GEOMETRINIAI MODELIAI

1. GEOMETRINIAI MODELIAI Matematika geografijoje II dalis

2. Tinklai ir grafai (1) Erdvė gali būti įsivaizduojama kaip begalinė aibė taškų. Bet tiriant reiškinį dažnai pastebime, kad jis ne kiekviename tolydžios erdvės taške yra apibrėžtas. Pavyzdžiui, tiriant hidrografinius ar transporto tinklus, įvairių parametrų matavimų taškai parenkami ant tų tinklų – iš tiesų, nėra prasmės kalbėti apie srauto tankį arba sudėtį ten, kur to srauto nėra. Formaliai apibrėšime izotropines sąlygas kaip erdvės savybių vienodumą visomis kryptimis. Anizotropinės sąlygos reiškia, kad savybės kinta priklausomai nuo krypties. 2D ar 3D tinklai – tai anizotropinės struktūros. Tinklai gali būti realūs (upės, keliai) arba virtualūs (oro susisiekimo linijos, vandenyno srovės). Tinklai naudojami kaip modeliai įvairiose mokslo ir planavimo srityse – juos sudaro transporto linijos, vamzdynai, ekosistemos ir t.t.

3. Tinklai ir grafai (2) Tokių sistemų struktūrą patogu vaizduoti grafais. Pavyzdžiui, įsivaizduokime Lietuvos teritorijos geležinkelių žemėlapį. Atmeskime informaciją apie geležinkelio linijų formą, kryptį, ilgį, palikdami tik struktūrinius komponentus: mazgus (stotis) ir jungtis tarp jų. Tokio generalizavimo rezultatas – grafas – turi tik kelis pagrindinius elementus: • Linijų sankirtos ar galiniai taškai, vadinami viršūnėmis arba mazgais. • Linijos, vadinamos briaunomis. • Tarpusavyje nesusieti junginiai, vadinami subgrafais. • Plotai, apriboti linijų, kurie yra tarp briaunų arba jų išorėje, vadinami sritimis. Apibrėžimas. Grafas – tai aibė G XxXxL, kur X – taškų plokštumoje aibė, o L – linijų aibė. Grafiškai tai geometrinė figūra, sudaryta iš taškų – viršūnių ir juos jungiančių linijų – grafo briaunų (lankų).

4. Tinklai ir grafai (3) Geometriškai viršūnė – tai vienas taškas, kuris neturi nei dydžio, nei kitų matmenų. Briauna – tai tiesi ar kreiva savęs nekertanti linija su galais dviejose viršūnėse, nebūtinai skirtingose. Jei nėra nesujungtų briaunų (t.y., nėra subgrafų), kiekviena briauna jungia 2 viršūnes ir skiria 2 sritis. Kiekviena viršūnė gali turėti bet kokį skaičių briaunų. Jei tik viena briauna – tokia viršūnė vadinama kabančia. Jei iš viršūnės išeina nelyginis skaičius briaunų, viršūnė vadinama lygine, kitaip – nelygine. Viršūnės gali būti įvairiai sujungtos tarpusavyje. Jungumas – svarbiausia grafo savybė, nors pradžios bei galo buvimas, orientacija ir kiti parametrai neretai turi reikšmę. Jungtys gali būti planarinės arba ne (tada briaunos projekcijoje gali kirstis nesudarydamos mazgo – sunkiau pavaizduoti). Neplanarinę situaciją turime transporto tinkle – keliai, tuneliai, viadukai, tiltai, požeminės perėjos. Trimatis kūnas – tai objektas, sudarytas iš tarpusavyje susijungiančių sričių.

