DISEQUAZIONI

1. Proprietà Definizione Disequazioni di primo grado DISEQUAZIONI Disequazioni di secondo grado Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni Frazionarie Disequazioni contenenti valori assoluti Disequazioni Irrazionali Titoli di coda

2. Definizione di disequazione • Una diseguaglianza in cui compare un’incognita si chiama disequazione (in un’incognita). • Se in una disequazione si sostituisce un numero al posto dell’incognita, la disequazione si trasforma in una diseguaglianza, che , se ha senso, può essere vera o falsa. Si dice che un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo all’incognita, rende la disuguaglianza vera. *in alcuni casi tale intervallo può ridursi a un unico elemento.

3. Proprietà • Primo principio di equivalenza della disequazione. Se a entrambi i membri di una disequazione si somma o sottrae uno stesso numero, si ottiene una disequazione equivalente٭ a quella data. • Secondo principio di equivalenza delle disequazione. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente alla data. • Terzo principio di equivalenza delle disequazione. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Es. Applichiamo il primo principio di equivalenza sommando 3 a entrambi i membri: 5x + 3 > 2x → 5x – 3 + 3 > 2x + 3 → 5x > 2x + 3 Applicando il secondo principio di equivalenza dividendo per 3 entrambi i membri: 3x > 12 → x > 4 Applichiamo ora il terzo principio di equivalenza dividendo entrambi i membri per il numero negativo -7 e cambiando quindi il verso della disequazione: -7x ≥ 42→ x ≤ -6 *due disequazione si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

4. Disequazioni di primo grado • Risolvere una disequazione significa trovare i valori dell’incognita per i quali la disequazione si trasforma in una diseguaglianza vera, ossia significa determinare l’insieme delle soluzioni. • Nel polinomio P(x)>0 il grado della disequazione dipende dal grado del polinomio P(x) rispetto alla lettera x. • Per risolvere una disequazione intera di primo grado si opera nel seguente modo: • Si svolgono eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se questi sono presenti. • Si trasportano tutti i monomi contenenti l’incognita al primo membro e tutte le costanti (termini noti) al secondo membro, poi si riducono i termini simili. La disequazione si riduce così a queste forme: ax>b , ax<b , ax≥b , ax≤b . • Se il coefficiente dell’incognita è diverso da zero, si dividono entrambi i membri della disequazione per tale coefficiente, ricordando che se esso è negativo, si deve cambiare il verso e il simbolo di disuguaglianza. Se invece il coefficiente dell’incognita è zero qualsiasi numero si sostituisca al posto dell’incognita il primo membro assume il valore di 0, perciò la disequazione si riduce ad una disuguaglianza che vero o falsa indipendentemente dal valore che si attribuisce all’incognita. Es. Risolvere la disequazione: Liberiamo la disequazione dai denominatori e successivamente trasportiamo al membro sinistro i termini contenenti x e al membro destro i termini noti: Riducendo quindi i termini simili dividiamo entrambi i membri per -7 cambiando il verso del simbolo di diseguaglianza:

5. Disequazioni Frazionarie • Una disequazione in cui l’incognita compare al denominatore di qualche frazione si dice frazionaria. • Per risolvere tali tipi di disequazioni: • Se il secondo membro della disequazione non è zero, si trasportano tutti i termini al primo membro in modo che al secondo membro compaia solo lo zero. • Si cerca di scrivere l’espressione al primo membro come prodotto di polinomi di primo grado in x, oppure come un’unica frazione, avente per numeratore e denominatore polinomio di primo grado in x, o prodotti di tali polinomi. • Si studia il segno di ciascuno dei polinomi di primo grado prima determinati • Si riporta il segno del denominatore e numeratore ricordando che la linea continua indica i valori positivi e la tratteggiata valori negativi. • La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni che corrispondono al verso della disequazione, tenendo presente che in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il numeratore si annulla l’intera espressione (purché per tale valore non si annulli anche il denominatore) e in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il denominatore l’espressione perde senso e con essa anche la disequazione. • Risolvere una disequazione frazionaria

