Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

1. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Variace s opakováním VY_32_INOVACE_M4r0110 Mgr. Jakub Němec

2. Permutace s opakováním • Variace s opakováním je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných uspořádaných k-tic lze sestavit z n prvků, které se v nich mohou vyskytnout nejvýše k-krát jednou. • U této operace nám záleží na pořadí prvků. Uveďme si jednoduchý příklad: • Určete, kolik různých kombinací lze hodit černou a bílou pětikorunou) barvy jsou použity pro jejich odlišení). • LL, LR, RL, RR – tedy čtyři • V případě, že by se házelo třemi mincemi (např. plus modrá) bylo by možností osm – LLL, LLR, LRL, RLL, LRR, RLR, RRL, RRR.

3. Kombinace – definice a vzorec • Definice variace s opakováním vychází z výše uvedeného, tedy: • k-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. • Počet všech k-členných variací s opakováním z n prvků odpovídá vztahu: , kde , jak již víme z problematiky věnující se faktoriálům.

4. Kolik různých možností máme při hodu hrací kostkou. Kolik různých možností máme při hodu dvěma hracími kostkami? A kolik možností máme pro tři hrací kostky? Všechny tři úlohy jsou založeny pouze na správném doplnění hodnot do vzorce variace s opakováním dle definice. Důležité je uvědomit si, že počet prvků, tedy hodnoty, které mohou kostky nabývat, je základem mocniny a k-tice, neboli počet prvků, je mocninou. Nejlépe sestavit jako třírozměrný prostor v krychli.

5. Ve všech třech příkladech rozdělíme SPZ na dvě části – písmennou a číselnou. Vypočteme je zvlášť podle definice pro variace s opakováním. Počet možností navzájem vynásobíme na základě kombinatorického pravidla součinu. Určete teoretický počet unikátní SPZ aut, když v něm budou dvě písmena (máme celkem 28 písmen) a čtyři číslice. Jak by se změnil počet pro tři číslice? Pro pět číslic? Pro čtyři číslice bez použití nuly?

6. Úkol závěrem • 1) Kolik různých pěticiferných sudých čísel není menších než 50000? • 2) Určete, kolik možných jeden až čtyřsymbolových znaků lze vytvořit v Morseově abecedě. • 3) V akváriu plave 1600 rybek, které jsou dvoubarevné. Každá z rybek má jinou barvu ploutve a jinou barvu trupu. Celkový počet barev je 39. Dokažte, že alespoň jedna dvojice rybek má stejnou barevnou kombinaci.

7. Zdroje • Literatura: • Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.