Dra. Noeryanti, M.Si

1. DISTRIBUSI PROBABLITAS(SSTS 2305 / 3 sks) Dra. Noeryanti, M.Si

2. Pengantar: Di bidang statistika, bentuk distribusi probabilitas perlu dipelajari untuk memahami dan menafsirkan implikasi umum dari studi staistik yang lebih lanjut. Misalnya dalam statistik inferensial yaitu suatu cara pengambilan kesimpulan tentang populasi yang didasarkan pada pengambilan sampel random. Inferensinya bergantung pada bentuk distribusi probabilitas populasi. Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak (distribusi probabilitas gabungan). Pokok bahasan disini memberikan konsep dasar yang berguna untuk mempermudah perhitungan yang berkaitan dengan distribusi probabilitas.

3. Kompetensi: Setelahmempelajarimateripokokbahasandisini, mahasiswadiharapkan: Mampumenggunakankonsep-konsepdasarteoridistribusiprobabilitassecarabenar. Mampudanterampildalammelakukanhitungan-hitungan yang berkaitandenganperubahacak, distribusiprobabilitasdiskrit, kontinyu, fungsipadatgabungan, distribusi marginal, distribusibersyarat, danbebasstatistik. Terampildalammengerjakansoal-soaltugasdanlatihan.

4. Daftar Isi Materi: • Perubah Acak Diskrit dan Komtinyu • Distribusi Probabilitas Diskrit • Distribusi Probabilitas Kontinyu • Fungsi Padat gabungan • Distribusi Marginal • Probabilitas Bersyarat • Bebas Statistik

5. 3.1. Perubah acak Suatu percobaan statistika yang dilakukan selalu menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering kali kita mengkaitkan suatu bilangan sebagai pemberian hasil tersebut. Sebagai contoh suatu percobaan dengan ruang sampel yang memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasilnya bila ada 3 suku cadang elektronik yang diuji dapat dinyatakan sebagai: Dimana, B menyatakan barang yang baik dan C menyatakan barang yang cacat. Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya barang yang cacat, maka setiap titik dalam ruang sampel dikaitkan dengan bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini merupakan besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan, dan dapat dipandang sebagai nilai perubah acak, X, yaitu banyaknya barang yang cacat.

6. Definisi (3.1): Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengkaitkan bilangan riel pada setiap unsur dalam ruang sampel S. Perubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x. Pada contoh diatas, Jika X menyatakan banyaknya 2-barang yang cacat, maka Contoh (3.1): Kembali ke contoh (1.2). Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka X = {0, 1, 2, 3, 4} Artinya untuk x=0 menyatakan tidak ada yang sebuh, x=1 menyatakan ada satu pasien yang sembuh, analog yang lainya.

7. Definisi (3.2): Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga, atau banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya bilangan cacah, maka ruang sampel tersebut dikatakan ruang sampel diskret. Ruang sampel untuk contoh 3.1 dikatakan ruang sampel diskret Definisi (3.3): Jika suatu ruang sampel memuat titk sampel yang takberhingga banyaknya, dan banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka dikatakan ruang sampel kontinyu. Ruang sampel yang datanya diukur seluruh kemungkinan berat badan, tinggi, jarak, temperatur, dan jangka hidup

8. 3.2. Distribusi Probabilitas Diskrit Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X adalah 0, 1, 2, 3, 4 maka X adalah perubah acak diskrit. Perubah acak diskrit ini menggambarkan data cacah. Lebih mudah jika semua probabilitas dari perubah acak X dinyatakan dalam rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x, f(x)) disebut fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas perubah acak X Jadi sebuah tabel yang memuat perubah acak diskrit X beserta nilai fungsi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit. Dan distribusi kumulatif dari f(x) dinyatakan sebagai F(x)

9. Definisi (3.4): Misalkan f(x) merupakanfungsiprobabilitas, fungsimassaprobabilitas, ataudistribusiprobabilitasdariperubahacakdiskrit X, makaberlaku: 1. 2. 3. Distribusikumulatif F(x) dinyatakansebagai

10. Contoh (3.2): Suatueksperimendaripelemparansebuahmatauanglogamsebanyak 3 kali. Tentukandistribusiprobabilitas X yang menyatakanbanyaknyasisimuka yang tampakdarihasileksperimentersebut Jawab: Hasileksperienadalahsbb; dimana M = sisi muka ; B = sisi belakang Misalnya: X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg muncul X = { 0, 1, 2, 3} Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

11. x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul x=3, artinya ada 1-sisi muka yg muncul Tabel 3.1 Distribusi Probabilitas perubah acak X Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

