Teorema Bloch, Bentuk dan Sifat Fungsi ) • KesimpulandaripersamaanSchroendingerdiatasadalah; • Untuksetiap X akandidapat yang berulangsetelahN buahselsatuan. Panjangkristall=Na. Sehingga didapat; • Fungsi gelombang elektron bebas dalam satu dimensi adalah ; untuk potensial nol. Untuk potensial yang tidak nol fungsinya : • Dari fungsi didapat yang merupakan • fungsi periodik dengan keberkalaan a. • Potesial bernilai riil, artinya sehingga didapat . Keduanya memiliki nilai eigen E, sehingga • Vektor k dan vektor kisi G memiliki dimensi yang sama. Semua harga k yang tepat dapat dikembalikan ke selang harga k dalam daerah . Selang ini dinamakan Brillouin zone I. • Teorema Bloch memberikan bentuk dan sifat umum solusi persamaan Schroedinger elektron dalam kisi periodik satu dimensi dan tidak memberikan solusi spesifik.

6. Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Kroning-Penney) Model ini mengkaji perilaku elektron dalam kristal linier monoatomik dan memberikan indikasi adanya selang energi elektron yang diperkenankan dan yang tidak diperkenankan. Model ini mempelajari perilaku elektron dalam potensial dengan periode (a+b). Persamaan Schroedingernya; . Solusi persamaan ini dibatasi harga E < Vodan dibataskan pada dua besaran riil, α dan β. Dengan mensubstitusikan solusi umum dari teorema Bloch ke persamaan schroedinger akan didapatkan; dengan solusi dengan A, B, C dan D ditetapkan berdasarkan syarat batas. Sehingga didapat empat persamaan linier yang determinan solusinya tidak-sama dengan nol. Penyemaan determinan sama dengan nol akan didapatkan;

7. Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Kroning-Penney) Sketsalengkungadalah , garis-garis terputusnya adalah , kedua nilai itu merupakan nilai maksimum dan minimum cos ka, yang selanjutnya menjadi selang dengan batasan , maka terbatasnya harga pada nilai tertentu juga membatasi energi yang dapat dimiliki oleh elektron. Dengan demikian model ini memberikan informasi pita-pita energi yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron. Kesimpulan umum dari lengkung adalah; Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi. Meningkatnya nilai akan memperlebar pita energi yang diperkenankan. Bartambahnya P (bVo ), mempersempit lebar pita energi yang diperkenankan. Jika P mendekati tak-hingga, artinya elektron berada dalam kotak potensial berdinding tak-hingga dengan leber a. Jika P mendekati nol, artinya elektron berada pada keadaan elektron bebas. Diskontinue E terjadi pada , yaitu pada

8. Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Kroning-Penney) Di bawah ini adalah Sketsa ramalan harga energi elektron pada potensial periodik kristal monoatomik linier dan kaitan model Kroning-Penney dengan harga energi untuk elektron bebas dan elektron dalam kotak potensial berdinding tak-hingga. Struktur level energi untuk derajat ikatan yang berbeda

9. Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Model Kroning-Penney) Kesimpulan umum dari persamaan adalah; Harga a tidak dapat ditentukan secara pasti, tetapi dapat diperkirakan selanng nilai a yang diperbolehkan. Diskontinuitas nilai a, terjadi pada coska bernilai +1 dan -1. yaitu saat Selang terlarang harga (αa) terlarang tidak ada solusi pada . Sehinggga selang ini merupakan energi terlarang bagi elektron.

10. Model Elektron Hampir Bebas (Model Kisi Kosong) Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal sangat lemah sehingga elektron berprilaku hampir bebas. Istilah kisi kosong di sini artinya meskipun potensila kristal dianggap sama dengan nol, tetapi fungsi gelombang yang merupakan solusi persamaan Schroedinger menaati sifat kesetangkupan kisi kristal. Persamaan untuk elektron ini adalah: Spektrum kontinu, seperti pada gambar Gambar (a) menunjukkan extended zone Gambar (b) menunjukkan reduced zone Gambar (c) menunjukkan Brillouin zone I. Di sini tidak ada pembatasan energi sehingga spektrum energinya kontinu. Model kisi kosong ini membantu dalam memahami model elektron hampir bebas.

