ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 8 Hasilkali Skalar dan Vektor Zuhair

1. ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 8 Hasilkali Skalar dan Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 12 09 ( ) http://www.mercubuana.ac.id

2. b 90o a 0 Karena dalam hal ini a.b = ab cos 90o = ab0. Jadi hasilkali skala sebarang dua vektor yang saling tegak-lurus akan selalu nol. Sekarang dalam kasus ini, dengan dua vektor dalam arah yang sama, = 0o a b Jadi a.b = ……………. ab Karena ini a.b = ab cos 0o = ab.1 = ab Sekarang anggap kedua vektor ini dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan i,j, dan k. Misalnya a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k Maka a.b = (a1i + a2j + a3k).(b1i + b2j + b3k) = a1b1i i + a1 b2i.j + a1b3 i.k + a2b1 j.i + a2b2j.j + a2b3j.k + a3b1k.i + a3b2k.j + a3b3k.k Sekarang persamaan ini dapat disederhanakan. (a) Karena i.i = (1)(1)(cos 0o) = 1  i.i = 1 ; j.j = 1 ; k.k = 1 (b) Juga i.j = (1)(1)(cos 90o) = 0  i.j = 0 ; j.k = 0 ; k.i = 0 Jadi dengan menggunakan hasil-hasil (a) dan (b), kita peroleh : a.b = …………… 3 http://www.mercubuana.ac.id

3. Perhatikan bahwa b x a akan memebalik arah rotasi dan vektor hasilkalinya sekarang mempunyai arah ke bawah, dengan kata lain b x a = -(a x b) Jika = 0o, makaa x b = ………… dan jika = 90o, makaa x b = …………  = 0o,a x b = 0  = 90 ,o a x b = ab Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k : a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k Maka: a x b = a1b1i x i + a1b2i x j + a1b3 I x k + a2b1 j x i + a2b2 j x j + a2b3 j x k + a3b1 k x i + a3b2 k x j + a3b3 k x k Tetapii x i =(1)(1)(sin 0o) = 1 dan i x j  i x i=j x j=k x k=0 (a) Jugai x j =(1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x j berada dalam arah k, artinya, i x j = k (magnitudo sama dan arah sama). Oleh sebab itu : i x j=k j x k=i (b) k x i=j Dan ingat juga bahwa : i x j = -(j x i) j x k = -(k x j) k x i = -(I x k) karena arah rotasi itu dibalik Sekarang dengan hasil-hasil (a) dan (b), dan terakhir yang diingat terakhir ini, Anda dapat menyederhanakan pernyataan untuk a x b ini. Hilangkan suku-suku nol dan rapikan apa yang tersisa. ………………………. a x b = (a2b3 – a3b2) i – (a1b3 – a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k Karena a x b = a1b10 + a1 b2k + a1b3 (-j) + a2b1(-k) + a2b20 + a2b3i + a3b1j + a3b2(-i) + a3b30 a x b = (a2b3 - a3b3)i + a3b2 - a3b1)j + (a1b2 – a2b1)k 5 http://www.mercubuana.ac.id