1 / 48

BAB IV TEORI PENDUGAAN SECARA STATISTIK

BAB IV TEORI PENDUGAAN SECARA STATISTIK. 4.1. Pendugaan Parameter. Satu aspek yang penting dalam statistik inference ini adalah pendugaan (estimasi) parameter populasi atau secara singkat disebut parameter dari statistik sampel atau secara singkat sering disebut statistik.

lane-avery
Download Presentation

BAB IV TEORI PENDUGAAN SECARA STATISTIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB IVTEORI PENDUGAANSECARA STATISTIK

  2. 4.1. Pendugaan Parameter • Satu aspek yang penting dalam statistik inference ini adalah pendugaan (estimasi) parameter populasi atau secara singkat disebut parameter dari statistik sampel atau secara singkat sering disebut statistik. • Atau menduga Nilai parameter (populasi) dengan menggunakan nilai statistik ( nilai Sampel)

  3. PERBEDAAN NOTASI / LAMBANG YANG DIPERGUNAKAN :

  4. 4.2. Ciri-Ciri Penduga Yang Baik • Tidak bias (Unbias Estimator) • Konsisten • Efisien • Sufisien

  5. Penduga tidak bias (Unbias Estimator) • Penduga tidak bias jika didalam sampel random sederhana yang berulang-ulang dari suatu populasi, rata-rata atau nilai harapan (expected value) dari statistik sama dengan parameter populasi yang sesuai, atau dengan kata lain dikatakan penduga tidak bias, apabila penduga tersebut secara tepat menduga nilai parameter. • Misalnya: • Rata-rata sampel (X) = Rata-rata populasi () atau (X)=  • Proporsi sampel (p) = Proporsi Populasi (P) atau (p)= P

  6. Contoh : • Rata-rata sampel = 20 sedangkan rata-rata populasi yang diduga ternyata nilainya = 20, maka dikatakan rata-rata sampel merupakan penduga yang baik atau tidak bias. {(X)=  = 20 } • Jika digambarkan dalam bentuk grafik akan nampak sebagai berikut : (X)=  = 20

  7. 2. Penduga Konsisten • Suatu penduga dikatakan konsisten , apabila besarnya sampel semakin bertambah mendekati tidak berhingga , maka penduga tersebut akan semakin berkonsentrasi secara sempurna pada parameter yang diduga. Atau dengan kata lain Suatu penduga dikatakan konsisten bila memenuhi dua syarat sebagai berikut : • Jika ukuran sampel bertambah, penduga akan semakin mendekati parameter yang sesungguhnya. • Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga, distribusi sampling penduga akan mengempis atau menjadi suatu garis tegak lurus di atas parameter yang sesungguhnya dengan probabilitas sama dengan satu.

  8. Jika digambarkan dalam bentuk grafik akan nampak sebagai berikut : n = Tak berhingga n = Sangat besar n = besar n = Kecil P(parameter)

  9. 3. Penduga Efisien • Suatu penduga dikatakan efisien adalah penduga yang mempunyai varian terkecil diantara penduga yang tidak bias lainnya. • Sebagai contoh dapat dikemukakan penduga parameter yang terdiri dari rata-rata sampel dan median sampel, keduanya merupakan penduga yang tidak bias terhadap rata-rata populasi. • Kedua penduga statistik ini masing-masing mempunyai varians, yakni varians rata-rata dan varians median. • Varian rat-rata (mean) : 2X = 2/n • Varian median : 2med = 2/2n = 3,14159 • Efisiensi relatif (Er) : Er = 2X / 2med = 2/n / 2/2n = 2/ =0,64 atau 64% • Efisiensi relatif 64% , artinya varian rata-rata hanya 64% dari varians median, ini berarti untuk memperoleh varians yang sama, rata-rata hanya memerlukan sampel dengan n = 64 elemen. Sedangkan untuk median diperlukan sampel dengan n = 100 elemen.