12. Contoh (3.3): Sebuahtokoelektronikmenjual 15 radio yang diantaranyaada 5 yang rusak. Jikaseoarangcalonpembelimelakukan test 3 radio yang dipilihsecara random, tuliskandistribusipeluangdaribanyaknya radio yang rusakdalamsampeltersebut Jawab Misalkan:X = perubahacak yang menyatakanbanyaknya radio ygrusak X = {0, 1, 2, 3} 10B, 5R 3 ; x=0,1,2,3 15 Diperoleh: x=0 ; x=1

13. x=2 ; x=3 Tabel 3.2 Distribusi Probabilitas perubah acak X Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

14. 3.3. Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi yang memuat perubah acak kontinyu. Distribusi probabilitas kontinyu dinyatakan dalam bentuk rumusan (dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Cara menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak kontinyu adalah sebagai berikut: y x 0 a b Gambar 3.1. Luas daerah yang diarsir = Tidak menjadi soal, apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak. Lihat gambar 3.1

15. Definisi (3.5): Misalkan f(x) merupakanfungsiprobabilitas, dariperubahacakdiskrit X, makaberlaku: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai Akibatnya:

16. Contoh (3.4): Misalkangalatsuatureaksidalamderajatcelsius (0c) padapercobaandilaboratorium yang dikontrolmerupakanperubahacak X yang mempunyaifungsipeluangsbb: a). Tunjuan b). Hitung Jawab

17. Contoh (3.5): Carilahdistribusikumulatifdaricontoh(3.4) dankemudianhitung P(0 < X < b) Jawab: untuk -1 < X < 2 Jadi: Diperoleh:

18. 3.4. Fungsi Massa Gabungan Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak. Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan Y Jika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari perubah acak X dan Y.

19. Definisi (3.6): • Fungsif(x,y) disebutdistribusiprobabilitasgabunganataufungsimassagabungandariperubahacakdiskretX dan Y jika: • 1. f(x,y) ≥ 0; untuksemua (x,y) • 2. • 3. P(X=x,Y=y) = f(x,y) • Untuksetiapdaerah A dibidangxy, maka • P[(X,Y)єA] =

20. Contoh (3.6): Duabuahbolamdipilihsecaraacakdarisebuahkotak yang berisi 3 bolamberwarnabiru, 2 berwarnamerah, dan 3 berwarnahijau. Jika X menyatakanbanyaknyabolamberwarnabirudan Y berwarnamerah yang terpilih, makahitunglah: a. fungsiprobabilitasgabungan X dan Y b. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1} Jawab: a. Misalkan, X = banyaknyabolambiru yang terambil = {0, 1, 2} Y = banyaknyabolammerah yang terambil = {0, 1, 2} Pasangannilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)

21. Ilustrasi: 2 n(S) = 3B 2M,3H 8 Misalnya n(S) = banyaknyacaramemilih 2 bolamdari 8 yang ada Fungsipeluanggabunganf(x,y) dinyatakandenganrumus: x = 0, 1, 2 y = 0, 1, 2 0 ≤ x+y ≤ 2

22. b. Dari hasil a), diperolehsbb: ; ; ;

23. Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb: Tabel. 3.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = + + =

24. 3.5 FungsiPadatGabungan Jika X dan Y, perubahacakkontinu, makaf(x,y) disebutfungsipadatgabungandariX dan Y yaitusuatupermukaan yang terletakdiatasbidangxy, dan P[(X,Y)єA] dimana A adalahdaerahdibidangxy , samadenganisisilinderkanan yang dibatasiolehdasar A danpermukaan. Fungsipadatgabunganinimerupakancaramenjelaskandistribusiprobabilitasuntukpopulasiatausistem.

25. Definisi (3.7): • Fungsif(x,y) disebutfungsipadatgabungandariperubahacakkontinuX dan Y jika: • 1. f(x,y) ≥ 0; untuksemua (x,y) • 2. • 3. P[(X,Y)єA] = • untuktiapdaerahdibidangxy

26. Contoh (3.7): • Suatupengirimanbarang yang memproduksicoklatdengancampurankrem,cofeedankacang, denganberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilasebuahkotakdiambilsecaraacak , serta X dan Y masing-masingmenyatakanproporsicampurankremberlapiscoklatcerahdanpekatdenganfungsipadatgabungannyaadalah : • a. Tunjukan • b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

27. Jawab: a. b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

28. 3.5 Distribusi Marginal (pias) Jikaf(x,y) peluanggabungandariperubahacakdiskrit X dan Y makapeluangg(x) dari X sendiridiperolehdenganmenjumlahkanf(x,y) terhadapsemua Y. demikian pula untukdistribusipeluangh(y) dari Y diperolehdenganmenjumlahkanf(x,y) terhadapsemuanilai X. g(x)disebutdistribusi marginal dari X, danh(y)disebutdistribusi marginal dari Y. Jika X dan Y perubahacakkontinu, tandapenjumlahandigantidengan integral.

29. Definisi (3.8): Distribusi marginal dariperubahacak X sendiridan Y sendirididefinisikansebagai : a. Untukhaldiskrit, maka dan b. untukhalkontinu, maka dan

30. Contoh (3.8): a. Tunjukanjumlahkolomdanbarispadatabel 3.3 memberikan distribusi marginal dari X sediridan Y sendiri. b. Carig(x) danh(y) untukfungsipadatgabunganpada contoh (3.6) Jawab: a. Untukperubahacak X P(X=0) = g(0) = P(X=1) = g(1) = P(X=2) = g(2) =

31. Untukperubahacak Y P(Y=0) = h(0) = P(Y=1) = h(1) = P(Y=2) = h(2) = Distribusi Marginal dalambentuktabelsbb:

32. b. Untukperubahacak X dan Untukperubahacak Y dan

33. Catatan: Distribusi marginal g(x)danh(y) adalahdistribusimasing-masingperubah X dan Y sendiri. Hal inidapatdenganmudahdenganmenunjukanmisalnyauntukhalkontinu: Dan P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )

34. 3.6 Distribusi Bersyarat Menurut definisi probabilitas bersyarat sebelumnya bahwa kejadian B terjadi setelah A muncul dinyatakan: Jika kejadian A dan B masing-masing menyatakan X=x dan Y=y, maka untuk X dan Y perubah acak diskrit: • Berlaku juga untuk X dan Y kontinu. Jika ditulis f(y/x), maka diperoleh definisi berikut ini

35. Definisi (3.9): • Misalkan X dan Y merupakan perubah acak diskrit maupun kontnu. Maka distribusi probabilitas bersyarat dari perubah acak Y , jika diketahui X=x dinyatakan sebagai: • Distribusi peluang bersyarat perubah acak X, jika diketahui Y=y dinyatakan sebagai:

36. Mencari probabilitas perubah acak diskrit X , a <x < b • jika perubah acak diskrit Y telah diketahui , maka dihitung: • penjumlahan meliputi semua nilai X antara a dan b. • Jika X dan Y Kontinu, maka dihitung: Contoh (3.9): Kembalikecontoh (3.6). a). Caridistribusibersyarat X, jikadiketahui Y=1 b). Gunakan a). Untukmenghitung P(X=0/Y=1)

37. Jawab: a). Yang akan kita cari Pertama-tama dicari b). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)

38. Tabel 3.4 distribusibersyarat X, bila Y=1 Sehinggadiperoleh P(X=0/Y=1) = f(0/1) = • Jadibiladiketahuibahwa 1 darikeduaisibulpoint yang terambilberwarnamerahmakaprobabilitasnya • bahwaisi yang satulagibukanbiru

39. Contoh (3.10): Misalkan X perubahacak yang menyatakanbanyaknyapelaripriadan Y pelariwanita yang menyelesaikanlomba-lombamaraton. Secaramatematikadapatdinyatakansebagaifungsipadatgabungan: a). Hitunglah g(x), h(y), f(y/x) b). Tentukanpeluangbahwakurangdari 1/8 pelariwanita yang menyelesaikanmaratonbilaadatepat 1/2 pria telahmenyelesaikanmaratontsb

40. Jawab: dan Jadi, dan

41. Contoh (3.11): Diketahuifungsipadatgabungan: a). Carilah g(x), h(y), f(x/y) b). Hitunglah Jawab: menurutdefinisi,

42. dan Jadi, dan

43. 3.7. BebasStatistik Jikaf(x/y)tidaktergantungpaday, makahasildariperubahacak Y tidakmempengaruhiolehhasilperubahacak X, dandisebutbahwa “X dan Y perubahacakbebas”. • Definisi (3.10): • Jikaf(x,y)merupakanfungsiprobabilitasgabungandariperubahacak X dan Y dandistribusi marginal masing-masingg(x) danh(y), maka X dan Y dikatakanbebasstatistikjika : • untuksetiap (x,y) dalamdaerahdefinisinya

44. Contoh (3.12): Tunjukan bahwa perubah acak pada contoh (7.1) tidak bebas statistik. Jawab: Untuk x=0 dan y=1 pada tabel 7.1. diperoleh diperoleh: , Jadi X dan Y tidakbebasstatistik

45. Definisi (3.8) juga berlaku untuk n-perubah acak ,yaitu: untuk setiap dalam daerah definisinya Contoh (3.13): Umur makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak (tahan lama) merupakan perubah acak dengan fungsi padat berbentuk Hitung

46. Jawab: Misal menyatakan umur tahan lama dari tiga kotak makanan. karena dipilih secara acak, maka dapat dianggap bebas statistik, sehingga distribusi gabungannya: Jadi: