DINAMIK DAN BIFURKASI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DIMENSI DUA

1. DINAMIK DAN BIFURKASI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DIMENSI DUA Syamsyida Rozi 0302017037 Pembimbing I : Rahmi Rusin, M.Sc.Tech Pembimbing II: Arie Wibowo, M.Si DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS INDONESIA

2. Sistem PD Sistem PD Perturbasi Mengandung parameter & variabel Perubahan nilai parameter Struktur kualitatif dari sistem Perubahan struktur kualitatif sistem? Teori bifurkasi Pendahuluan Latar Belakang dan Masalah Solusi analitik Solusi numerik

3. Pendahuluan TUJUAN • Menjelaskan definisi dan konsep bifurkasi • Mempelajari jenis-jenis bifurkasi

4. Pendahuluan BATASAN MASALAH • Bifurkasi pada PD order satu dan sistem PD dimensi dua order satu. • Persamaan pada PD dan sistem PD adalah persamaan autonomous. • Fungsi dari PD dan sistem PD berupa fungsi linear, kuadrat, dan kubik.

5. Bentuk matematis dari sistem PD Titik keseimbangan Stabilitas titik keseimbangan Struktur Kualitatif Sistem PD Medan arah Trajektori Orbit Medan vektor Phase portrait TEORI DASAR next

6. … TEORI DASAR • Titik disebut titik keseimbangan dari jika . • Jika fungsi fpada sistem adalah fungsi linear, sistem dapat ditulis dalam bentuk , yaitu

7. Saddle point Tidak stabil Spiral Stabil asimtotik Center Stabil Star nodes Stabil asimtotik Nodes Tidak stabil

8. … TEORI DASAR Stabilitas titik keseimbangan dari sistem PD dimensi dua

9. … TEORI DASAR • Jika fadalah fungsi nonlinear, sistem dapat dilinearisasi menjadi bentuk , dengan Matriks disebut matriks Jacobian.

10. Teorema Grobman-Hartman : Jika adalah titik keseimbangan hiperbolik dari sistem PD nonlinear, maka terdapat lingkungan dari dimana medan vektor mempunyai struktur kualitatif yang sama dengan medan vektor . (Hale & Kocak 1991: 301) … TEORI DASAR • Linearisasi tersebut hanya dapat dilakukan jika sistem memiliki titik keseimbangan hiperbolik, yaitu suatu titik keseimbangan dimana bagian real dari setiap nilai eigen matriks Jacobiannya tidak sama dengan nol. next

11. … TEORI DASAR • Titik keseimbangan dari PD tersebut adalah x = 0. • Medan arah dan trajektori dari PD tersebut adalah CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL

12. 0 0 … TEORI DASAR • Medan vektor • Orbit dan phase portrait

13. Dinamik Dan Bifurkasi Dari Persamaan Diferensial Dan Sistem Persamaan Diferensial Dimensi Dua Bentuk matematis sistem PD perturbasi : • Teori bifurkasi : Teori yang membahas tentang kemungkinan perubahan dalam struktur kualitatif solusi dari sistem PD yang mengandung parameter dan variabel. • Bifurkasi : Perubahan struktur kualitatif dari sistem. • Diagram bifurkasi : Kurva yang mendeskripsikan titik keseimbangan dan stabilitas dari titik keseimbangan tersebut untuk setiap nilai parameter yang berbeda. • Nilai bifurkasi : Nilai parameter  di mana terjadinya bifurkasi. • Titik bifurkasi : Titik di mana terjadinya bifurkasi. • Ketika diberikan suatu nilai parameter, sistem dikatakan mempunyai struktur orbit stabil jika struktur kualitatif dari sistem tersebut tidak mengalami perubahan ketika terjadi perubahan nilai parameter.

14. PD PERTURBASI FUNGSI LINEAR FUNGSI KUBIK FUNGSI KUADRAT Tidak mengalami bifurkasi • Saddle node • bifurcation • Transcritical • bifurcation • Hysteresis bifurcation • Subcritical pitchfork bifurcation • Supercritical pitchfork bifurcation • Imperfect bifurcation Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua

15. SISTEM PD DIMENSI DUA FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK • Subcritical pitchfork bifurcation • Supercritical pitchfork bifurcation • Saddle node bifurcation • Transcritical bifurcation • Hopf bifurcation Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua

16. PD PERTURBASI PD fungsi linear fungsi linear f fungsi F fungsi Titik keseimbangan Hiperbolik : PD perturbasi tidak mengalami bifurkasi Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua DINAMIK & BIFURKASI DARI PD

17. PD  0  Dinamik & Bifurkasi dari PD PD perturbasi , dengan fungsi F berupa fungsi linear Phase portrait dari PD Untuk setiap nilai parameter  yang berbeda, solusi dari PD selalu menuju titik keseimbangan, sehingga PD tersebut tidak mengalami perubahan struktur orbit atau tidak mengalami bifurkasi.

