8. INTEGRASI NUMERIK

1. 8. INTEGRASI NUMERIK

2. Integrasinumerikadalahprosesmencarihampiranluasbidang yang dibatasiolehf (x) dansumbuxpadaselangtertutup [a, b]. Jikaf (x) dihampiridenganpolinomialpn(x), makaintegrasinumerikditulisdalambentuk, (8.1) ProsespencariannilaihampiranIdilakukanjika: a. Fungsif (x), disebutintregran, mempunyaibentuk yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi. b. Nilaixdanf (x) hanyadalambentuktabeldiskrit.

3. f (x) f (x) x O a b Gambar 8.1 Luasbidang yang dibatasif(x)

4. f (x) pn(x) f (x) pn(x) x O a b Gambar 8.1 Hampiranluasbidang yang dibatasipn(x)

5. Prosesmenentukannilaihampiranintegrasinumerik dilakukandenganbeberapacaraataumetode, yaitumetode manual, pencocokanpolinomial, aturantrapesium, aturan titiktengah, aturan Simpson, integrasi Romberg, sertaKuadratur Gauss. 8.1 Metode Manual Prosesintegrasinumeriksecara manual adalah menentukanluasbidangdengancaramenggambar persegi-persegi yang beradadibawahgrafikf (x). Jumlahpersegi yang beradadibawahgrafikdikalikandenganluasmasing-masingpersegimerupakanluasbidang yang dibatasinya, seperti yang ditunjukkanpadaGambar 8.2.

6. y x O a b Gambar 8.2 Hampiranluasbidangmetode manual

7. 8.2 PolinomialPencocokanKurva Jikaterdapatsebuahfungsif (x) yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi, seperti (8.2) atau data yang menyajikannilaif (x) untuknilaixtertentu, sepertitabelberikut, makaf(x) dapatdihampiridenganpn(x) sepertipersamaan (8.3) berikut, pn(x) = a0 + a1x + a1x2 + … (8.3)

8. Contoh 8.1 Dari tabelberikut, evaluasi integral denganmenggunakanmetodepencocokankurva polinomialorde 3. Penyelesaian

9. f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 a0 + a1 + a2 + a3 = 2,1722 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2,7638 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 4,4899 a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 7,3912

10. Didapat f (x) = 2,6744 – 1,0355x + 0,5266x2 + 0,0068x3 I = = 11.6769

11. 8.3 AturanTrapesium Aturantrapesiumdidapatdengancaramencocokkanpolinomailordepertamapadaduabuahtitikdiskrit. y f (x) h x x1 x0 O Gambar 8.2 Luassatupiastrapesium

12. (8.4) Parameter interpolasisdicaridenganpersamaan, s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh(8.5) Sehingga, dx= h ds (8.6) Untukx = x0 s = 0 Untuk x = x1 s = 1 (8.7) (8.8)

13. Substitusipersamaan (8.6) - (8.8) ke (8.4) didapat

14. Jikaselangtertutup [a, b] dibagimenjadinbuahbidang, makaluashampiranf(x) ditunjukkanpadaberikut y … x O a=x0 x1 x2 xn–1 b=xn Gambar 8.3 Luasnbuahtrapesium n = (xn – x0)/h (8.9)

15. Luasseluruhbidanguntukjarakh yang sama (8.10)

16. Luasseluruhbidanguntukjarakh yang tidaksama (8.11)

17. Contoh 8.2 Dari tabelberikut, gunakanmetodetrapesiumuntukmengevaluasi integral dengann = 8 Penyelesaian

18. n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2 Dari tabeldidapat: f (x0) = 5,1600 2 f (x1) = 2(3,6933) = 7,3866 ; 2 f (x2) = 2(3,1400) = 6,2800 2 f (x3) = 2(3,0000) = 6,0000 ; 2 f (x4) = 2(3,1067) = 6,2034 2 f (x5) = 2(3,3886) = 6,7772 ; 2 f (x6) = 2(3,8100) = 7,6200 2 f (x7) = 2(4,3511) = 8,7022 ; f (x8) = 5,0000

20. 8.4 AturanTitik Tengah Gambarberikutadalahsebuahpersegipanjangdari x = x0sampaix = x1dantitiktengahx = x1/2 = x0 + h/2 y f (x) h x a=x0x1/2 b=x1 O Gambar 8.4 Aturantitiktengah

21. y … Gambar 8.3 nbuahpersegipanjangdenganpanjangmasing-masingf (xn+h/2) x O a=x0x1x2 … xn-1 b=xn n = (xn – x0)/h (8.7)

22. Luasn buahtrapesiumadalah (8.8) Persamaan (8.8) adalahhampiranintegrasif(x) denganmetodetitiktengah.

23. Contoh 8.3 Dari tabelberikut, gunakanmetodetitiktengahdengann = 8 untukmengevaluasi integral

24. Penyelesaian n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2

25. Dari tabeldidapat: f (x0+h/2) = f (0,4+0,1) = f (0,5) = 4,4266 f (x1+h/2) = f (0,6+0,1) = f (0,7) = 3,4166 f (x2+h/2) = f (0,8+0,1) = f (0,9) = 3,0700 f (x3+h/2) = f (1,0+0,1) = f (1,1) = 3,0534 f (x4+h/2) = f (1,2+0,1) = f (1,3) = 3,2476 f (x5+h/2) = f (1,4+0,1) = f (1,5) = 3,5993 f (x6+h/2) = f (1,6+0,1) = f (1,7) = 4,0806 f (x7+h/2) = f (1,8+0,1) = f (1,9) = 4,6757