5. Tinklai ir grafai (4) Taigi, grafas aprašo tam tikrus erdvinius ryšius ir jį galima panaudoti atskleisti erdviniam panašumui, pavyzdžiui, tinklų. Du grafai yra izomorfiški, jei yraabipus vienareikšmis atvaizdis tarp jų briaunų ir viršūnių, t.y., jungumo ir lietimosi savybės sutampa, nors forma gali skirtis (pav.). Ciklas – tai kelias iš viršūnės į ją pačią. Atskira grafo rūšis yra medis – tai grafas be ciklų. Medžiais dažnai naudojamasi sprendžiant uždavinius, kai perrenkami variantai (pvz., “kryžiukai-nuliukai”). Hidrografinis tinklas taip pat dažniausiai yra be ciklų. Izomorfiški grafai Izomorfiški grafai

6. Tinklai ir grafai (5) Grafas (ciklinis arba ne), kuriame nurodyta kiekvienos briaunos kryptis, vadinamas orientuotuoju. Tokie grafai dažnai naudojami praktikoje, pavyzdžiui, sudarant gatvių eismo schemas, vandentiekio tinklus ir pan. Jei leidžiamas tik vienpusis eismas, reikia orientuoti gatves taip, kad bet kurias sankryžas jungtų orientuota grandinė – kartais vienpusio orientavimo neužtenka. Prie orientuotų briaunų galime nurodyti kokias nors skaitines ryšio charakteristikas, pvz., vidutinį srauto tankį (pav.). Taip modeliuojami tiekimo, tvarkaraščių ir įvairūs kitokie uždaviniai. Neorientuotas aciklinis grafas Orientuotas aciklinis grafas Neorientuotas ciklinis grafas

7. Tinklai ir grafai (6) Tinklo konfigūracija atspindi skirtingas sąlygas – nuo paprastų struktūrų, kai visos viršūnės yra sujungtos su viena, iki visų įmanomų sujungimų. Paveiksle parodytos kai kurios specifinės konfigūracijos. Grafus galima koduoti matricomis. Minimalus kelias per visas viršūnes Keliaujančio prekybos agento uždavinys Apėjimas be ciklo Radialinė struktūra

8. Grafų savybės ir apėjimo uždavinys (1) Pirmasis grafo sąvoką įvedė L. Oileris 1736 m. spręsdamas Karaliaučiaus tiltų uždavinį (ar galima pereiti 7 tiltus po 1 kartą ir grįžti į tą pačią vietą). Kelias, einantis per visas grafo briaunas vienintelį kartą vadinamas Oilerio keliu. Ciklas per visas grafo briaunas (kai grįžtama į pradinį tašką), vadinamas Oilerio ciklu. B A

9. Grafų savybės ir apėjimo uždavinys (2) Spręsdamas uždavinį Oileris nustatė grafo savybes: • Grafo nelyginių viršūnių skaičius visada lyginis. Kiekvieno grafo viršūnių laipsnių suma yra lyginis skaičius. • Jei visos grafo viršūnės lyginės, tą grafą galima nubraižyti neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus ir nekartojant linijų, be to, braižyti galima pradėti nuo bet kurios viršūnės ir baigti toje pačioje viršūnėje – t.y., egzistuoja daug Oilerio ciklų. • Grafą, kuris turi lygiai 2 nelygines viršūnes galima nubraižyti neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus ir nekartojant linijų, jei pradedama vienoje nelyginėje viršūnėje, o baigiama antroje (egzistuoja Oilerio kelias). • Neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus neįmanoma nubraižyti grafo, kuris turi daugiau negu 2 nelygines viršūnes (taigi, 7 tiltų uždavinys neišsprendžiamas).

10. Grafų savybės ir apėjimo uždavinys (3) Grafas, kurį galima nubraižyti neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus, vadinamas unikursaliąja figūra. Tai, pavyzdžiui, optimalus maršrutas aplankant visas įžymias vietas (jei transportas visomis briaunomis vienodas), valant gatves ir pan. Grafą galima oilerizuoti (sudaryti Oilerio ciklą) pridedant papildomas briaunas, atkartojančias jau esamas.

11. Grafų savybės ir apėjimo uždavinys (4) Grafas vadinamas pilnuoju, jei kiekvienos dvi jo viršūnės yra sujungtos briauna. Jei pilnasis grafas turi n viršūnių, tai jis turi n(n-1)/2 briaunų. Grafas vadinamas jungiuoju, jei kiekviena jo viršūnė nėra izoliuota, t.y., egzistuoja kelias iš kiekvienos viršūnės į kitą. Kelio radimo uždavinys yra labai aktualus geografams.