  10. Bila kedua penduga tersebut digambarkan dalam diagram akan nampak sebagai berikut : Distribusi sampling nilai rata-rata Distribusi Sampling Median  = Rata-rata Populasi

  11. 4. Penduga Sufisien • Suatu penduga dikatakan sufisien apabila penduga tersebut mempunyai seluruh informasi tentang parameter yang akan diduga. Sebagai contoh bahwa rata-rata sampel adalah penduga yang sufisien terhadap rata-rata populasi, sebab rata-rata sampel tidak ada ukuran lain misalnya median atau modus, yang dapat dipergunakan sebagai penduga yang lebih baik.

  12. 4.3. Metode Menduga Harga Parameter 1. Pendugaan Interval, yaitu pendugaan harga parameter dengan harga statistik pada probabilitas tertentu, dengan menggunakan dua batas nilai 2. Pendugaan Titik, yaitu harga parameter hanya diduga dengan satu harga statistik sampelnya.

  13. 4.4. Pendugaan Harga Rata-rata Populasi () • Pendugaan Interval a. Bila Sampel Besar ( n  30 ) • Jika n  30 , maka distribusi sampling harga rata-rata dapat dianggap mendekati distribusi normal dengan rata-rata populasi () dan deviasi standar populasi ( X) = /n Dengan probabilitas tertentu atau interval keyakinan tertentu (katakanlah 95%), bahwa jika X adalah rata-rata dari sampel random dengan anggota n besar, Z = (X - ) / /n akan terletak antara – 1,96 dan 1,96 atau - 1,96 < (X - ) / /n < 1,96, dengan manipulasi aljabar, maka akan didapat interval yang memuat  sebagai berikut : • -1,96 /n <X -  < 1,96 /n • X - 1,96 /n <  < X + 1,96 /n • Untuk dapat menghitung interval keyakinan dengan rumus tersebut haruslah diketahui deviasi standar populasinya (). Umumnya deviasi standar populasi () tidak diketahui, oleh karena pada kebanyakan penelitian hanya mendasarkan pada sampel. Agar interval keyakinan itu dapat dihitung maka  dapat diganti dengan dengan harga penduganya yakni deviasi standar sampelnya (s). Dengan demikian “interval keyakinan 95% untuk  menjadi : • X - 1,96 s/n <  < X + 1,96 s/n

  14. Secara umum dapat dinyatakan dengan rumus : X- Z/2 s/n < < X + Z/2 s/n • Diamana : • X- Z/2 s/n = Lower confidence (batas keyakinan bawah) • X+ Z/2 s/n = upper confidence (batas keyakinan atas) • Contoh Penerapannya • Suatu sampel survei yang dilaksanakan di Seberang Ulu Palembang tahun 2000 menunjukkan bahwa dari 300 keluarga pengeluaran rata-rata untuk pembelian pakaian anak-anak per tahun Rp.394.300,- dengan standar deviasi Rp.41.500 • Buatlah interval keyakinan 99% untuk rata-rata pengeluaran pembelian pakaian anak-anak dari seluruh keluarga di seberang ulu palembang. • Jawab : • n = 300 , X = Rp.394.300,- s = Rp.41.500,-

  15. Jawab : • n = 300 , X = Rp.394.300,- s = Rp.41.500,- • Interval keyakinan 99% untuk rata-rata pengeluaran pembelian pakaian anak-anak dari seluruh keluarga di seberang ulu palembang

  16. Catatan : Angka 2,58 didapat dari tabel kurva normal dengan cara mencari posisi 0,5 - 0.005 = 0,4950 Atau 0,99/2 = 0,4950 . jika tidak ada cari angka yang paling dekat dengan angka tersebut.Dalam kasus ini 2,58  Z -Z 0 - 2,58 2,58 Z = (X -  ) / (s / n) Dengan interval keyakinan 99% - 2,58 < (X -  ) / (s / n) < 2,58

