Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiaru w bilansach cieplnych

1. Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiaru w bilansach cieplnych Henryk Rusinowski, Marcin Plis Instytut Techniki Cieplnej, Politechnika Śląska henryk.rusinowski@polsl.pl Instytut Techniki Cieplnej, Politechnika Śląska Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

2. Wynik i błąd pomiaru Otrzymany na drodze doświadczalnej wynik pomiaru zawsze różni się od wartości rzeczywistej. Wartość rzeczywista nie jest znana. Pomiar pozwala na znalezienie przybliżonych, obarczonych błędem, wartości wielkości mierzonej. Błędy pomiaru można podzielić na: systematyczne, grube i przypadkowe. Błędy przypadkowe spowodowane są przypadkowym oddziaływaniem dużej liczby trudno uchwytnych czynników zakłócających, których wpływ zmienia się z pomiaru na pomiar. Błąd przypadkowy jest zmienną losową a jego szacowanie dokonuje się metodami statystyki matematycznej. Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

3. Wynik pomiaru jako zmienna losowa W procesach cieplnych na wynik pomiaru wpływa duża liczba niezależnie działających czynników, z których każdy ma porównywalny udział w łącznym błędzie pomiaru. W takich przypadkach na mocy centralnego twierdzenia granicznego do opisu rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej modelującej wynik pomiaru najbardziej przydatny jest rozkład normalny, którego funkcja gęstości ma postać: Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

4. Wynik pomiaru jako zmienna losowa Rachunek wyrównawczy zajmuje się metodami estymacji poprawek do wyników pomiaru, tak aby spełniały one prawa fizyki, w szczególności prawa zachowania (bilanse substancji i energii). W rachunku wyrównawczym poszukuje się wartości oczekiwanych zmiennych losowych modelujących wyniki pomiarów. kryterium estymacji funkcja wiarygodności w postaci: gdzie: Wartości oczekiwane wielkości mierzonych powinny spełniać prawa zachowania: W zapisie matematycznym zadania wyrównawcze jest ekstremum warunkowym i obejmuje kryterium estymacji oraz układ nieliniowych równań warunków. Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

5. Rozwiązanie zadania wyrównawczego Układ równań warunków zawiera: • wielkości mierzone bezpośrednio (np. strumienie substancji, parametry termiczne, skład roztworów), • wielkości mierzone pośrednio, jako funkcje pomiarów bezpośrednich (np. funkcje kaloryczne: energia wewnętrzna, entalpia i entropia właściwa). Najbardziej znaną i najczęściej stosowaną metodą rozwiązania jest linearyzacja równań warunków poprzez rozwinięcie w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych rzędów, a następnie poszukiwanie ekstremum funkcji przy liniowych ograniczeniach metodą mnożników Lagrange’a. Linearyzacja równań warunków umożliwia proste i jednoznaczne rozwiązanie zadania wyrównawczego, jednak zastąpienie nieliniowej funkcji liniową może w pewnych przypadkach prowadzić do znacznych niedokładności rozwiązania, szczególnie w przypadkach gdy pomiary obarczone są dużymi błędami. Wówczas należy skorzystać z metod programowania nieliniowego. Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

6. Ocena dokładności obliczeń wyrównawczych Wyrównane wyniki pomiarów i wielkości nie mierzonych są tylko oszacowaniem (estymatami) wartości prawdziwych. Powinny jednak w równaniach bilansowych „zachowywać się” jak wartości prawdziwe, w szczególności muszą spełniać te równania. Sprawdzenie, czy obliczone estymaty wielkości mierzonych oraz nie mierzonych spełniają układ równań warunków jest podstawową czynnością w kontroli obliczeń wyrównawczych. Niezgodności równań warunków po uzgodnieniu: powinny zapewniać wymaganą dokładność obliczeń, w szczególności bilanse powinny zamykać się (w granicach przyjętej dokładności). Negatywny wynik tej kontroli na ogół świadczy o złym sformułowaniu równań warunków lub nadmiernych błędach wprowadzanych przez linearyzację. Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

7. Ocena dokładności pomiarów W wyniku przeprowadzenia obliczeń wyrównawczych możemy określić czy wyniki pomiarów znajdują się w obszarze jedno, dwu czy też trzysigmowym. Wysoka wartość prawdopodobieństwa odpowiadającego przedziałowi trzysigmowemu wynosząca 99,7% upoważnia do stwierdzenia, że przedział trzysigmowy jest praktycznym przedziałem zmienności zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, zaś położenie wyniku pomiaru poza tym przedziałem jest spowodowane popełnieniem błędów grubych i wymaga powtórzenia pomiarów. Zasada ta nosi nazwę „reguły trzech sigm”. Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

8. Przykład - chłodnica powietrza Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

9. Przykład - chłodnica powietrza Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

10. Przykład - chłodnica powietrza Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

11. Przykład – układ regeneracji ciepła Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

12. Przykład – układ regeneracji ciepła Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

13. Przykład – układ regeneracji ciepła Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

14. Przykład – blok ciepłowniczy Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

15. Przykład – blok ciepłowniczy Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

16. Przykład – blok ciepłowniczy Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

17. Korzystne efekty zastosowania rachunku wyrównawczego Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice

18. Dziękuję za uwagę Instytut Techniki Cieplnej www.itc.polsl.pl Konarskiego 22, 44-100 Gliwice