12. Grafų savybės ir apėjimo uždavinys (5) Grafais nebūtinai vaizduojami geografiniai objektai. Pavyzdžiui, viršūnėmis galima pažymėti valstybes, o briaunomis – diplomatinių santykių tarp jų buvimą. Šiuo atveju briauna rodys simetrinį sąryšį tarp elementų. Tačiau dažnai vaizduojamas ryšys nėra simetrinis, pavyzdžiui norint parodyti, kurios įmonės tiekia detales kitoms įmonėms. Grafas skaido plokštumą į nesikertančias sritis. Jei grafo viršūnių yra V, briaunų B, tai grafas skaido plokštumą į B-V+2 sričių. (2 – jei išorė laikoma sritimi, 1 – jei ne). tas santykis yra pastovus.

13. Užduotys Sudarykite kryžiukų-nuliukų žaidimo sprendinių medį ir rasti laimėjimo strategiją duotai situacijai (nuliukų ėjimas) Kokio laipsnio yra grafo viršūnės? Aprašyti šį grafą matrica. x 0 x x 0 B C A E G F D

14. Užduotys Kiek kiekvienas grafas turi briaunų, mazgų, sričių? Kurie grafai turi ciklus? Kurie grafai yra tarpusavyje izomorfiški? Kuriuose grafuose egzistuoja Oilerio kelias? Oilerio ciklas? Oilerizuokite grafus, kuriuose Oilerio kelio nėra. A B C D F G E

15. Grafų modeliai(1) Pavyzdys. Duota gyvenvietės gatvių schema, Kiek mažiausiai autobusų reikia keleiviams pervežti, jei kiekviena gatve, jungiančia dvi gretimas sankryžas, gali kursuoti tik vienas autobusas? Tai – savybės, susijusios su grafo jungumu. Jos leidžia atsakyti į tokius klausimus kaip: vidutinis oro linijų aptarnaujamų miestų pasiekimo greitis, kelionės kainos pasikeitimas pastačius tiltą per sąsiaurį, kiek yra alternatyvių maršrutų siekiant išvengti kamščių. Tiltas – tai vienintelė grafo briauna, jungianti dvi jo dalis ar kabančią viršūnę. Panaikinus tiltą, grafas skyla į subgrafus.

16. Grafų modeliai(2) Apėjimo uždavinys. Tai labai dažnai praktiškai sprendžiamų uždavinių klasė: kaip optimaliai pereiti visomis gatvėmis (paštininkui, šiukšliavežei, kelių žymėjimo mašinai ir t.t.) Tarkime, turime stačiakampį gatvių tinklą. Paštininkui užtenka vieną karta praeiti visomis gatvėmis. Grafas atrodys kaip parodyta paveiksle - tai nėra Oilerio grafas, todėl ir ciklas per visas briaunas neegzistuoja. Reikia papildyti grafą iki Oilerio grafo, tada ciklą rasti lengva taikant paprastą algoritmą: einama briauna, kuri, kol įmanoma, nėra tiltas, tada ta briauna išmetama.

17. Apėjimo uždavinys - algoritmas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18. Grafų modeliai(3) Antras pavyzdys – šiukšliavežės maršrutas (važiuoti reikia visomis gatvėmis po 2 kartus – viena ir kita puse). Atitinkamas grafas parodytas paveiksle. Niujorko miesto tvarkymo transporto maršrutams sudaryti naudojamasi būtent grafų modeliais, taip sutaupant apie 25 milijonus dolerių per metus.

19. Grafų modeliai(4) Keliaujančio agento uždavinys. Tai taip pat labai dažnai praktiškai aktualus uždavinys, modeliuojamas svoriniu grafu . Kaip parodyta paveiksle ant miestus jungiančių kelių pažymėtos kelionės sąnaudos. Agentas turi pradėti kelią mieste A, aplankyti visus kitus miestus po vieną kartą taip, kad kelionės sąnaudos būtų minimalios, ir grįžti į A. Iš principo taip pat sprendžiami yra siuntinių pristatymo, mikroschemų gamybos ir įvairūs kiti uždaviniai.

