Funkcije

1. Funkcije

2. → → → → → → → Primjer 1.: i kad su nas učili kako Kad smo bili mali se zove koji dan u tjednu, rekli su nam da je: 1. dan ponedjeljak, 2. dan utorak, 3. je srijeda itd. 1 ponedjeljak To možemo i ovako zapisati: 2 utorak Time je zadana FUNKCIJA koja svakom broju od 1 do 7 pridružuje točno jednu riječ. Možemo reći da je svakom broju od 1 do 7 pridružen po jedan dan. 3 srijeda 4 četvrtak 5 petak Za početak zapamtimo da funkcija “nečemu pridružuje nešto”. 6 subota 7 nedjelja

3. 1 ponedjeljak 2 utorak 3 srijeda 4 četvrtak → → → → → → → 5 petak 6 subota 7 nedjelja Uočimood čega se sastoji svaka funkcija ! Kao prvo, ovdje imamo brojeve Nadalje, imamo objekte kojima nešto pridružujemo! koje pridružujemo! KODOMENA DOMENA Oni čine DOMENU . Oni čine KODOMENU . Dakle, u domeni su objekti Dakle, u kodomeni su objekti kojima nešto pridružujemo. koje pridružujemo.

4. 1 ponedjeljak 2 utorak 3 srijeda 4 četvrtak → → → → → → → 5 petak 6 subota 7 nedjelja Uočimo od čega se sastoji svaka funkcija ! Svaka se funkcija sastoji od: - domene - kodomene - pravila pridruživanja KODOMENA DOMENA I treće, imamo pravilopo kojem pridružujemo! PRAVILO PRIDRUŽIVANJA To nam pravilo npr. kaže da broju 1 pridružujemo baš ponedjeljak, a ne npr. četvrtak.

5. → → → → Primjer 2.: plava Ivan Svako dijete možemo upitati koju boju najviše voli. Ana žuta, narančasta Mira crvena Joža - (nijednu boju ne voli posebno) Uočavaš li po čemu se ovo pridruživanje razlikuje od prethodnih? • Ani su pridružene dvije boje • Joži nije pridružena nijedna boja Funkcija ne dopušta nijedno od toga !!! svakom elementu domene pridružuje točno jedan Funkcija uvijek element kodomene !!! Stoga u ovom primjeru nemamo funkciju. (imamo pridruživanje, ali se ono ne naziva funkcijom)

6. Zapamtimo što vrijedi za svaku funkciju: Funkcija svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene.

7. 1 siječanj 2 veljača 3 ožujak 4 travanj 5 svibanj → → → → → → → → → → → → 6 lipanj 7 srpanj 8 kolovoz 9 rujan 10 listopad 11 studeni prosinac 12 Zadatak: Provjerimo jesmo li dobro razumjeli: a) Je li time zadana funkcija? Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Je. Svakom broju od 1 do 12 pridružen je Po čemu to znamo? odgovarajući naziv mjeseca u godini. Po tome što je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan naziv iz desnog. Što je ovdje domena? Što je u ovom primjeru kodomena?

8. Zagreb ZG Varaždin VŽ Rijeka RI Osijek OS Split ST → → → → → → → Dugo Selo - - Crikvenica Zadatak: Provjerimo jesmo li shvatili: b) Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Gradovima iz lijevog stupca pridružene su odgovarajuće kratice sa registarskih tablica. Imamo li i ovdje funkciju? Nemamo. Zašto? Zato što Dugom Selu i Crikvenici ništa nije pridruženo, a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan objekt iz desnog.

9. siječanj 31 veljača 28, 29 ožujak 31 travanj 30 svibanj 31 → → → → → → → → → → → → lipanj 30 srpanj 31 kolovoz 31 rujan 30 listopad 31 studeni 30 prosinac 31 Zadatak: Provjerimo jesmo li shvatili: c) Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom mjesecu pridružen je broj dana u tom mjesecu. Je li time zadana funkcija? Nije. Zašto? Jer su veljači pridružena dva broja, a funkcija bisvakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan objekt iz desnog.

10. Nadam se da nakon ovih primjera možeš razumjeti rečenicu: Funkcija iz skupa D u skup K je pravilo po kojem se svakom elementu skupa D pridružuje točno jedan element skupa K. domena. Skup D nazivamo Prepiši sve sa ove stranice u bilježnicu! kodomena. Skup K nazivamo

11. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom broju iz lijevog stupca pridružen je dva puta veći (tj. dvostruki) broj. Je li time zadana funkcija? Je. Zašto? Jer je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan broj iz desnog stupca. Što je ovdje domena? { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } . Domena je skup Što je ovdje kodomena? Kodomena je skup { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } .

12. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: Upoznajmo simboličke zapise koje koristimo kod funkcija, a koji nam olakšavaju zapisivanje !

13. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja rekli bismo: ove funkcije, Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Evo kako to kraće možemo zapisati: f (x) = 2∙x Objasnimo taj zapis! f je ime funkcije izraz 2∙x nakon znaka = govori nam što se pridružuje onom broju x iz zagrade x u zagradi predstavlja bilo koji broj kojemnešto pridružujemo Ime funkcije može biti bilo koje slovo. Mi ćemo najčešće koristiti slova f, g, h. U ovom primjeru pridružujemo mu 2∙x , tj. 2 puta veći broj. (bilo koji broj iz domene)

14. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja rekli bismo: ove funkcije, Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Evo kako to kraće možemo zapisati: f (x) = 2∙x " ef od iks jednako je dva puta x " Ovaj zapis čitamo: " f od x " Dakle, f(x) čitamo:

15. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: ne piše što je domena, U zapisu f(x) = 2∙x a što kodomena funkcije. Matematičari su i za to smislili kratki zapis: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } Vjerojatno i sam naslućuješ koji dio zapisa što govori... ime funkcije domena kodomena

16. 2 1 4 2 10 5 8 16 10 20 → → → → → → 14 28 Primjer 3.: ne piše što je domena, U zapisu f(x) = 2∙x a što kodomena funkcije. Matematičari su i za to smislili kratki zapis: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } Čitamo: ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u Funkcija f skup2, 4, 10, 16, 20, 28 .

17. Primjer 3.: funkcija je u potpunosti zadana Dakle, s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x domena i kodomena. U prvom retku piše nam ime funkcije, pravilo pridruživanja. U drugom retku piše

18. Primjer 3.: funkcija je u potpunosti zadana Dakle, s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x

19. → Primjer 3.: funkcija je u potpunosti zadana Dakle, s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x Što ta funkcija pridružuje broju 5 ? 10 5 (sjeti se pravila pridruživanja...) To možemo i ovako zapisati: i to čitamo: f (5) = 10 f od 5 jednako je 10 .

20. Primjer 3.: funkcija je u potpunosti zadana Dakle, s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ { 2, 4, 10, 16, 20, 28 N , 37, 100 } } f (x) = 2∙x Razjasnimo još jedan detalj u vezi kodomene: U kodomeni su brojevi koje pridružujemo brojevima iz domene, ali u njoj smiju biti i brojevi koji ničemu nisu pridruženi. Dakle, kodomenu možemo zadati i "šire". Tako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. 37 i 100 i time ne bismo učinili ništa pogrešno. A možemo dodati i sve preostale prirodne brojeve, pa time dobivamo skup N.

21. Primjer 3.: funkcija je u potpunosti zadana Dakle, s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }→ N f (x) = 2∙x Zašto Nne pišemo u vitičastoj zagradi? Vitičastu zagradu koristimo kad nabrajamo elemente skupa, npr. { 1, 2, 3, 4, 5... } . No, ako imamo oznaku za cijeli skup (npr. N, Z, Q...), nju pišemo bez vitičaste zagrade.

22. KODOMENA DOMENA Istaknimo još jednom: Domenu ne možemo zadati "šire"! Kodomenu možemo zadati "šire"! U njoj su točno oni brojevi kojima nešto pridružujemo. U njoj su oni brojevi koje pridružujemo, a mogu biti i još neki (koji nisu ničemu pridruženi).

23. 2 5 1 4 0 3 2 -1 1 -2 → → → → → → → → 0 -3 -1 -4 -2 -5 Zadatak: . . . Možeš li uočiti po kojem pravilu se brojevima iz 1. stupca pridružuju brojevi iz drugog? Svakom broju pridružen je za 3 manji broj. Što je ovdje domena? { ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2...}, Domena je skup skup Z. cijelih brojeva, tj. skup Što je ovdje kodomena? Kodomena je također skup Z . . . . Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g): g : Z → Z Funkcija g ide sa skupa Z u skup Z. Kako to čitamo? g (x) = x - 3 g od x jednako je x minus 3

24. 2 5 1 4 0 3 2 -1 1 -2 → → → → → → → → 0 -3 -1 -4 -2 -5 Zadatak: . . . Dopunimo: g (4) = 1 Kako to čitamo? g od 4 jednako je 1 . . . . Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g): g : Z → Z g (x) = x - 3

25. x __ 3 Zadatak: Dopuni sljedeće zapise ako želimo da funkcija: a) svakom broju pridružuje 5 puta veći broj f (x) = 5 ∙ x 5 x ili f (x) = b) svakom broju pridružuje za 7 veći broj f (x) = x + 7 c) svakom broju pridružuje 3 puta manji broj f (x) = d) svakom broju pridružuje isti taj broj f (x) = x e) svakom broju pridružuje suprotni broj f (x) = -x f) svakom broju pridružuje broj 8 f (x) = 8

26. Nadam se da si shvatio osnovne stvari o funkcijama i da ćeš nakon ove prezentacije s lakoćom rješavati zadatke!