Formules d’aires des solides

1. Formules d’aires des solides

2. Calculer l’aire totale d’un solide, c’est calculer l’aire de tous les polygones ou cercles composant le solide. Le calcul se fait en trois étapes: - on calcule l’aire des bases ou de la base; - on calcule l’aire des faces latérales; - on additionne le tout.

3. l h h h h l l L L L l L Aire totale des prismes Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme. largeur hauteur Longueur Les bases Les faces latérales On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et en faire la somme. Cependant, il existe une formule plus rapide.

4. L h l L l Aire totale des prismes largeur hauteur Longueur 1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un rectangle donc A = L X l ; il y a 2 bases donc l’aire des deux bases : 2 X L X l . 2) Calculer l’aire latérale: l’ensemble des rectangles forment un grand rectangle. La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base. donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ; on multiplie alors par la hauteur . Aire latérale = 2 ( L + l ) X h Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + l’aire latérale Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur

5. h l L 2 X n c a 2 h h h h c1 c3 2 X b X h c2 2 Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 2 X L x l 2 ( L + l ) h + Aire totale : n c h + n : nombre de côtés ( ici 6 ) c : mesure d’un côté a : mesure de l’apothème Aire totale : ( c1 + c2 + c3 ) h + Attention : Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle et la hauteur du prisme. Remarque: La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.

6. Exemple Calcule l’aire totale de ce prisme. 3 cm 5 cm 4 cm Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h Aire totale : 2 X 4 X 5 + 2 ( 4 + 5 ) X 3 Aire totale : 40 + 54 Aire totale : 94 cm2

7. 3 cm 5 cm Calcule l’aire latérale de ce prisme. 4 cm Aire latérale : 2 ( 4 + 5 ) X 3 Remarque: Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale. Prends le temps de lire et de comprendre la situation. Exemple : Tu n’as pas besoin de toute la formule. Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire latérale : Aire totale : 2 X L x l 2 ( L + l ) X h + Aire latérale : 54 Aire latérale : 54 cm2

8. Aire totale du cube c Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés. La formule pour calculer son aire totale est simple. Aire totale : 6 c2 car il est composé de 6 carrés Aire latérale : 4 c2 car l’aire latérale est composée de 4 carrés. Remarque : On peut aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.

9. 12 m 4 m 5 m 2 X n c a 2 Aire totale : n c h + Aire totale : 2 X 6 X 5 X 4 6 X 5 X 12 + 2 360 120 + Aire totale : Exemple Calcule l’aire totale de ce prisme. Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 480 m2

10. 4,8 cm Aire totale : ( c1 + c2 + c3 ) h + Aire totale : ( 6 + 8 + 10) X 9 2 X 10 X 4,8 + 2 2 X b X h 2 Exemple 10 cm Calcule l’aire totale de ce prisme. 8 cm 6 cm 9 cm Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Aire totale : 48 + 216 Aire totale : 264 cm2

11. On doit calculer l’exposant avant de multiplier par le coefficient. Exemple Calcule l’aire totale de ce cube. Aire totale d’un cube : 6c2 Aire totale du cube : 6 X 102 Aire totale du cube : 6 X 100 10 dm Aire totale du cube : 600 dm2 Attention Priorité d’opérations Calcule l’aire latérale de ce cube. Aire latérale d’un cube : 4c2 Aire latérale du cube : 4 X 102 Aire latérale du cube : 400 dm2

12. L’apothème de la pyramide: Hauteur Demi-côté Aire totale des pyramides Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants. La hauteur d’une pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base. L’apothème est une ligne joignant le sommet d’une pyramide au milieu d’un des côtés de la base. 3 Exemple 6 Comme la hauteur arrive au centre de la base, la mesure du demi-côté vaut la moitié de la mesure du côté.

13. a c b La relation de Pythagore nous sera donc très utile. c2 = a2 + b2

14. L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle. Aire latérale = 4 X c X a 2 Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2 Aire totale des pyramides Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide. 1) Calculer l’aire de la base : ici, la base est un carré donc c2 2) Calculer l’aire latérale: la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base. On calcule le périmètre de la base ; ici, c’est un carré donc 4 c on multiplie par l’apothème et on divise par 2 car ce sont des triangles.

15. Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème 2 Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème 2 a apothème Aire totale de la pyramide : + nc X apothème nca 2 2 droite à base hexagonale Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème droite à base carrée 2 n : nombre de côtés c : mesure d’un côté Attention: Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.

16. Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème 2 Aire totale de la pyramide : 62 + 4 X 6 X 5 2 Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. 5 cm 6 cm 6 cm 36 + 60 = 96 cm2

17. c a b Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. ? On ne connaît pas l’apothème donc 8 m 1) Déterminer le demi-côté: 6 m 6 m 12 m 12 m 2) Déterminer l’apothème: c2 = a2 + b2 c2 = 82 + 62 c2 = 100 c = 10 m

18. Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide : c2 + 4ca 2 Aire totale de la pyramide : 122 + 4 X 12 X 10 2 Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. 10 m 8 m 12 m 12 m 144 + 240 = 384 m2

19. c = 7 m a hexagone = 4 m a pyramide = 12 m Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X a 2 apothème de la pyramide ncap ncah Aire totale de la pyramide : + 2 2 apothème de l’hexagone 6 X 7 X 4 6 X 7 X 12 Aire totale de la pyramide : + 2 2 Exemple Calcule l’aire totale de cette pyramide. Aire totale de la pyramide : 84 m2 + 252 m2 = 336 m2

20. h Aire totale d’un cylindre Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre. En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle. 1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un cercle donc πr2. il y a 2 bases donc 2 πr2. 2) Calculer l’aire latérale : la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre; la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle. Aire latérale : 2πr X h Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh

21. Calcule l’aire totale de ce cylindre. 10 cm 5 cm Exemple Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh Aire totale d’un cylindre : 2 X π X 52 + 2 X π X 5 X 10 ≈ 471,24 cm2 Aire totale d’un cylindre ≈ 157,08 + 314,16

22. Hauteur Rayon L’aire totale d’un cône Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants. La hauteur d’un cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle. L’apothème est une ligne joignant le sommet d’un cône à un point de la circonférence de la base. Remarque: On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.

23. a c b La relation de Pythagore nous sera donc très utile. c2 = a2 + b2

24. Aire totale d’un cône On pourrait comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une infinité de segments avec une infinité de faces latérales. La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc légèrement à celle de la pyramide.

25. Circonférence de la base X apothème 2 Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème 2 2 X π X r X a 2 2 π r a Aire totale d’un cône : π r2 + 2 Aire totale d’un cône Aire totale d’un cône : + Aire latérale Aire de la base + Aire totale d’un cône : Aire de la base Aire totale d’un cône : π X r2 +

26. Calcule l’aire totale de ce cône. 5 cm 3 cm Aire totale d’un cône : π r2 + 2 X π X 3 X 5 Aire totale de ce cône : π X 32 + 2 47,12 28,27 + Aire totale de ce cône ≈ 2 π r a 2 Exemple : ≈ 75,39 cm2

27. c a b Exemple Calcule l’aire totale de ce cône. ? On ne connaît pas l’apothème donc 1) Rayon : 9 m 12 m 2) Déterminer l’apothème: c2 = a2 + b2 9 m c2 = 122 + 92 c2 = 144 + 81 c2 = 225 c = 15 m

28. Aire totale d’un cône : π r2 + 2 X π X 9 X 15 Aire totale de ce cône : π X 92 + 2 424,12 254,47 + Aire totale de ce cône ≈ 2 π r a 2 Calcule l’aire totale de ce cône. 15 m 12 m 9 m ≈ 678,59 m2

29. Aire d’une sphère Une sphère n’a pas de développement. Cependant, si on défaisait sa surface, on obtiendrait 4 cercles. Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule : A = πr2 et que la sphère est composée de 4 cercles, alors 4 π r2 Aire d’une sphère =

30. Exemple : Calcule l’aire de la sphère suivante : A sphère = 4 π r2 r = 5 dm A sphère = 4 X π X 52 A sphère ≈ 314,16 dm2

31. Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème 2πr2 + 2πrh Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème 2 2 2 π r a π r2 + 2 4 π r2 Aire d’une sphère = En résumé Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h Ces deux formules dépendent de la forme des bases. Aire latérale du cube : 4 c2 Aire totale du cube : 6 c2