  17. Rumus : X - Z/2 (s / n) <  < X + Z/2 (s / n) • 394.300 - 2,58( 41.500 / 300) <  < 394.300 + 2,58( 41.500 / 300) • 394.300 - 6181,7<  < 394.300 + 6181,7 • 388.118,3 <  < 400.481,7 • Jadi pengeluaran rata-rata seluruh keluarga diseberang ulu palembang untuk pembelian pakaian anak-anak dalam setahun berkisar antara Rp 388.118,3 hingga Rp.400.481,7 akan benar 99% dari keseluruhan waktu jika pendugaan sedemikian itu dilakukan secara berulang-ulang dan dalam cara yang sama. Dapat dinyakan dengan : • P(388.118,3 <  < 400.481,7 ) = 0,99 • Besarnya confidence coeffficient () yang akan digunakan dalam pendugaan akan ditentukan sendiri oleh yang ingin menghitung pendugaan harga-harga parameter. Dasar pertimbangan dalam memilihnya adalah : dengan risiko kesalahan yang cukup kecil masih bisa didapatkan interval yang relatif cukup kecil terhadap .

  18. Bila Sampel Kecil ( n < 30 ) • Untuk sampel random kecil, pendugaan mean populasi dilakukan dengan distribusi t . Jika sampel-sampel randon dengan n< 30 maka masing-masing diambil dari suatu populasi normal, dan apabila untuk masing-masing sampel dihitung haga t dengan rumus : • t = (X - ) / s/n • Pendugaan mean populasi dengan sampel kecil secara umum dapat digunakan rumus sebagai berikut : • X – t(/2, n-1) s/n <  < X + t(/2, n-1) s/n • Dimana n-1 = degree of freedom (derajat bebas) • Contoh penerapannya adalah sebagai berikut : • Untuk mengetahui waktu rata-rata yang diperlukan guna merakit suatu alat mekanis tertentu, telah dilakukan pehitungan berdsarkan sampel 6 perakitan dengan waktu masing-masing 13, 14, 12, 16, 12, dan 11 menit. Buatlah interval konfidensi 95% untuk waktu rata-rata yang sesunggunhnya dengan pendugaan interval

  19. Jawab: • X = 1/n Xi = 1/6 ( 13 + 14 + 12 + 16 + 12 + 11) = 1/6 (78) = 13 • S =  ( X - X)2/ (n –1) = 1,79 • Interval konfindensi 95%, maka  = 1- 0,95 = 0.05 • t/2:n-1 = t 0,025 ; 5 = 2,571(lihat tabel nilai t) • Pendugaan Interval : • X - t/2:n-1. s/ n <  < X + t/2:n-1. s/ n • 13 – 2,571 x 1,79/6 <  <13 + 2,571 x 1,79/6 • 13 - 1,88 <  < 13 + 1,88 • 11,12 menit <  < 14,88 menit • jadi rata-rata waktu yang sesungguhnya untuk merakit suatu alat mekanis tersebut berkisar antara 11,12 menit hingga 14,88 menit pada tingkat keyakinan 95%

  20. 2. Pendugaan Titik • Bila sampel besar (n  30) • Jika X digunakan sebagai pendugaan titik dari Rata-rata populasi ( ), maka besarnya error (kesalahan dalam pendugaan ini adalah perbedaan antara  dengan X, dinyatakan dengan X - . • Bila digunakan confidence coefficient 99% , maka : • - 2,58 /n < Error < 2,58 /n • Dengan probabilitas 99% kesalahan itu akan terletak antara - 2,58 /n hingga 2,58 /n atau dengan kata lain besarnya kesalahan itu kurang dari 2,58 /n. Oleh karena umumnya  tidak diketahui maka standar deviasi sampel (s) dapat digunakan, sehingga dapat dinyatakan keslahan itu kurang dari 2,58 s/n. • Dari contoh diatas, X = 394.300 digunakan sebagai penduga titik dari , maka besarnya kesalahan dalam pendugaan titik itu adalah lebih kecil 2,58 s/n = 2,58 (41.500) / 300.= 6181,7

  21. b. Jika Sampel Kecil ( n < 30 ) • Bila digunakan pendugaan titik, besarnya error akan lebih kecil : • t/2:n-1. s/ n • Dari contoh diatas X = 13 digunakan sebagai penduga titik, rata-rata populasi (), maka besarnya kesalahan dalam pendugaan titik itu adalah lebih kecil t/2:n-1. s/ n = 2,571 x 1,79/6 = 1,88