6. Es. Per risolver le seguente disequazione frazionaria: Trasportiamo tutti i termini al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore Ora studiamo il segno del numeratore e del denominatore risolvendo la disequazione che si ottiene ponendo ciascun termine maggiore a zero: Rappresentiamo ora il segno del numeratore su due linee parallele, tratteggiate in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini, N e D, è negativo e continua in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini è positivo. Sulla terza linea rappresentiamo il segno della frazione. In quanto il segno è positivo in questo caso prenderemo i valori per i quali la disequazione è positiva ovvero 1 ________________ _____ _ _ _ _ _ _ _ __________ _ _ _ _____ _ _ _ ______ + - + N D

7. Disequazioni contenenti valori assoluti Prima di affrontare le disequazioni con valori assoluti chiariamo il concetto di valore assoluto o modulo. Il valore assoluto di x, un generico numero reale, è: Ad esempio se è x=+2>0 sarà |+2|=2; se invece è x=-2<0 sarà |-2|=-(-2)=2. Se poi x=0 sarà |0|=0. In sostanza, la definizione data implica che qualsiasi numero diverso da zero ha valore assoluto positivo|x|>0 per x≠0. In generale sarà Sempre dalla definizione data risulta che due numeri reali avranno lo stesso valore assoluto se sono uguali o opposti. Perciò possiamo iniziare con un esempio. Es. Risolvere la disequazione Come sappiamo la quantità dentro il valore assoluto potrebbe essere sia negativa che positiva, perciò poniamo il valore assoluto un volta maggiore a zero e una volta minore. Così lo dividiamo in due sistemi, uno per cui il valore assoluto è negativo e uno per cui lo stesso è positivo. L’unione dei due sistemi determina, poi, la soluzione del valore assoluto. In alcune applicazioni capita di dover risolvere disequazioni del tipo |f(x)|<k oppure |f(x)|>k

8. Disequazioni del tipo • Da |f(x)|<k si deduce –k<f(x)<k. Ricordando la definizione di valore assoluto Infatti, la disequazione |f(x)|<k, equivale a: Quindi la disequazione è verificata per cioè Riassumendo Si noti che risolvere la relazione –k<f(x)<k equivale a risolvere il sistema Es. Sia da risolvere la disequazione Essa equivale a Che riducendo a forma normale

9. Disequazioni del tipo • Da |f(x)|>k si deduce f(x)<-k V f(x)>k. Infatti, la disequazione |f(x)|>k, dà luogo ai due sistemi Quindi la disequazione è verificata per Riassumendo Es. Risolvere la disequazione Equivale a Cioè, risolvendo,

10. Disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado ad una incognita è una disequazione riducibile ad una di queste forme ( forme canoniche): Per capire come risolvere una disequazione di secondo grado è necessario studiare il segno del trinomio di secondo grado. Consideriamo la funzione quadratica ossia il trinomio di secondo grado Dove x è la variabile reale e i coefficienti a, b, c sono numeri reali assegnati. Le radici del trinomio sono le soluzioni reali, se esistono, dell’equazione ax2+bx+c=0 e si indicano con x1 e x2 e, convenzionalmente, quando sono distinte x1<x2. Queste rappresentano gli unici punti in cui il trinomio si annulla, infatti sostituendo alla x un valore diverso da quello delle radici il trinomio assume un valore positivo o negativo. L’intervallo (x1; x2) è detto intervallo delle radici. Si dice che un numero c è interno all’intervallo delle radici se x1<c<x2; si dice invece che il numero c è esterno all’intervallo se è c<x1 oppure c>x2. Il discriminante dell’equazione, cioè l’espressione ∆=b2-4ac è anche il discriminante del trinomio.

11. Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante positivo, e quindi esistono due soluzioni reali e distinte (x1<x2), è noto che ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Analizziamo ora il caso in cui sostituiamo alla x valori esterni all’intervallo delle radici e quello in cui sostituiamo invece valori interni all’intervallo delle radici. Nel primo caso possiamo avere valori esterni all’intervallo delle radici per x>x2 o per x<x1. Se x>x2, avendo noi posto x1<x2, sarà anche x>x1 quindi x-x1>0 e x-x2>0 da cui il prodotto (x-x1)(x-x2) è sicuramente positivo. Se x<x1, avendo noi posto x1<x2, sarà anche x<x2quindi x-x1<0 e x-x2<0 da cui il prodotto (x-x1)(x-x2) è anche in questo caso sicuramente positivo. In entrambi i casi il trinomio avrà il segno del suo primo coefficiente e si dice che il trinomio è concorde col suo primo coefficiente per tutti i valori di x esterni all’intervallo delle radici. Nel secondo caso, valori interni all’intervallo delle radici, x1<x<x2 quindi x-x1>0 e x-x2<0 da cui il prodotto (x-x1)(x-x2) è negativo ed il trinomio avrà segno opposto a quello del suo primo coefficiente e si dice che il trinomio è discorde col suo primo coefficiente per tutti i valori di x interni all’intervallo delle radici. • Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante uguale a 0 esistono due soluzioni reali e coincidenti (x1=x2), in questo caso ax2+bx+c=a(x-x1)2, essendo (x-x1)2>0 sempre positivo il trinomio ha il segno del suo primo coefficiente per qualsiasi valore di x diverso da x1. • Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante negativo il trinomio non ha radici reali perciò non si annulla mai. Sapendo che è facile verificare che il termine in parentesi quadra è sempre positivo poiché è la somma di due addendi di cui il primo, essendo un quadrato, è sempre positivo o al massimo nullo e il secondo è positivo essendo -∆ >0 dato che per ipotesi è ∆<0. Possiamo quindi concludere che il trinomio ha il segno del suo primo coefficiente per qualsiasi valore di x.

12. Dopo aver studiato il segno del trinomio è possibile risolvere una disequazione di secondo grado, come negli esempi. Es. Risolvere la disequazione Occorre determinare i valori di x in corrispondenza dei quali la funzione quadratica ax2+bx+cassume valori positivi. Essendo, in questo caso ∆>0, il trinomio f(x) risulta positivo, cioè concorde con il suo primo coefficiente per valori esterni all’intervallo delle radici. Poiché è la disequazione data è soddisfatta per Risolvere la disequazione Il trinomio f(x)=x2-14x+49 ha ∆=0 ed è x1=x2=7. Poiché il trinomio deve essere o negativo o nullo, cioè discorde con il suo primo coefficiente, la disequazione è soddisfatta per x=7. Risolvere la disequazione Dobbiamo determinare i valori di x per cui la funzione f(x)=x2-3x+10 è positiva, cioè concorde con il suo primo coefficiente. Essendo ∆<0 la funzione risulta positiva per qualsiasi valore di x, perciò la disequazione data è verificata

13. Schema riassuntivo per la disequazioni di secondo grado ax2+bx+c≤0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c>0 ∆>0 (x1<x2) x<x1Vx>x2 x≤x1Vx≥x2 x1≤x≤x2 x1<x<x2 a>0 qualsiasi x con nessun valore di x ∆=0 nessun valore di x nessun valore di x ∆<0

14. Disequazioni irrazionali Prima di intraprende lo studio delle disequazioni irrazionali è utile ricordare due principi delle disuguaglianze tra numeri. • Se a e b sono numeri positivi o nulli e se 2n è un generico numero pari, si ha In particolare a noi interesserà il caso 2n=2 2. Se invece a e b sono due generici numeri reali e si indicano con 2n+1 un generico numero dispari, si ha In particolare a noi interesserà il caso 2n+1=3 • Una disequazione in una incognita si dice irrazionale quando in essa compaiono uno o più radicali contenenti l’incognita. Si chiama dominio di una disequazione in un’incognita l’insieme dei numeri che, sostituiti al posto dell’incognita, trasformano la disequazione in una diseguglianza dotata di senso. Pertanto se la disequazione contiene solo radicali di indice dispari, in particolare radicali cubici, non si deve porre alcuna condizione per l’esistenza dei radicali stessi, se invece la disequazione contiene radicali di indice pari, in particolare radicali quadratici, occorre porre le condizioni di esistenza dei radicali: tutti i radicali devono essere contemporaneamente positivi o nulli. Per risolvere una disequazione irrazionale è necessario trasformarla in una razionale, per mezzo di opportuni elevamenti di entrambi i membri a una stessa potenza. Ricordando quanto detto prima, l’innalzamento a una potenza con esponente pari di entrambi membri di una disequazione è possibile solo se entrambi i membri sono positivi; la nuova disequazione che così si ottiene è equivalente alla data. L’innalzamento a una potenza con esponente dispari di entrambi i membri di una disequazione, la trasforma in un’altra sempre equivalente a quella data.

