Download
1 / 13
140 likes | 448 Views
GEOMETRINIAI MODELIAI. Matematika geografijoje II dalis. Fraktalai (1). Fraktalai – tai būdas vaizduoti natūraliems objektams Tarkime, kad modeliuojami realūs objektai turi aiškiai apibrėžtas ribas (žemėlapio modelis). Objektai gali būti natūralūs arba sukurti žmogaus.
E N D
GEOMETRINIAI MODELIAI Matematika geografijoje II dalis
Fraktalai (1) Fraktalai – tai būdas vaizduoti natūraliems objektams Tarkime, kad modeliuojami realūs objektai turi aiškiai apibrėžtas ribas (žemėlapio modelis). Objektai gali būti natūralūs arba sukurti žmogaus. Fraktalų geometrija kur kas geriau, negu Euklido, leidžia pavaizduoti realias esybes, kurių kontūrai netaisyklingi, bet atsikartoja skirtinguose masteliuose ar objekto dalyse, pavyzdžiui, medis, upė. Jas būtų galima modeliuoti ir geometrinėmis figūromis: kūgiais, cilindrais ir kt., tačiau fraktalai leidžia tą padaryti greičiau ir gaunamas vaizdas yra panašesnis į tikrąjį. Fraktalų geometriją sukūrė Mandelbrotas 1982 m. apibendrinęs 20 a. darbus šia tema. Angliškas žodis Fractal reiškia fragmentą, dalį. Fraktalų geometrijos esmė yra objektų fragmentacija ir panašumas į pačius save.
Fraktalai (2) Nors natūralūs objektai dažnai būna grubūs ir nereguliarūs, juos dažnai sudaro pasikartojančios formos. Keičiant mastelį būdingos kontūrų savybės taip pat dažnai išlieka – tai yra “struktūros struktūrose”. Bet kuri fraktalo dalis yra tokia pat sudėtinga, kiek ir jis pats.
Fraktalai (3) Kaip tai daroma. • Begaliniu procesu geometrinė forma skaidoma kaip parodyta paveiksle atkarpos atveju ir kiekviena dalis koduojama skaitmenimis. • Mažiausi segmentai, kurių yra labai daug, vadinami Kantoro dulkėmis.
Fraktalai (4) Tokios struktūros kūrimas paremtas 2 objektais: • Iniciatorius. Tai pradinė figūra, pavyzdžiui, linijos segmentas. Jei iniciatorius – trikampis, fon Kocho kreivė imituos snaigę. • Repetitorius. Tai modelis, pagal kurį generuojama struktūra skaidant pradinę formą į elementus. Jei skaidoma į 3 dalis, n-tajame žingsnyje gauname 2n segmentų. O panašumo santykis yra 1/3. Fraktalinės “kreivės” yra tolydžios, tačiau neturi nei liestinių, nei išvestinių. Jų forma priklauso nuo mastelio. Jei fraktalo parametrai nesikeičia, gaunami taisyklingi objektai.
Fraktalai (5) Jei pabandysime apskaičiuoti fon Koch kreivės, gautos iš pradinio lygiakraščio trikampio (Koch snaigės) plotą ir perimetrą, gausime įdomų rezultatą. Perimetras kiekviename žingsnyje pailgėja iš 1 tiesios kraštinės į 4, kurių ilgiai po 1/3, t.y. – ¾. Plotas tuo tarpu artėja į 1.6 pradinio trikampio ploto! Taigi, nors kreivė begalinė, jos ribojamas plotas yra baigtinis. Tokios kreivės naudojamos modeliuoti kranto linijoms, miško kontūrams ir pan.
Fraktalai (6) Stochastiniai fraktalai. Ne visada norime modeliuoti idealiai taisyklingais objektais. Dažnai reikia, kad jie atrodytų natūraliai, pavyzdžiui, kaip vienos rūšies medžiai, kurie yra labai panašūs, bet vis dėlto šiek tiek skiriasi. Tam generuojant fraktalą įvedamas atsitiktinis parametras, kaip Brauno judėjimo modelyje: stochastinis judėjimas aprašomas maždaug taip: y = ½ (y1+y2) + us02-lh ; čia u – atsitiktinis dydis, s0- Gauso pasiskirstymo parametras; l – rekursyvumo lygmuo; h – fraktalo parametras, išreiškiantis jo “grubumą”. Formulė reiškia, kad įvedama nedidelė paklaida, kuri mažėja, didinant rekursinį gylį.
Fraktalai (7) Kaip gali būti generuojama tokia paklaida laužtei, parodyta paveiksle – perstumiant išilgai koordinačių ašies arba naudojant statmeną bisektorių. Dažniausiai procedūra yra kur kas sudėtingesnė, pavyzdžiui, modeliuojant reljefą.
Fraktalai (8) Kompleksinių skaičių erdvėje fraktalinės kreivės analogas yra Mandelbroto aibė (Benoit Mandelbrot, IBM, JAV). Jai būdinga apytikslė mastelio simetrija – dariniai kartojasi begalinėje mastelių aibėje, bet ne visai tiksliai atsikartodami. Rekursinis žingsnis nuo iniciatoriaus s yra x = s + x2. Jei s yra kompleksinis skaičius, gausime plokštumos taškus. Mandelbroto aibė laikoma sudėtingiausiu žinomu matematiniu objektu. Ji tinka modeliuoti debesims, kalnams, kraštovaizdžiams fantastiniuose filmuose.
Erdvę užpildančios kreivės (1) Saugant duomenis galima sutaupyti vietos, jei sumažinamas informacijos kiekis išlaikant visus reikalavimus, pavyzdžiui, jei įmanoma trimatį objektą saugoti kaip dvimatį. Paveiksle parodyti vienmačių kelių (linijų) einančių per visus dvimatės erdvės taškus pavyzdžiai. Tai gali būti variantai, kaip numeruojami tam tikrą sritį apimančių topografinių žemėlapių lapai (viena koordinatė vietoje dviejų). Trimatėje erdvėje, padalintoje į taisyklingas gardeles, tą taip pat galima padaryti.
Erdvę užpildančios kreivės (2) Įdomi problema yra, kaip turi atrodyti kreivės, kurios užpildo visą erdvę (nors ir begalinę). Euklido erdvėje tai neįmanoma, bet kadangi galima laikyti, kad taškas yra ne taškas, o kubiukas su nykstamai mažėjančia kraštine, tai padaroma. Pareikalausime, kad: • Kreivė eitų per kiekvieną daugiamatės erdvės tašką (bijekcija). • Du taškai, kurie yra kaimynai erdvėje, būtų kaimynai ir kreivėje ir atvirkščiai. • Kreivė turi tikti bet kokiam masteliui ir likti stabili net ir labai didelėje (begalinėje) erdvėje.
Erdvę užpildančios kreivės (3) Visų sąlygų patenkinti kol kas neįmanoma, bet panašių kreivių yra (pav.). JAV surašymo biuras naudoja Peano kodus duomenų blokų adresavimui.