  22. Menentukan besarnya sampel (n) • Berdasarkan rumus menghitung besarnya error tersebutdapat digunakan untuk menentukan besarnya sampel random yang harus diambil untuk mendapatkan hasil dengan tingkat ketepatan tertntu ( accuracy). • Besarnya sampel dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : • n = [ Z/2 .  / Error ]2 Untuk lebih jelasnya dapat diikuti contoh berikut ini : • Misalkan diantara suatu produk yang dibuat melalui suatu proses produksi tertentu memiliki distribusi normal dengan standar deviasi () = 0,5, berapa besarnya sampel yang harus diambil agar 95% diyakini bahwa rata-rata sampelnya tidak berselisih dari rata-rata populasinya lebih dari 0,1. • Penyelesaiannya : • Standar deviasi () = 0,5 • Error = 0,1 • Z0,025 = 1,96 • n = [ Z/2 .  / Error ]2 • n = [ 1,96 x 0,5/ 0,1 ]2= 96,04 • Maka besarnya sampel yang harus diambil adalah sebanyak 96.

  23. 4.5. Pendugaan Harga Proporsi ( P ) Didalam menduga harga proporsi populasi (P), perlu dipikirkan adanya distribusi sampling harga proporsi. Jika populasi sangat besar dan proporsi P tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka distribusi sampling harga proporsi ( p = x/n) akan mendekati distribusi normal dan mempunyai rara-rata sama dengan proporsi populasinya ( p = P ) dan mempunyai deviasi standar (standard Error of the proportion) =  P(1-P)/ n

  24. Pendugaan Interval Untuk P Untuk menduga proporsi populasi (P) dapat digunakan rumus sebagai berikut : p - Z/2  P(1-P) / n < P < p + Z/2  P(1-P) / n Oleh karena P tidak diketahui, maka dapat diganti dengan harga penduganya, yakni proporsi sampelnya = p = x/n Secara umum dengan interval keyakinan (1 -  ) rumus tersebut dapat dinyatakan p - Z/2 p(1-p) / n < P < p + Z/2 p(1-p) / n

  25. Contoh penerapannya: • Selama tahun 2000, 60 dari sampel random sebanyak 100 angkatan kerja dijumpai sedang menganggur. Buatlah interval keyakinan proporsi penganggur didaerah itu dengan menggunakan tingkat keyakinan 90% • Penyelesaiannya : • Diketahui : n = 100 x = 60 p = x/n = 60/100 = 0,6 pada confidence coefficient 90%, maka nilai Z/2 = Z0,05 = 1,64 • p - Z/2 p(1-p) / n < P < p + Z/2 p(1-p) / n • 0,6 – 1,64 0,6(1-0,6 )/ 100 < P < 0,6 +1,64 0,6(1-0,6) / 100 • 0,6 – 1,64(0,049) < P < 0,06 +1,64(0,049) • 0,6 – 0,08 < P < 0,6 +0,08 • 0, 52 < P < 0,68 • Dengan interval keyakinan 90% proporsi populasinya berkisar antara 52% hingga 68%

  26. b. Pendugaan Titik Untuk P • Apabila p=x/n digunakan untuk menduga P, maka dengan probabilitas tertentu besarnya error adalah lebih kecil dari : • Z/2 p(1-p) / n • Dari contoh diatas , bila digunakan pendugaan titik besarnya kesalahan adalah kurang dari : • 1,64 0,6(1-0,6) / 100 = 0,08

  27. Menentukan besarnya Sampel • Untuk menentukan besarnya sampel dapat digunakan rumus sebagai berikut : • n = ¼ [ Z/2 /Error]2 • Contoh Penerapannya: • Jika kita ingin memperkirakan proporsi masyarakat yang meng asuransikan rumahnya untuk menghindari resiko kebakaran, Berapa besarnya sampel yang diperlukan apabila dengan probabilitas 95% kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 9%. • Penyelesaian : • n = ¼ [ Z/2 /Error]2 • n = ¼ [ 1,96/0,09]2 = 118,57 • Jadi sampel yang harus diambil sebanyak 119 keluarga

