vwo A Samenvatting Hoofdstuk 13

1. vwo A Samenvatting Hoofdstuk 13

2. Regels bij kansrekeningen • Somregel Hebben de gebeurtenissen G1 en G2 geen gemeenschappelijke • uitkomsten, dan is P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). • ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complementregel-gebeurtenis) • Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt • P(G1 en G2) = P(G1) ·P(G2). 13.1

3. Soorten kansberekeningen • Gunstige uitkomsten tellen • Maak een rooster of noteer systematisch de gunstige uitkomsten. • Vaasmodel gebruiken • Bij trekken zonder terugleggen bereken je kansen met combinaties. • Productregel gebruiken • Bij twee of meer onafhankelijke experimenten bereken je kansen met • de productregel. • Vuistregel Bij het nemen van een kleine steekproef uit een grote • populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten • als trekken met terugleggen. • Je gebruikt de productregel. • Binomiale verdeling • De binomiale verdeling is een speciaal geval van de productregel. • Bij een binomiaal kansexperiment voer je hetzelfde kansexperiment • een aantal keren uit, waarbij je alleen op de gebeurtenissen ‘succes’ en • ‘mislukking’ let. Hierbij is X het aantal keer succes, n het aantal keer • dat het kansexperiment wordt uitgevoerd en p de kans op succes per keer. • Notaties: P(X = k) = binompdf(n, p, k) • P(X≤ k) = binomcdf(n, p, k) 13.1

4. opgave 16 a P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) = = 0,2 P(Anton pakt rode knikker) = P(krI) + P(mrII) = ≈ 0,586 P(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw) = ≈ 0,036 P(Anton pakt twee keer rood) = P(krIkrI) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) = ≈ 0,318 b c d e 13.2

5. opgave 18 a - P(Nederlander heeft spierpijnklachten) = P(ps) + P(ps) = 0,01 · 0,7 + 0,99 · 0,2 = 0,205 Aantal = 10 000 · 0,01 · 0,7 = 70 Aantal = 10 000 · 0,205 = 2050 Er zijn 2050 personen die spierpijnlachten hebben, waarvan er 70 Parkinson hebben. P(een persoon met spierpijnklachten heeft Parkinson) = ≈ 0,034 Van de personen die spierpijnklachten hebben, heeft maar een klein deel de ziekte van Parkinson, zie vraag e. b c d e f 13.2

6. Oppervlakte berekenen opp = normalcdf(a, b, µ, σ) Neem a = –1099 als er geen linkergrens is. Grens berekenen a = invNorm(opp links, µ, σ) 13.3

7. Normale verdeling • Werkschema: aanpak bij opgaven over de normale verdeling • Schets een normaalkromme en verwerk • hierin µ, σ, l, r en opp. • Kleur het gebied dat bij de vraag hoort. • Bereken met de GR het ontbrekende getal. • Beantwoord de gestelde vraag. 13.3

8. Som en verschil van toevalsvariabelen • De som en het verschil van de normaal verdeelde toevalsvariabelen X en Y • zijn weer normaal verdeeld. • De verwachtingswaarde en de standaardafwijking van S = X + Y en V = X – Y • bereken je met • µS = µX+ µYen • respectievelijk • µV = µX– µYen • De formules voor σS en σV mag je alleen gebruiken als X en Y onafhankelijk zijn. • Voor de som S = X1 + X2 + X3 + … + Xn van n onafhankelijke toevalsvariabelen • X1, X2, …, Xn geldt • en 13.3

9. Steekproef van lengte n • Gegeven is een populatie met een normaal verdeelde toevalsvariabele X. • Bij een steekproef van lengte n uit deze populatie is • Xsom = X + X + X + … + X (in termen) normaal verdeeld met • en 13.4

10. Het steekproefgemiddelde • - wet: • Bij een normaal verdeelde toevalsvariabele X met gemiddelde µX en • standaardafwijking σX is bij steekproeflengte n het steekproefgemiddelde • normaal verdeeld met en • Bij een grote steekproef, bijvoorbeeld een steekproef met n > 1000, • zal de spreiding heel klein worden. • Het steekproefgemiddelde zal dan heel dicht bij het theoretische • gemiddelde µX liggen. • Je krijgt dus een goede schatting van µX door te berekenen voor grote • waarden van n. 13.4

11. Discrete en continu verdelingen • Bij een continu toevalsvariabele kan elke waarde tussen twee uitkomsten • aangenomen worden. • Bij een discrete toevalsvariabele worden alleen een aantal ‘losse’ waarden • aangenomen. • Bij het overstappen van een discrete toevalsvariabele X op een continu • toevalsvariabele Y moet je een continuïteitscorrectie van 0,5 toepassen: • P(X≤ k) = P(Y ≤ k + 0,5). 13.5

12. Van binomiale verdeling naar normale verdeling • binomiale verdeling • verwachtingswaarde • standaardafwijking • Voor grote n mag je de binomiale verdeling benaderen door een normale • verdeling. • De binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan voor grote n benaderd • worden door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = np en • Voorwaarde is dat np > 5 en n(1 – p) > 5. 13.5