KOMBINATORIKA 2

1. KOMBINATORIKA 2 • VARIACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM -jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané n-prvkové množiny, přičemž se kterýkoli prvek Může v k-tici libovolně opakovat. Počet variací s opakováním: Příklad:Kolika způsoby lze zvolit heslo trezoru, může-li být na kterémkoli místě libovolné písmeno abecedy? Řešení:

2. KOMBINATORIKA 2 • KOMBINACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ BEZ OPAKOVÁNÍ (k-prvkové kombinace z n-prvkové množiny) • jsou libovolné k-prvkové podmnožiny dané n-prvkové množiny. Na pořadí prvků v podmno- žině – k-tici –nezáleží, žádný se v ní neopakuje.

3. KOMBINATORIKA 2 Počet kombinací k-té třídy je proto menší než počet variací k-té třídy z téže množiny: vždy k! Variací lišících se pouze pořadím vybraných prvků představuje tutéž kombinaci. toto číslo se nazývá kombinační číslo (nebo také binomický koeficient a označuje se

4. KOMBINATORIKA 2 • Příklad Kolika způsoby lze vyplnit tiket Sportky pro 1 tah? Řešení: Vybíráme šestici z 49 různých čísel (nezáleží na Pořadí, v němž je zaškrtáváme)

5. KOMBINATORIKA 2 • KOMBINACE k-té TŘÍDY S OPAKOVÁNÍM Z PRVKŮ p DRUHŮ • jsou k prvkové množiny vybírané z množiny, kde jsou prvky p různých druhů, přičemž od každého druhu je nejméně k prvků. Počet takových výběrů je :

6. KOMBINATORIKA 2 • Příklad V prodejně mají 3 druhy limonád. Máme koupit 4 lahve limonády . Kolika způsoby můžeme Nákup provést? Řešení:

7. KOMBINATORIKA 2 • VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL - Kombinační číslo je definováno pro k celé nezáporné a n≥k. • Pro každé přirozené číslo n je • Pro každá n, k pro něž je definováno kombinační číslo, platí:

8. KOMBINATORIKA 2 -Pro libovolná celá, nezáporná čísla k,n kde k je Menší než n platí: -Tabulka existujících kombinačních čísel pro n=0,1,2…. se nazývá Pascalův trojúhelník (každé číslo kromě okrajových 1 je součtem čísel vlevo a vpravo nad zvolenou pozicí)

9. KOMBINATORIKA 2 • Binomický koeficient (kombinační číslo) Pro k≤n přirozená