Persamaan Kuadrat (1)

1. Persamaan Kuadrat (1) Budiharti, S.Si

2. Pengertian • Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. • Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 . • Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0, x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

3. Penyelesaian Persamaan Kuadrat • Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat. • Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat : • Memfaktorkan • Melengkapkan kuadrat sempurna • Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

4. Memfaktorkan • Sebelumakandibahasmengenaiaturanfaktor nol. • Aturanfaktornolmenyatakanbahwahasil kali sebarangbilangandenganbilangannoladalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. • Jadijikahasil kali duabilangansamadengannolmakasalah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. • Secara simbolik dinyatakan bahwa jikaab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . • Kataataupada ” a = 0 atau b = 0 ” berartibahwasalahsatudaria atau b samadengannolataubisajadikedua-duanyasamadengan nol.

5. Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4x2 − 32x = 0 b. 7x2 = −84x c. d. x2 + 5x + 6 = 0

6. Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. • Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4x = 0 atau x − 8 = 0 • Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . • Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 adalah x = 0 atau x = 8

7. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat 7x2 = −84x sebagai berikut. • 7x2 + 84x = −84x + 84x Kedua ruas ditambah dengan 84x  7x(x +12) = 0 Menggunakan sifat distributif  7x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol • Jadi penyelesaian persamaan 7x2 = −84x adalah x = 0 atau x = −12 .

8. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ? • Untukmemahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peragaberikutini. • Buatlahsebuahpersegidanpersegipanjangsepertigambar 1 berikutini. a) b) c) 1 x x2 x x 1 1

9. Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. • Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

10. Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama. x +3 x +2

11. Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). • Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 . • Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.

12. Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 . • Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3. • Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0. • Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan

13. Melengkapkan Kuadrat Sempurna • Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q  0 • Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. • (x + p) =  , atau x = -p 

14. Tentukannilai x daripersamaan x2 – 2x – 2 = 0 • Penyelesaian : • x2 – 2x + 1 + (-1) – 2 = 0 (x – 1)2 – 3 = 0 (x – 1)2 = 3 (x – 1)2 =   x – 1 = atau x – 1 = -  x1 = 1 + atau x =1 - • jadi HP = {1 – , 1 + }

15. Tentukannilai x daripersamaan x2 – 2x – 2 = 0 • Penyelesaian : • x2 – 2x = 2 x2 – 2x + 1 = 2 + 1 (x – 1)2 = 3 (x – 1)2 =   x – 1 = atau x – 1 = -  x1 = 1 + atau x =1 - • jadi HP = {1 – , 1 + } (a+b)2 = a2 +2ab +b2

16. Rumus abc (Al-khawarizmi) • Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. • Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi) • ax2 + bx + c = 0  ax2 + bx = - c 

17. Rumus abc (Al-khawarizmi) • Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0 • Maka