20. Grafų modeliai(5) Matematiškai – tai grafo apėjimo per viršūnes uždavinys. Jei toks ciklas egzistuoja, jis yra skirtingas nuo Oilerio ciklo, vadinamas Hamiltono ciklu. Deja, nėra teoremos nustatyti, ar grafe egzistuoja Hamiltono ciklas. Kartais gali padėti Dirako teorema: Jei jungusis grafas turi ne mažiau kaip 3 viršūnes, ir kiekviena iš jų yra susieta su ne mažiau kaip puse likusių viršūnių, Hamiltono ciklas tokiame grafe egzistuoja. Jei visos viršūnės tarpusavyje sujungtos – tai pilnasis grafas. Pilnasis grafas su n viršūnių turi Pn-1, t.y., (n-1)! Hamiltono ciklų, iš kurių pusė yra atvirkštiniai. (5-1)!=24 1-2-3-4-5 1-2-3-5-4 1-2-4-5-3 1-2-4-3-5 1-2-5-4-3 1-2-5-3-4 1-3-2-4-5 1-3-2-5-4 1-3-4-5-2 1-3-4-2-5 1-3-5-4-2 1-3-5-2-4 1-4-2-3-5 1-4-2-5-3 1-4-3-5-2 1-4-3-2-5 1-4-5-3-2 1-4-5-2-3 1-5-2-4-3 1-5-2-3-4 1-5-4-3-2 1-5-4-2-3 1-5-3-4-2 1-5-3-2-4

21. Grafų modeliai(6) Natūralus sprendimo algoritmas pilnajame grafe – perrinkti visus galimus ciklus, sudedant briaunų svorius ir išrinkti mažiausią sumą. Tačiau tokio algoritmo sudėtingumas auga kaip (n-1)!/2. tai reiškia, kad atitinkamiems n reikės maždaug tiek galingo kompiuterio darbo laiko, kiek parodyta lentelėje (“kombinatorinis sprogimas”). Kol kas nėra žinoma jokio efektyvaus šio uždavinio sprendimo algoritmo. Tačiau yra daug apytikrio sprendimo algoritmo, kai rastas “trumpiausias” kelias skiriasi nuo tikrojo tam tikru dydžiu (retai pasitaikančiu dideliu arba dažnai pasitaikančiu mažu – neaišku, kas geriau).

22. Grafų modeliai(7) Artimiausio kaimyno algoritmas. • Iš A einama į sekančią viršūnę “pigiausiu” keliu. • Einama toliau į sekančią viršūnę “pigiausiu” keliu. • Iš paskutinės viršūnės grįžtama atgal į A. Mūsų pavyzdžio atveju šis algoritmas duoda geriausią sprendimą.Dar geresnį priartėjimą gausime pritaikę artimiausio kaimyno algoritmą visoms viršūnėms iš eilės ir išrinkę geriausią variantą. Bet tada gerokai išauga algoritmo sudėtingumas.

23. Grafų modeliai(8) Pigiausios jungties algoritmas • Bet kur grafe pasirenkama pigiausia briauna. • Parenkama sekanti pigiausia briauna taip, kad nesusidarytų nepilnas ciklas ir 3 briaunos neišeitų iš vienos viršūnės. • Iš paskutinės viršūnės grįžtama atgal į A. Abu šie algoritmai dažniausiai duoda neblogą rezultatą, bet kai kuriais atvejais jis gali būti ir pats blogiausias (pavyzdžiui, jei grįžtama į A labai brangiu keliu).

24. Grafų modeliai(9) Minimalaus tinklo uždavinys. Tai uždavinys, sprendžiamas, pavyzdžiui, tiesiant elektros perdavimo linijas. Visi duoti objektai turi būti sujungti taip, kad tarp jų visų egzistuotų kelias, o tinklo svoris būtų minimalus. Tai reiškia, kad grafe reikia rasti minimalų jungųjį pografį be ciklų. Priminsime, kad jungusis grafas be ciklų vadinamas medžiu, o n viršūnių medis turi n-1 briauną. Medį sudaro upių tinklas, kuris susiformuoja natūraliai, o tiesiant vamzdynus, telefono ar kitokius tinklus, reikia optimizuoti sprendimą.

25. Minimalaus tinklo uždavinys (1) Kiekvienas jungusis grafas turi bent vieną jungiantį medį, kuris vadinamas grafo karkasu. Jei grafo briaunoms nurodyti svoriai, galima rasti minimalų jungiantį medį. Kaip jį rasti? Pasirodo, tai įmanoma visada ir yra algoritmas, garantuojantis sprendinio optimalumą. Grafo karkasai

26. Minimalaus tinklo uždavinys (2) Kruskalo algoritmas (Bell laboratorijos). 1. Rasti pigiausią kelią grafe. 2. Rasti sekantį pigiausią kelią tokį, kad nesusidarytų ciklas ir 3 briaunos neišeitų iš vienos viršūnės. 3. Tęsti, kol bus panaudotos visos viršūnės.

27. Trumpiausių tinklų uždaviniai Tarkime, kad kelių iš viso nėra, o jų tiesimo kaina vienoda. Raskime trumpiausią kelią, jei galima kurti papildomus mazgus. Optimalus sprendinys yra toks, kuriame tinklas susijungia 120o kampu – tai įrodyta.Toks taškas vadinamas Šteinerio tašku.

28. Trumpiausių tinklų uždaviniai (1) Jei Šteinerio taškas yra grafo viduje, tai per jį sudaromas trumpiausias tinklas. Jei Šteinerio taškas yra grafo išorėje (taip yra, kai kuris nors išorinės figūros kampas didesnis už 120o), tada trumpiausias tinklas yra minimalus jungiantis medis. Toričelio procedūra Šteinerio taškui rasti. • Pasirenkama ilgiausia trikampio ABC kraštinė. • Sudaromas lygiakraštis trikampis BCX • Aplink jį apibrėžiamas apskritimas. • A ir X sujungiami atkarpa. Šteinerio taškas yra apskritimo ir atkarpos AX sankirtos taškas. Kiekviename trumpiausiame tinkle vidiniai mazgai gali būti tik Šteinerio taškai.

29. X B A C Toričelio procedūra Šteinerio taškui rasti • Pasirenkama ilgiausia trikampio ABC kraštinė. • Sudaromas lygiakraštis trikampis BCX • Aplink jį apibrėžiamas apskritimas. • A ir X sujungiami atkarpa. Šteinerio taškas yra apskritimo ir atkarpos AX sankirtos taškas.

30. Labirinto uždavinys (1) Tarkime, kad turime figūrą, apribotą savęs nekertančia uždara linija. Nesunku pastebėti, kad, jei iš taško, esančio figūros viduje nubrėšime spindulį, tai bet kokio spindulio ir figūros kontūro sankirtos taškų skaičius bus lyginis. Galima suformuluoti savybę: Jei lanko AB ir nesavikirtės uždarosios kreivės l sankirtos raškų skaičius nelyginis, tai vienas iš taškų yra kreivės l apribotos figūros išorėje, o kitas – viduje. Kitaip abu taškai A ir B yra arba figūros viduje, arba jos išorėje.

31. Labirinto uždavinys (2) Šios savybės naudojamos GIS sistemose erdvinei duomenų analizei. “Labirinto” taisyklė. Įeinant į labirintą ir apeinant visus jo vingius ta pačia ranka reikia liesti sieną tol, kol išeinama iš labirinto.

32. Žemėlapio spalvinimo uždavinys Naudojant minimalų skaičių skirtingų spalvų nuspalvinti politinį žemėlapį. Tai nėra taip jau paprasta. Šis uždavinys domino daugelį matematikų ir 1879 A. Kelis (Anglija) paskelbė hipotezę, kad bet kokį politinį žemėlapį galima nuspalvinti keturiomis spalvomis taip, kad kaimyninės valstybės būtų skirtingų spalvų. Tačiau atrodo, kad iki šiol hipotezės nepavyko nei patvirtinti, nei paneigti. Žemėlapį galima laikyti grafu. Yra įrodyta su tuo susijusių dalykų. • Bet koks žemėlapis plokštumoje turi bent vieną sritį, kurios briaunų skaičius mažesnis kaip 6. • (Dviejų spalvų teorema). Būtina ir pakankama sąlyga, kad žemėlapį būtų galima nuspalvinti 2 spalvomis – iš tą žemėlapį vaizduojančio grafo kiekvienos viršūnės turi išeiti lyginis skaičius briaunų (valstybių sienų). • (Trijų spalvų teorema). Būtina ir pakankama sąlyga, kad žemėlapį būtų galima nuspalvinti 3 spalvomis – tą žemėlapį vaizduojančio grafo kiekviena sritis privalo turėti lyginį skaičių briaunų. • (Penkių spalvų teorema). Bet kokį žemėlapį, kurio visų viršūnių laipsniai 3 (normalusis žemėlapis; jis lengvai gaunamas didesnio laipsnio viršūnes pakeitus apskritimais), galima nuspalvinti 5 spalvomis.

33. Žemėlapio spalvinimo uždavinys

34. Geografinės informacijos topologija • Topologiniai žemėlapiai – tai žemėlapiai, kuriuose iškraipomos formos, bet išsaugomos topologinės savybės: persidengimas, kaimynystė, “skylės”. Žemėlapyje grafo viršūnės dažniausiai turi 3 briaunas (nors gali būti 2, 4 ar daugiau). • DLG (Digital Line Graph) – tai JAV Geologijos tarnybos naudojamas modelis topografinei informacijai koduoti. Jam apibrėžti topologinio vientisumo reikalavimai (mozaikos struktūrai): • Kiekvienas vienmatis objektas (briauna) jungia 2 nulinio matavimo objektus (viršūnes). • Kiekvienas vienmatis objektas (briauna) skiria 2 dviejų matavimų objektus (sritis). • Kiekvienas nulinio matavimo objektas yra apsuptas briaunų ir sričių ciklo. • Kiekvienas dviejų matavimų objektas yra apsuptas briaunų ir viršūnių ciklo. • Nėra sankirtų, kitokių nei viršūnės.

35. Geografinės informacijos topologija (1) • Ne visi kartografiniai objektai yra topologiniai, pavyzdžiui, forma, kreivumas ir kt. • Keli skirtingi žemėlapiai gali turėti vienodą topologinę struktūrą. • Topologinė struktūra yra invariantas transformacijų atžvilgiu (perstūmimo, tempimo bet ne plėšymo): keičiant atstumus ir kampus, 4 dalykai turi likti pastovūs: • Briaunų ir viršūnių susietumas. • Sankirtos. • Kaimynystė. • Įdėtumas. • Iš linijų topologinę struktūrą sukurti nėra paprasta, bat patogu, nes grafų savybėmis neretai pasinaudojama digitavimo klaidoms aptikti.

36. Būdingiausios digitavimo klaidos • Yra nesujungtų briaunų. • Poligonas neuždaras. • Yra dvigubų briaunų ar viršūnių. • Yra daugiau nei 1 arba nė vieno centroido. • Viršūnė turi ne lygiai 3 briaunas (tai – nebūtinai klaida). • Trūksta poligono. • Yra nereikalinga sankirta. • Yra netyčinis mazgas. • Netaisyklinga linijos forma. • Klaidos automatiškai dažniausiai aptinkamos naudojant Oilerio lygybę.

37. Operacijos su geografiniais duomenimis Linijų sankirta Jei turime dvi atkarpas AB ir CD, kur taškų koordinatės yra A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4),jų sankirta yra atitinkamų tiesių y = ax+b ir y=cx+d sankirta, t.y., ax+b =cx+d Koeficientai a, b, c ir d apskaičiuojami įsistačius žinomus taškus A, B, C ir D į tiesių lygtis.