15. Disequazioni del tipo Vediamo un particolare tipo di disequazione irrazionale. Occorrerà innanzitutto porre le condizioni di esistenza del radicale, e se il primo membro è positivo anche il secondo membro lo sarà Se sussistono entrambi si ha una disuguaglianza tra numeri positivi quindi possiamo elevarli al quadrato. Possiamo concludere che la disequazione è equivalente al seguente sistema Es. Per risolvere la disequazione Applicando quanto appena visto, possiamo affermare che le soluzioni della disequazione proposta sono quelle del sistema

16. Disequazioni del tipo Vediamo ora come si risolver una disequazione del tipo Anche in questo caso occorrerà porre la condizione di esistenza del radicale A differenza di prima, il secondo membro della disequazione può essere sia positivo o nullo, infatti se sussiste la condizione di accettabilità la disequazione può essere verificata sia se g(x)>0, sia se g(x)<0 e sia se g(x)=0. Nel caso in cui il secondo membro sia positivo o nullo, si potranno elevare al quadrato entrambi i membri. Nel caso invece in cui il secondo della disequazione sia negativo, la disequazione stessa sarà soddisfatta perché sussiste la condizione di accettabilità, in tal caso infatti il primo membro sarà senz’altro maggiore di una quantità negativa. L’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza sarà quindi dato dall’unione degli insieme delle soluzioni dei seguenti sistemi *la condizione f(x)>[g(x)]2 implica che f(x) sia maggiore di un quadrato, quindi la prima delle tre condizioni può essere tralasciata. Per risolvere la disequazione Applicando quanto ora visto, si ha

17. Disequazioni di grado superiore al secondo Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo bisogna abbassarla di grado fino a ricondurla al secondo grado. Esistono vari modi per scomporre un trinomio. Il più semplice è il raccoglimento totale che si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune [ax2+2axy=ax(x+2y)]. Se non c’è un fattore comune per tutti i membri è possibile che vi siano fattori comuni in gruppi di termini (raccoglimenti parziale) [ax-bx+2a2-2ab=x(a-b)+2a(a-b)=(x+2a)(a-b)]. Inoltre si può scomporre attraverso i prodotti notevoli come lo sviluppo di un quadrato (a2+2ab+b2) o un cubo di polinomio (a3+3a2b+3ab2+b3), differenza di quadrati (a2-b2), somma o differenza tra cubi (a3-b3) o attraverso la scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado (x2+Sx+P). Un altro metodo di scomposizione dei polinomi è secondo la regola di Ruffini. Es. Scomporre in fattori il polinomio P(x)=2x2-x-1 osserviamo innanzitutto che il polinomio assume il valore zero se x=1 infatti si ha P(1)=2 · 12 -1-1=0 possiamo concludere che il polinomio è divisibile per x-1 applichiamo la regola di Ruffini per determinare il quoziente della divisione (2x2-x-1):(x-1). 2 -1 -1 1 2 1 → Q(x)=2x+1 2 1 0 Pertanto si ha che P(x)=2x2-x-1=(x-1)(2x+1)

18. Lavoro sulle disequazioni realizzato da: Alvaro Chiara Demasi Linachiara Diano Martina Gitto Idabelle della classe 2°B Liceo Scientifico “P.Mazzone” Roccella J. anno 2006/ 2007 Colonne Sonore: “Va pensiero” dal coro del Nabucco di G. Verdi, cantata da Cecilia Bartoli, Andrea Bocelli, Bryan Terfel. Bibliografia: “Lineamenti di matematica”, N.Dodero, P.Baroncini, R.Manfredi, Ghisetti e Corvi editori.