Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 14 paskaita.

2. Vektorių erdvė. Tiesinės erdvės sąvoka Tegu aibėje L apibrėžta jos elementų sudėtis ir daugyba iš realiojo skaičiaus. Ši aibė vadinama tiesine erdve, jeigu: 1. 2. 3. 4. Tiesinės erdvės elementai vadinami vektoriais. Tiesinių erdvių pavyzdžiai: R, Amxn, V1xn, Vmx1 , C[a; b] , {0}.

3. Tiesinės erdvės poerdvio sąvoka Tiesinės erdvės netuščias poaibis, tenkinantis visas tiesinės erdvės apibrėžimo sąlygas, vadinamas poerdvių. Kaip greičiau nustatyti, ar poaibis L’ yra tiesinės erdvės L poerdvis? Teorema. Jei netuščias tiesinės erdvės L poerdvis L’ yra uždaras sudėties ir daugybos iš realiojo skaičiaus atžvilgiu, tai jis yra poerdvis. Poerdvių pavyzdžiai: Aibė R’2 yra tiesinės erdvės R2poerdvis. Aibė R’n yra tiesinės erdvės Rnpoerdvis.

4. Tiesinė vektorių priklausomybė • n-mačių vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} vadinama tiesiškai priklausoma, jei bent vienas šios aibės vektorius yra kitų vektorių tiesinis darinys. • Vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} yra tiesiškai nepriklausoma, jeigu ji nėra tiesiškai priklausoma. • Teorema. n-mačių vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai tiesinė vektorinė lygtis turi bent vieną nenulinį sprendinį (λ1; λ2; ...; λk). • Išvada. n-mačių vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} yra tiesiškai nepriklausoma tada ir tik tada, kai tiesinė vektorinė lygtis turi tik nulinį sprendinį (0; 0; ...; 0).

5. n-mačių vektorių aibių savybės • Jeigu k > n, tai n-mačių vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} yra tiesiškai priklausoma. • Vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai matricos determinantas lygus nuliui: det A =0. • Teorema. Jeigu n-mačių vektorių aibė S={a1; a2; ... ; ak} tiesiškai nepriklausoma, tai kiekvienas jos (netuščias) poaibis taip pat yra nepriklausomas.

6. Tiesinis apvalkas ir generuojančioji aibė. • n-mačių vektorių {a1; a2; ... ; ak} aibės tiesinių apvalku vadinama visų tiesinių darinių aibė • Žymėsime S=S(a1; a2; ... ; ak). • Sakoma, kad n-mačiai vektoriai {a1; a2; ... ; ak} generuoja vektorių aibę T, jeigu jų aibės tiesinis apvalkas S sutampa su T. • Pavyzdžiui, vektoriai generuoja vektorių erdvę R3.

7. Vektorių erdvės bazė ir dimensija • Teorema. n-mačių vektorių {a1; a2; ... ; ak} tiesinis apvalkas S yra vektorių erdvės Rn poerdvis arba sutampa su pačia erdve Rn. • n-mačių vektorių aibė B={a1; a2; ... ; ak} vadinama vektorių erdvės Rn baze, jeigu ji yra tiesiškai nepriklausoma ir jos tiesinis apvalkas sutampa su Rn. • Pavyzdžiui, vienetinių vektorių aibė B={e1; e2; ... ; ek} yra vektorių erdvės Rn bazė. • Vienetinių n-mačių vektorių aibė B={e1; e2; ... ; ek} vadinama vektorių erdvės Rnstandartine bazė ir žymima raide E.

8. Vektorių erdvės bazė ir dimensija • Teorema.Jeigu n-mačių vektorių aibė B={a1; a2; ... ; ak} yra vektorių erdvės Rn bazė, tai bet kuri n-mačių vektorių aibė C={c1; c2; ... ; cm} yra tiesiškai priklausoma, kai m > k. • Teorema. Vektorių erdvės Rnbazę sudaro n vektorių. • Teorema. Jeigu n-mačių vektorių aibė B={a1; a2; ... ; an} yra tiesiškai nepriklausoma, tai ji yra vektorių erdvės Rn bazė. • Jeigu aibė B={a1; a2; ... ; an} yra vektorių erdvės Rn bazė ir tai skaičiai λ1; λ2; ...; λnvadinami vektoriaus b koordinatėmis bazėje B. • Erdvės Rn bazės vektorių skaičius vadinamas šios erdvės dimensija ir žymimas dim Rn. Bet kurio poerdvio T dimensija (dim T) yra jo bazės vektorių skaičius. • n-mačių vektorių aibė B={a1; a2; ... ; ak} vadinama vektorių erdvės Rn poerdvio Tbaze, jeigu ji yra tiesiškai nepriklausoma ir jos tiesinis apvalkas sutampa su Rn.

9. Vektorių aibės ir matricos rangas • n-mačių vektorių aibės {a1; a2; ... ; ak} rangu r(a1; a2; ... ; ak) vadinama jos tiesinio apvalko S=S(a1; a2; ... ; ak) dimensija dim S. • Matricos rangu r(A) vadinamas jos stulpelių aibės {a1; a2; ... ; ak} rangas: • n-mačių vektorių aibės {a1; a2; ... ; ak} rangas r(a1; a2; ... ; ak) bei matricos A rangas r(A) yra lygus tiesinių lygčių sistemos Ax=0 bazinių nežinomųjų skaičiui.

10. Tiesinių lygčių sistemos suderintumas • Tiesinių lygčių sistema Ax=b turinti bent vieną spręndiniį, vadinama suderintąja. • Kronekerio ir Kapelio teorema. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai jos matricos irišplėstosios matricos rangai yra lygus: