Download
1 / 21
380 likes | 1.24k Views
Kombinatorika pre samoukov. Variácie Permutácie Kombinácie. Kombinatorika sa zaoberá otázkami, ktoré súvisia s určovaním počtu všetkých skupín zostavených podľa určitých pravidiel z prvkov danej konečnej množiny. Variácie. Definícia:
E N D
Kombinatorika pre samoukov Variácie Permutácie Kombinácie
Kombinatorika sa zaoberá otázkami, ktoré súvisia s určovaním počtu všetkých skupín zostavených podľa určitých pravidiel z prvkov danej konečnej množiny.
Variácie Definícia: Nech k, nε N, 1<k<n. Variácia k-tej triedy z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz. Variácie k-tej triedy z n prvkov označujeme Vk(n). Vzorec:
Riešený príklad č.1: Koľko trikolór možno zostaviť z týchto farieb: biela, červená, modrá, zelená? Riešenie:Ide o skupiny tvorené tromi zo štyroch prvkov, pričom záleží na poradí prvkov v skupine, t.j. ide o variácie tretej triedy zo štyroch prvkov. Takých skupín je V3(4)=4.3.2=24. Teda možno vytvoriť 24 rôznych trikolór.
Riešený príklad č.2: Koľko rôznych výsledkov môže mať hokejový zápas, ak obidve mužstvá strelia najviac po 3 góly, pričom hostia dostanú aspoň 1 gól a remíza nastane iba v tom prípade, že obidve mužstvá strelia práve 3 góly. Riešenie:Počet všetkých možných výsledkov ,pri ktorých sa zápas nekončí remízou [V2(4)]. Z tohto počtu musíme vylúčiť zápasy [V1(3)], v ktorých hostia nedostanú ani 1 gól a pripočítame 1 výsledok, keď zápas skončí nerozhodne 3:3. Celkový počet výsledkov hokejového zápasu je 10.
Variácie s opakovaním Definícia: Variácia k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov. Každé miesto k-prvkovej skupiny možno obsadiť n spôsobmi a všetkých k miest možno obsadiť n.n. ... .n = nk. k-krát Vzorec:
Riešený príklad č.3: Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel možno napísať číslicami 1, 3, 5, 7, 8, ak sa v každom čísle môže každá číslica ľubovoľne opakovať? Riešenie:Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z piatych prvkov s opakovaním. V´5(5) = 55 = 3125 Z týchto číslic možno vytvoriť 3 125 päťciferných čísiel.
Riešený príklad č.4: Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel možno napísať číslicami 4, 7? Ak sa môžu opakovať. Riešenie:Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z dvoch prvkov s opakovaním. V´5(2) = 25 = 32 Z týchto číslic možno vytvoriť 32 päťciferných čísiel.
Permutácie Definícia: Permutácia z n prvkov je každá variácia n-tej triedy z týchto n prvkov. Počet všetkých permutácií z n prvkov označujeme P(n). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy n=k) Vzorec:
Riešený príklad č.5: Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s párnymi číslami nehrali vedľa seba. Riešenie:Od počtu zostáv musíme odpočítať počet zostáv, ktorých hráči s párnymi číslami sú vedľa seba. Tieto zostavy dostaneme utvorením všetkých permutácií zo štyroch prvkov a to pre hráčov s číslami 8 a10. Z týchto hráčov možno vytvoriť 72 zostáv útoku.
Riešený príklad č.6: Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s nepárnymi číslami nehrali vedľa seba. Riešenie:Každá takáto zostava má tvar x, 8, y, 8, z, kde x, y, z sú hráči s nepárnymi číslami. Preto počet týchto zostáv je: Z týchto hráčov možno vytvoriť 12 zostáv útoku.
Permutácie s opakovaním Definícia: Permutácia z n prvkov je každá variácia n-tej triedy z týchto n prvkov. Počet všetkých permutácií z n prvkov označujeme P(n). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy n=k) Vzorec:
Riešený príklad č.7: Koľko rôznych slov môžeme utvoriť zo slova Mississippi (aj takých, ktoré nenájdeme v žiadnom slovníku). Riešenie:Ak písmeno „i" napíšeme na jedno z jedenástich miest v slove, písmeno „p" môžeme napísať už len na jedno z desiatich miest, písmeno „s" na jedno z deviatich miest atď. Z Mississippi môžeme spolu utvoriť 34 650 slov.
Riešený príklad č.8: Koľko vlakových súprav možno utvoriť, ak si môžeme vybrať z 3 jedálenských, 2 nefajčiarskych a 2 lôžkových vagónov? Riešenie:Pretože ak písmeno "a" napíšeme na jedno z piatich miest v slove, písmeno "k" môžeme napísať už len na jedno zo štyroch miest, písmeno "r" na jedno z troch miest atď. Možno utvoriť 1 260 vlakových súprav.
Kombinácie Definícia: Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je každá k-prvková podmnožina množiny určenej týmito n prvkami. Označuje ju Ck(n). Vzorec:
Riešený príklad č.9: Na písomnej skúške z matematiky je 16 žiakov, z ktorých štyria sú na skúšku výborne pripravení. Polovica žiakov má vždy rovnaké zadanie úlohy. Koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť žiakov, aby v obidvoch skupinách boli vždy dvaja výborne pripravení žiaci? Riešenie:Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť štyroch výborne pripravených žiakov do dvoch skupín po dvoch žiakoch v každej skupine je C2(4). Ku každej dvojici môžeme pripojiť 6 žiakov, to je C6(12). Žiakov môžeme rozdeliť 5 544 spôsobmi.
Riešený príklad č.10: V triede je 21 chlapcov a 9 dievčat. Koľkými spôsobmi možno zvoliť trojčlenný výbor tak, aby v ňom boli 2 chlapci a 1 dievča? Riešenie:Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť žiakov do výboru po dvoch chlapcov, to je C2(21). Ku každej dvojici môžeme pripojiť jedno dievča, to je C1(9). Možno utvoriť 1 890 spôsobmi trojčlenný výbor.
Kombinácie s opakovaním Definícia: Ak vyberáme k-prvkové skupiny, ktorej prvky sa môžu opakovať, ale na ich poradí nezáleží, hovoríme o kombináciách s opakovaním. Označujeme C´k(n). Vzorec:
Riešený príklad č.11: Vo vrecku je máte10 guliek. Koľkými spôsobmi môžete z vrecka vytiahnuť tri guličky? Riešenie:Ak nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať, tak ide o kombinácie 3 triedy z 10 prvkov s opakovaním. Tri guličky môžeme vytiahnuť 66 spôsobmi.