  28. 4.6. Pendugaan Harga Perbedaan Dua Mean :( 1-2) • a. Sampel Besar ( n1, n2 > 30 ) • Pendugaan Interval • Jika X1 dan X2 adalah dua rata-rata sampel dari dua populasi dengan distribusi sampling masing-masing mendekati normal, maka pendugaan interval pebedaan dua mean populasi ( 1-2) yang merupakan sumber pengambilan sampel dirumuskan sebagai berikut : • (X1-X2) - Z/2 12/n1 + 22/n2 <1-2< (X1-X2) + Z/2 12/n1 + 22/n2 • Apabila 1 dan 2 tidak diketahui dapat digunakan deviasi standar sampelnya yakni s1 dan s2, maka rumus diatas dapat dirubah menjadi sebagai beikut : • (X1-X2) - Z/2  S12/n1 + S22/n2 <1-2< (X1-X2) + Z/2  S12/n1 + S22/n2

  29. Contoh Penerapannya : • Suatu sampel random yang terdiri dari 100 pedagang di Pasar 16 ilir Palembang menunjukkan rata-rata keuntungan Rp.15.900,- dengan deviasi standar Rp.190,- Sedangkan sampel random lain yang terdiri dari 120 pedagang di Pasar lemabang Palembang menunjukkan rata-rata keuntungan Rp.15.700,- dengan deviasi sandar Rp.165,-. Hitunglah confidence interval 95% untuk perbedaan rata-rata keuntungan pedagang yang berada di kedua pasar itu ? • Penyelesaian : • Sampel di Pasar 16 Ilir • n1 = 100 , X1 = Rp.15.900 ,S1 = Rp190,- • Sampel di Pasar Lemabang • n2 = 120X2 = Rp.15.700 S2 = Rp165,- • (X1-X2) - Z/2  S12/n1 + S22/n2 <1-2< (X1-X2) + Z/2  S12/n1 + S22/n2 • (15900-15700) – 1,96 1902/100 + 1652/120 <1-2<(15900-15700) + 1,96 1902/100 + 1652/120 • (200) – 1,96.(24,25) <1-2<(200) + 1,96.(24,25) • (200) – 47,53 <1-2<(200) + 47,53 • 152,47 <1-2<247,53 • Jadi perbedaan rata-rata keuntungan pedagang-pedagang yang ada di kedua pasar itu adalah berkisar antara Rp. 152,47 hingga Rp.247,53

  30. 2. Pendugaan Titik • Jika (X1 - X2 ) digunakan untuk pendugaan titik 1-2, maka dengan interval keyakinan (1 - ) besarnya error adalah lebih kecil dari : • Z/2  S12/n1 + S22/n2 • Dari contoh diatas besarnya error lebih kecil dari • 1,96 1902/100 + 1652/120 = 47,53

  31. b. Sampel Kecil ( n1,n2, < 30 ) • Jika sampel random n < 30 diambil dari dua populasi normal, dan apabila masing-masing dihitung nilai t dengan rumus : • t = {(x1-x2) – (1- 2)} / [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 –2)] [1/n1+1n2] • maka didatkan distribusi nilai t dengan degre of freedom ( n1 + n2 –2 )

  32. Pendugaan perbedaan dua meannya adalah sebagai beruikut : • Pendugaan Interval • (x1-x2) – t(/2; n1 + n2 –2 ) [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 –2)] [1/n1+1n2] < 1- 2 <(x1-x2)+t(/2; n1+n2–2)[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22}/(n1 +n2 –2)] [1/n1+1n2]

  33. Contoh: • Suatu sampel random dengan dengan 10 orang eskportir Kopi di Palembang menunjukkan volume Ekspor rata-rata 1.000 ton, dengan deviasi standar 80 ton. Sedangkan sampel random lain dengan 6 orang eksportir Kopi di Bengkulu, menunjukkan volume ekspor rata-rata 900 ton dengan standar deviasi 90 ton. Hitunglah confidence interval 95% untuk perbedaan rata-rata volume ekspor dari kedua daerah itu ? • Jawab :