11. Model Elektron Hampir Bebas (Model Kisi Kosong) Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal lemah tetapi tidak sama dengan nol. Berdasarkan teorema Bloch untuk kristal satu dimensi, diskontinuitas energi elektron pada batas-batas brillouin zone yaitu untuk . Daerah ini terdapat pada gambar; Gambar (a) daerah reduced zone Gambar (b) daerah extended zone Loncatan antara dua daerah energi disebut energi gap. Untuk mengevaluasi besarnya energi gap ini digunakan teori PETURBASI. Yang persamaannya adalah; Hasil dari penjabaran teori peturbasi ini, memberikan bahwa energi gap pertama dan kedua besarnya dengan s

12. Model Elektron Hampir Bebas (Pemantulan Bragg) Pada batas-batas Brillouin zone, fungsi Bloch berupa gelombang tegak dan bukan gelombang berjalan, elektron dengan harga vektor propagasi ini memenuhi syarat difraksi Bragg; Karena pada hamburan elestik , syarat Bragg menjadi untuk kristal monoatomik linier dengan jarak antar tetangga terdekatnya sebesar a syaratnya menjadi . Arti fisikanya adalah gelombang yang dipantulkan oleh atom yang bersebelahan berbeda fasa π, atau 180 derajat. Superposisi dua gelombang yang dipantulkan oleh atom yang bertetangganya adalah , ini adalah fungsi gelombang tegak dan bersifat genap. Selain itu juga dapat menghasilkan kombinasi linier fungsi gelombang ganjil; . Dari fungsi genap dan ganjil ini akan didapatkan rapat muatan; Rapat muatan genap yang berharga maksimum x=am. Rapat muatan fungsi ganjil yang bernilai NOL di setiap kisi.

13. Logam, Isolator dan Semikonduktor (Pita energi dengan “Elektron states” yang penuh dan kosong) Sketsa hubungan E dan k model Kroning-Penney dalam pola zone tereduksi. Lengkung E = E(k) memperlihatkan daerah energi yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron. Tetapi energi ini masih bergantung pada jumlah elektron dalam kristal dan statistika energi elektron. Dua keadaan di mana medan listrik tidak menghasilkan arus netto dalam kristal: Tidak ada elektron yang berada pada pita energi yang diperbolehkan. Pita energi yang diperkenankan terisi penuh elektron. Rapat arus elektron ini adalah; Hanya pita energi yang terisi (atau kosong) sebagian yang dapat memberikan sumbangan pada arus listrik.

14. Logam, Isolator dan Semikonduktor (Presentasi pembawa muatan) Akibat medan listrik elektron di A akan bergerak ke arah –X dan sampai pada kedudukan A’. Pada saat itu terjadi pantulan Bragg, dan elektron muncul kembali di A’’. Kemudian elektron menempuh siklus yang sama. Proses berulang ini disebut sebagai osilasi Zener. Rapat arus yang disumbangkan oleh pita energi yang tidak seluruhnya penuh, diberikan oleh persamaan; Untuk pembawa muatan elektron Untuk pembawa muatan hole. Model pita energi ini yang membedakan isolator, konduktor dan semikonduktor

15. Logam, Isolator dan Semikonduktor (Presentasi pembawa muatan) Model pita energi ini yang membedakan isolator, konduktor dan semikonduktor berdasarkan diagram pita energi yang dimilikinya. Diagram pita energi untuk bahan isolator, konduktor dan semikonduktir.

16. Latihan soal Apa yang dimaksuddenganenergi Fermi? Energi Fermi EFmerupakanenergimaksimum yang dapatdimilikielektrondalamkristalpadasuhu T=0. Bagaimanakeadaanenergi Fermi padabahan isolator, konduktordansemikonduktorberdasarkanteori pita energi? Padabahan Isolator tingkatenergiFerminyamelintasdaerahenergiterlarang. PadabahanKonduktortingkatenergiFerminyamelalui pita konduksi, sehinggapadasuhu T=0 kelvin, semua ‘electron states’ dalam pita konduksidengan E< EFterisi. PadabahanSemikonduktortingkatenerginyamelalui pita velensi, daerahenergiterlarang. Padasuhu T=0 kelvin, pita konduksidibawahterisisemua ‘electron states’-nya, sedangkandalam pita konduksidiatasnyasemua ‘electron states’ lowong.

17. Latihan soal Kondisisepertiapakah, dalamkristaltidakmenghasilkanarusnettomeskipunadamedanlistrik yang bekerjapadanya? Pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron atau pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang diperkenankan terisi elektron, artinya tidak satupun ‘electron states’ yang kosong. Kenapa model elektronbebastidakdapatmenjelaskanrentanghargakonduktivitaslistrikzatpadat yang lebar? Karenapada model elektronbebasmengabaikanpotensialdarigugus-gugus ion dalamkristal (V=0). Kenapa model Teori pita dapatmenjelaskan rentang harga konduktivitas listrik zat padat yang lebar? Pada model ini potensial dari gugus-gugus ion dalam kristal tidak sama dengan nol, tetapi potensial ini merupakan potensial periodik yang berkaitan dengan kisi kristalnya.

18. Latihan soal Jelaskan kenapa pada teori pita energi berlaku potensialnyaV(x+a) = V(x)? Karena pada teori pita potensial dari gugus-gugus ion dalam kristalnya dianggap merupakan potensial periodik. Potensial periodik ini dikenalkan karena pada kisi kristalnya dianggap berulang secara periodik juga. Dengan demikian ion-ion identiknya terpisah sejauh jarak a dari tetangga terdekatnya sesuai dengan kisi kritalnya. Sebagimana digambarkan pada gambar di bawah ini.