26. 8.5 Aturan Simpson 1/3 Aturansimpson 1/3 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 2 padatigatitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama. p2(x) y f (x) x x0 = 0 x1 = hx2 = 2h Gambar 8.4 Aturan Simpson 1/3

27. Dari persamaan (8.5) s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh Sehingga Untukx = x0, makas = 0 Untukx = x2, makas = 2

30. ataudapatditulisdalambentuk (8.9)

31. Contoh 8.4 Selesaikan denganmenggunakanmetode: Trapesium Titiktengah Simpson 1/3 Bandingkanhasilmasing-masingmetodedengansolusisejatinya. Penyelesaian h = 0,10

32. a. MetodeTrapesium n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

33. I  0,05(0,5000 + 1,0476 + 1,0909 + 1,1304 + 1,1666 + 1,2000 + 1,2308 + 1,2592 + 1,2856 + 1,3104+0,6666  0,59438

34. b. Metodetitiktengah: f (x0+h/2) = f (0,0+0,05) = f (0,05) = 0,5122 f (x1+h/2) = f (0,1+0,05) = f (0,15) = 0,5348 f (x2+h/2) = f (0,2+0,05) = f (0,25) = 0,5556 f (x3+h/2) = f (0,3+0,05) = f (0,35) = 0,5744 f (x4+h/2) = f (0,4+0,05) = f (0,45) = 0,5918 f (x5+h/2) = f (0,5+0,05) = f (0,55) = 0,6078 f (x6+h/2) = f (0,6+0,05) = f (0,65) = 0,6226 f (x7+h/2) = f (0,7+0,05) = f (0,75) = 0,6364 f (x8+h/2) = f (0,8+0,05) = f (0,85) = 0,6491 f (x9+h/2) = f (0,9+0,05) = f (0,95) = 0,6610

36. c. Metode Simpson 1/3m n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

38. Solusisejati

39. 8.6 Aturan Simpson 3/8 Aturansimpson 3/8 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 3 padaempattitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama. y f (x) pn(x) x1 = h x2 = 2h x3 =3h x0 = 0 x Gambar 8.5 Aturan Simpson 3/8

40. Dari persamaan (8.5) s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh Sehingga Untukx = x0, makas = 0 Untukx = x2, makas = 2

43. ataudapatditulisdalambentuk Selesaikandenganmetode Simpson 3/8 Contoh 8.5 (8.9) dengann = 9. Bandingkanhasilnyadenganmetodetrapesium, titiktengah, Simpson 1/3 dandengansolusisejati. Penyelesaian

44. Untukn = 9  h = ( 1 – 0)/9 = 1/9

45. Itotal 3h/8{ f0 + 3( f1 + f2 + f4 + f5 + f7 + f8 )+ 2(f3 + f6 ) + f6 }  (3/8)(1/9){ 1,16666 + 10,70931+ 2,39286}  0,59453

46. 8.7 Aturanintegrasinumerikuntukh yang berbeda • Suatu data seringmempunyaijarak yang berbedapadasebagiantitik, sedangkansebagiantitiklainnyasama. Sebetulnyakitadapatmenggunakanaturantrapesium, khususnyapersamaan (8.11). Akantetapijikakitainginmeningkatkantingkatketelitian, makakombinasipenggunaanmetodetrapesium, Simpson 1/3, dan Simpson 3/8 menjadipilihan yang lebihbaikdaripadamenggunakanmetodetrapesiumsecarakeseluruhan. • Aturankombinasinyaadalahsebagaiberikut: • Untukselangberurutanmempunyaijarak yang sama • danberjumlahgenap, gunakanaturan Simpson. • Untukselangberurutanmempunyaijaraksamadan • berjumlahkelipatantiga, gunakanaturan Simpson 3/8

47. f (x) y h2 h2 h3 h2 h3 h1 h1 h1 h1 x8 x0 x1 x2 x3 x4 x9 x5 x6 x7 Simpson 1/3 Simpson 3/8 x Trapesium Trapesium Gambar 8.6 AturanGabungan

48. 8.8 Metode Newton-Cotes Bentukumumdarimetode Newton-Cotes ditunjukkanpadapersamaanberikut. (8.9) n = jumlahpias (strip) h = lebarpias = (b – a)/n fi = f (xi) xi= a + ih α : koefisien β : koefisien E = Galat

49. Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes

50. Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes (lanjutan) Tabel 8.1 adalahtujuhdari 10 rumus Newton-Cotes. Rumus 1 sampai 4 masing-masingdidapatdenganaturantrapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8, dan Boole. Rumus 5 danseterusnyadidapatdenganmenggunakanpolinominterpolasiselisihmajuderajat 4, 5, danseterusnya.