  34. (X1 - X2) =100 d.f. = 10 + 6 – 2 = 14 t(0,025; 14) = 2,145 (x1-x2) – t(/2; n1 + n2 –2 ) [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 –2)] [1/n1+1/n2] < 1- 2 <(x1-x2)+t(/2; n1+n2–2)[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22}/(n1 +n2–2)] [1/n1+1/n2] 100 – 21,145 {9(80)2 +5(90)2} /(10+6–2)] [1/10+1/6]< 1- 2 <100+21,145 {9(80)2 +5(90)2} /(10+6–2)] [1/10+1/6] 100 – 92,72 < 1- 2 <100 + 92,72 7,28 < 1- 2 < 192,72 Perbedaan rata-rata volume ekspor di kedua daerah diatas berkisar antara 7,28 ton hingga 192,72 ton

  35. b. Pendugaan Titik • Jika (X1 - X2 ) digunakan untuk pendugaan titik 1-2, maka dengan interval keyakinan (1 - ) besarnya error adalah lebih kecil dari : • t(/2; n1+n2–2)[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22}/(n1 +n2–2)] [1/n1+1/n2] • Dari contoh diatas besarnya error lebih kecil dari • 1,96 1902/100 + 1652/120 = 47,53

  36. b. Sampel Kecil ( n1,n2, < 30 ) • Jika sampel random n < 30 diambil dari dua populasi normal, dan apabila masing-masing dihitung nilai t dengan rumus : • t = {(x1-x2) – (1- 2)} / [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 –2)] [1/n1+1n2] • maka didatkan distribusi nilai t dengan degre of freedom ( n1 + n2 –2 )

  37. Pendugaan perbedaan dua meannya adalah sebagai beruikut : • Pendugaan Interval • (x1-x2) - t(/2; n1 + n2 –2 )[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 – 2)] [1/n1+1/n2] < 1- 2 < (x1-x2) + t(/2; n1 + n2 –2 ) [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1+n2 – 2)] [1/n1+1/n2] • Atau • 1- 2 = (x1-x2) ± t(/2; n1 + n2 –2 ) [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 – 2)] [1/n1+1/n2]

  38. Contoh: • Suatu sampel random dengan dengan 10 orang eskportir Kopi di Palembang menunjukkan volume Ekspor rata-rata 1.000 ton, dengan deviasi standar 80 ton. Sedangkan sampel random lain dengan 6 orang eksportir Kopi di Bengkulu, menunjukkan volume ekspor rata-rata 900 ton dengan standar deviasi 90 ton. Hitunglah confidence interval 95% untuk perbedaan rata-rata volume ekspor dari kedua daerah itu ? • Jawab :

  39. (x1-x2) – t(/2; n1 + n2 –2 ) [{(n1-1)S12 +(n2-1)S22} / (n1 +n2 –2)] [1/n1+1/n2] < 1- 2 < (x1-x2)+t(/2; n1+n2–2)[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22}/(n1 +n2–2)] [1/n1+1/n2] 100 – 21,145 {9(80)2 +5(90)2} /(10+6–2)] [1/10+1/6] < 1- 2 < 100+21,145 {9(80)2 +5(90)2} /(10+6–2)] [1/10+1/6] 100 – 92,72 < 1- 2 <100 + 92,72 7,28 < 1- 2 < 192,72 Perbedaan rata-rata volume ekspor di kedua daerah diatas berkisar antara 7,28 ton hingga 192,72 ton

  40. Pendugaan Titik • Jika (X1 - X2 ) digunakan untuk pendugaan titik 1-2, maka dengan interval keyakinan (1 - ) besarnya error adalah lebih kecil dari : • t(/2; n1+n2–2)[{(n1-1)S12 +(n2-1)S22}/(n1 +n2–2)] [1/n1+1/n2] • Dari contoh diatas besarnya error lebih kecil dari • 21,145 {9(80)2 +5(90)2} /(10+6–2)] [1/10+1/6] = 92,72

  41. 4.7. Pendugaan Harga Perbedaan Dua Proporsi Populasi (P1-P2) • Pendugaan Interval • (p1-p2) - Z/2 P1(1-P1)/n1 + P2(1-P2)/n2 < P1 –P2 <(p1-p2) + Z/2 P1(1-P1)/n1 + P2(1-P2)/n2 • Oleh karena P1 dan P2 tidak diketahui, maka didalam menghitung deviasi standar dari distribusi sampling harga perbedaan dua proporsi , dapat digunakan proporsi sampelnya p1 dan p2 atau ( x1/n1 dan x2/n2 ) dengan interval keyakinan (1 -  ) dapat dirumuskan sebagai berikut : • (p1-p2) - Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 < P1 –P2 < (p1-p2) + Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 • atau dapat pula ditulis sebagai berikut : • P1 –P2 = (p1-p2)  Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2

  42. Contoh Penerapannya: • Dari sampel random sebanyak 400 ibu rumah tangga di Kota Lahat 240 diantaranya lebih menyukai sabun Mandi Merk “Harum” dari pada merk lainnya. Sampel random lainnya dikota Muara Enim sebanyak 200 ibu rumah tangga diketahui 80 diantaranya lebih menyukai sabun mandi merk “harum” dari pada merk lainnya. Estimasikan perbedaan proporsi ibu rumah tangga yang lebih menyukai sabun mandi merk “harum” dari kedua kota tersebut. Gunakan interval keyakinan (konfidensi) 95%

  43. Jawab : • Sampel dikota lahatSampel di kota Muara Enim • n1 = 400 n2 = 200 • X1 = 240 , X2= 80 • p1=X1/n1 = 240/400 = 0,6 p2 = X2/n2 = 80/200 = 0,40 • Tingkat keyakinan 95%,  = 1- 95% = 5% = 0,05 • (p1-p2) - Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 < P1 –P2 < (p1-p2) + Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 • 0,20 – 1,96 ( 0,042) < P1 – P2 < 0,20 + 1,96 ( 0,042) • 0,20 – 0,08 < P1 – P2 < 0,20 + 0,08 • 0,12 < P1 – P2 < 0,28 • Jadi perbedan proporsi penggunaan sabun mandi merk “harum” di kedua kota lahat dan Muara Enim berkisar antara 12% sampai 28% pada tingkat keyakinan sebesar 95%.

  44. Pendugaan Titik • Jika (p1-p2) digunakan sebagai pendugaan titik untuk P1-P2 maka dengan interval keyakinan (1-  ) besarnya error adalah lebih kecil dari : • Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 • Dari contoh diatas, besarnya error adalah : • Z/2 p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2 • 1,96 0,6 (1-0,6) /400 + 0,4( 1 – 0,4) / 200 = 0,08

  45. 4.8. Pendugaan Harga Deviasi Standar Populasi ( ) • Untuk menduga  harus dipahmi terlebih dahulu adanya disrtibusi sampling harga deviasi standar dengan sifat-sifatnya. Apabila populasinya normal dan sampelnya besar, distribusi sampling harga S dianggap mendekati distribusi dengan mean =  dan diviasi standar = /2n • Secara umum pendugaan harga deviasi standar Populasi : • S - Z/2 /2n <  < S + Z/2 /2n • Atau • (S) / (1+ Z/2 /2n) <  < (S) / (1 - Z/2 /2n)

  46. Contoh : • Suatu sampel ramdom dengan 50 industri kecil disuatu daerah mempunyai piutang rata-rata Rp.2.400.000,- dan deviasi standar Rp.320.000,- Hitunglah confidence interval 95% untuk , yaitu deviasi standar piutang semua industri kecil di daerah itu ?

  47. Jawab : • S = 320.000 n = 50  = 1 – 95% = 5% Z/2 = 0,025 = 1,96 • (S) / (1+ Z/2 /2n) <  < (S) / (1 - Z/2 /2n) • (320.000) / (1+ 1,96 /2x50) <  < (320.000) / (1 – 1,96 /2x50) • 320.000 /1,196 <  < 320.000/ 0,804 • 267.558,53 <  < 398.009,95 • Deviasi standar populasi berkisar antara Rp. 267.558,53 hingga Rp. 398.009,95

  48. TERIMA KASIH

More Related