Disequazioni

1. Disequazioni

2. Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno Esame di stato?!? 60 V < 50 (velocità minore di 50 Km/h) Voto > 60 (promosso!!)

3. Il significato dei simboli……. > Maggiore > Maggiore uguale < Minore < Minore uguale

4. Dati due numeri reali a,b a > b   e   a < b sono disuguaglianze Una disuguaglianza può essere: Vera 6 > 4 Falsa 2 > 4 Possibile x > 4

5. Le disuguaglianze possibili si chiamano disequazioni Sono disequazioni, per esempio:            2x < 6 x + 2 ≤ 3x + 1 Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa  Osserva: 2x+1>7 Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo??? 2(4)+1>7ovvero8+1>7cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..

6. Definizione: Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una disuguaglianzavera come si risolve una disequazione ?

7. risoluzione algebrica • Data la disequazione • 3x - 1 > 2x + 1 • Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno            • 3x - 1 - 2x - 1 >0 • Riduco i termini simili            • x - 2 > 0 • 3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-2) cambiando il segno • x > 2 2;+∞ )

8. risoluzione algebrica-grafica • Data la disequazione • 3x - 1 > 2x + 1 • Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno:            3x - 1 - 2x - 1 >0 • Riduco i termini simili            x - 2> 0 • Pongo x-2 uguale ad y ed ottengo y=x-2 • Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare???? La retta è positiva nella fascia maggiore di 2 cioè la soluzione è x>2 + Costruiamo la tabella x y -1 -3 0 -2 1 –1 2 0 + - -3 -2 -1 0 1 2 La retta è positiva per x>2 - -

9. Schema risolutivo ed esercizio guida Disequazione:        2(x-3)<x-5 Semplifico l’espressione                          Ø2x-6<x-5 Porto tutti i termini al primo membro  Ø 2x-6-x+5<0 Riduco i termini simili                             Ø x - 1  < 0 x<1 (- ∞; 1) Chiamo y il valore di   x-1                  Ø y = x-1 Costruisco la tabella per disegnare la retta (x=0; y=-1) (x=1; y=0) Disegno la retta y= x-1           + - 1 Osservando la retta si vede che risulta“sotto l’asse x” (y<0)  cioè negativa per tutti i valori di x < 1 1

10. Disequazioni fratte Ricordiamo che una disequazione si dice fratta se contiene l'incognita anche al denominatore di qualche frazione. Esempio: 3x-4 = 5  x-1

11. Per risolvere una disequazione fratta si deve portare tutto al primo membro e ridurre ad una frazione unica. Si arriverà ad espressioni del tipo • In ogni caso si tratta di studiare il segno del numeratore • (N) e del denominatore (D); • si consiglia di operare così: • studio N>0 (N>=0) se la disequazione presenta anche • l'uguale).

12. Numeratore: 3 - x > 0, x < 3 • - studio D>0 (N.B. si consiglia di studiare sempre D>0 perchè non può essere =0) • Denominatore: x - 1 > 0, x > 1 • per determinare il segno della frazione, quindi le soluzioni della disequazione, • devo combinare i segni del numeratore e del denominatore e applicare la legge • dei segni; è comodo costruire uno schema procedendo in questo modo: • ordino su una retta tutti valori dell'incognita che ho trovato studiando il segno • del numeratore e del denominatore (nel nostro esempio 1 e 3) e • opero come nella figura seguente, dove il tratto continuoindica che la quantità • è positiva ed il tratteggio che è negativa. • Applicando la legge dei segni deduco che la disequazione è verificata pe 1 < x < 3.

13. Lo schema grafico sopra indicato è semplice da realizzare "con carta e penna"; noi, per essere più rapidi, utlizzeremo i seguenti schemi equivalenti: 1) La disequazione è verificata per 1 < x < 3: utilizzeremo il colore rosso per indicare che un valore non è accettabile. 2) In questo caso la disequazione è verificata per: utilizzeremo il colore verde per indicare che un valore è accettabile.