18. PD PERTURBASI PD fungsi kuadrat fungsi kuadrat F fungsi Memiliki titik kritis f fungsi Memiliki nilai kritis • Jika terdapat dua titik keseimbangan • Jika terdapat satu titik keseimbangan • Jika tidak terdapat titik keseimbangan Dinamik & Bifurkasi dari PD DINAMIK & BIFURKASI DARI PD

19. Dinamik & Bifurkasi dari PD Phase portrait untuk yang berbeda

20. x c < 0 c 0 c = 0 c > 0 Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi : . Bentuk umum PD yang mengalami saddle node bifurcation : Keterangan: Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Saddle Node Bifurcation PD Phase portrait Diagram bifurkasi

21. x x x 0 0 0 c < 0 c = 0 c > 0 Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Transcritical Bifurcation PD Phase portrait

22. x c Keterangan: tidak stabil stabil Dinamik & Bifurkasi dari PD … Transcritical Bifurcation Diagram bifurkasi Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi : . Bentuk umum PD yang mengalami transcritical bifurcation : . next

23. PD PERTURBASI PD fungsi kubik fungsi kubik F fungsi f fungsi Dinamik & Bifurkasi dari PD

24. x c Keterangan : Tidak stabil Stabil Nilai bifurkasi: dan . Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Hysteresis Bifurcation PD Fungsi mempunyai nilai minimum pada dan mempunyai nilai maksimum pada . Phase portrait Diagram bifurkasi

25. 0 0 0 x x x d < 0 d > 0 d = 0 Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Supercritical Pitchfork Bifurcation PD Phase portrait

26. x d Keterangan : Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari PD … Supercritical Pitchfork Bifurcation Diagram bifurkasi Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi : .

27. 0 0 x x 0 x d < 0 d = 0 d > 0 Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Subcritical Pitchfork Bifurcation PD Phase portrait

28. x d Keterangan : Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari PD … Subcritical Pitchfork Bifurcation Diagram bifurkasi Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi : .

29. x d Dinamik & Bifurkasi dari PD Jenis bifurkasi : Imperfect Bifurcation PD Kurva bifurkasi: , yaitu atau Phase portrait

30. Dinamik & Bifurkasi dari PD x x d d c = 0 c 0 x Diagram bifurkasi pada bidang- x c c d > 0 d 0 Diagram bifurkasi pada bidang- next

31.  < 0 = 0  > 0 Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua Saddle node bifurcation pada sistem PD dimensi dua Sistem PD Matriks Jacobian dari sistem adalah

32.  = 0  < 0  > 0 Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua Transcritical bifurcation pada sistem PD dimensi dua Sistem PD Matriks Jacobian dari sistem adalah next

33. Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua  = 0  < 0  > 0 Supercritical Pitchfork bifurcation pada sistem PD dimensi dua Sistem PD Matriks Jacobian dari sistem adalah

34. Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua  = 0  < 0  > 0 Subcritical Pitchfork bifurcation pada sistem PD dimensi dua Sistem PD Matriks Jacobian dari sistem adalah next

35.  > 0  = 0  < 0 Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua Degenerate Hopf Bifurcation Sistem PD Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk Phase portrait

36. a  Keterangan : Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua … Degenerate Hopf Bifurcation Diagram bifurkasi

37.  < 0  = 0  > 0 Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua Supercritical Hopf Bifurcation Sistem PD Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk Phase portrait

38. a  Keterangan : Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua … Supercritical Hopf Bifurcation Diagram bifurkasi

39. Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua Subcritical Hopf Bifurcation Sistem PD Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk

40. Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua  = 0  > 0

41. a  Keterangan : Tidak stabil Stabil Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua … Subcritical Hopf Bifurcation Diagram bifurkasi

42. Misalkan , dengan , adalah fungsi yang memenuhi kondisi dan Maka terdapat > 0 dan > 0, dan fungsi , sedemikian sehingga dan untuk . Lebih jauh lagi jika sedemikian sehingga dan dan memenuhi persamaan , maka . (Hale dan Kocak 1991:41). TEOREMA FUNGSI IMPLISIT

43. KESIMPULAN • Sistem PD perturbasi dapat mengalami perubahan struktur kualitatif jika nilai parameter dalam sistem diubah, sehingga sistem dikatakan mengalami bifurkasi. • PD linear ataupun sistem PD linear dimensi dua yang memiliki titik keseimbangan hiperbolik, tidak akan mengalami perubahan struktur kualitatif jika nilai parameter dalam sistem diubah. Dalam hal ini PD ataupun sistem PD dikatakan mempunyai struktur orbit stabil. • Jika F pada PD ataupun sistem PD berupa fungsi kuadrat, terdapat jenis bifurkasi, yaitu Saddle node dan Transcritical bifurcation. • Jika F pada PD berupa fungsi kubik, terdapat jenis bifurkasi, yaitu Hysteresis, Subcritical pitchfork, Supercritical pitchfork, dan Imperfect bifurcation.

44. KESIMPULAN • Jika F pada sistem PD dimensi dua berupa fungsi kubik, terdapat jenis bifurkasi, yaitu Subcritical pitchfork dan Supercritical pitchfork bifurcation. • Hopf bifurcation pada sistem PD dimensi dua ditandai dengan adanya kemunculan orbit periodik pada phase portrait dari sistem tersebut.

45. DAFTAR PUSTAKA [1] Alligood, K.T., Sauer, T.D., Yorke, and J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag, 1996. [2] Boyce, W.E., DiPrima, R.C. Elementary Differential Equations. New York: John Wiley  Sons, 1997. [3] Hale, J., Kocak, H. Dynamics and Bifurcations. New York: Springer-Verlag, 1991. [4] Nagle, R.K., Saff, E.B. Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996. [5] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag, 1996. [6] Strogatz, S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994. [7] Thompson, J.M.T., Stewart, H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: John Wiley  Sons, 2002. [8] Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer-Verlag, 1990.

46. TERIMA KASIH

47. Contoh sistem PD dimensi dua