38. Operacijos su geografiniais duomenimis Taško buvimas poligone. Dažnai reikia nustatyti, ar taškas patenka į daugiakampio vidų. Tam naudojama Žordano teorema, atitinkanti labirinto taisyklę grafe: • Nuo taško viena kryptimi brėžiamas spindulys taip, kad jis nusitęstų už poligono ribų. • Tada skaičiuojamos spindulio sankirtos su poligono briaunomis. • Jei sankirtų skaičius yra lyginis, taškas yra poligono išorėje, jei nelyginis – viduje. Kad būtų paprasčiau, naudojami koordinačių ašims lygiagretūs spinduliai. Prieš tai pirmiausia patikrinama, ar taškas patenka į poligoną apimantį stačiakampį (jie ne, jis, žinoma, yra išorėje).Panašiai tikrinama, ar taškas yra ant linijos, ar linija kerta poligoną ir kt.

39. Operacijos su geografiniais duomenimis Taško buvimas viename iš daugelio poligonų. Galima tikrinti visus taškus iš eilės (sudėtingumas - n), galima poligonus sutvarkyti hierarchiškai (sudėtingumas – log4n).

40. Operacijos su geografiniais duomenimis Centroido skaičiavimas. Centroidai naudojami, kai reikia pažymėti poligono (arba linijos) vienintelį “centrinį” tašką. • Pagal viršūnes. xc=(1/n)  xi; yc=(1/n)  yi). Jeigu poligonas labai netaisyklingas ar turi vienoje pusėje neproporcingai daug viršūnių, rezultatas nebus geras. • “Svorio” centras apskaičiuojamas statistiškai. • Apimančio ar įbrėžto stačiakampio, skritulio ar kitos taisyklingos figūros svorio centras. • Aukščiausia poligone esanti viršūnė ar kitoks reprezentuojantis taškas. • Intuityviai pažymėtas.

41. Operacijos su geografiniais duomenimis Centroido skaičiavimas.

42. Operacijos su geografiniais duomenimis Atstumų, plotų, kompaktiškumo įvertinimas. Atstumai dažniausiai randami pagal Pitagoro teoremą. Plotai skaičiuojami pagal formulę Formos sudėtingumą nusako: • poligono perimetro santykis su to paties ploto skritulio perimetru, • spindulių iš centroido nuokrypių nuo apskritimo spindulio suma (tam reikia gerai parinkto centroido). Poligonų persidengimas ir sąjunga. Norint rasti persidengimą ar sąjungą, poligonai skaidomi į trapezoidus.

43. Poligonų struktūros (mozaikos ir gardelės) Diskretizavimas – tai tolydžios erdvės skaidymas į segmentus, t.y., į poligonus. Erdvę galima diskretizuoti įvairiai. Mozaikos – tai besiliečiančios zonos, kurios dengia visą erdvę. Jos gali būti taisyklingos (geometrinės figūros, topografinio žemėlapio lapai) ir netaisyklingos (sklypai, žemėlapio objektai). Nereguliarios mozaikos tai (begalinis) skirtingos formos ir dydžio poligonų junginys (3D - poliedrų). Tai dažniausiai socialinių, ekonominių, demografinių duomenų zonos, sklypai, trianguliaciniai paviršiaus modeliai. Reguliarios mozaikos – tai pasikartojančių vienodų taisyklingų geometrinių figūrų junginiai. Tai tinklelio kvadratai, diskretizuojant gauti vaizdai, tolydžių imčių duomenys. Taisyklingas struktūras daug lengviau analizuoti ir apdoroti. Gardelės – tai taškų struktūros, pakeičiančios poligonus. Jos gali būti sankirtos arba centroidų taškai.

44. Poligonų struktūros (mozaikos ir gardelės) Gardelės – tai taškų struktūros, pakeičiančios poligonus. Jos gali būti sankirtos arba centroidų taškai. Keičiant mastelį, taisyklingos struktūros generalizuojamos pagal “piramidės” modelį.

45. Poligonų struktūros (mozaikos ir gardelės) Netaisyklingos struktūros koduojamos ir generalizuojamos kitaip (paveiksle parodytas Quadtree modelis). Nereguliarios mozaikos dažnai naudojamos Tiesen’o (Voronoi) poligonams sudaryti. Jie sukuriami sujungus centroidus ir padalinus gautas linijas statmenais bisektoriais, bei surinkus poligonus iš susidariusių briaunų. Matematikoje toks poligonas vadinamas Dirichlė sritimi.