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Inducción completa. El principio del buen orden : todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo. Principio del buen orden. El principio del buen orden : todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo. Ejemplo: A={n: 2 n -(-1) n no es múltiplo 3 }
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Inducción completa • El principio del buen orden: todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo.
Principio del buen orden • El principio del buen orden: todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo. • Ejemplo: A={n: 2n-(-1)n no es múltiplo 3 } • Si no fuera vacío, tendría un mínimo m. • 1) m>1 pues 21-(-1)1= 3 • 2) como 2m-(-1)m no es múltiplo de 3 • 2m-1-(-1)m-1 es múltiplo de 3 (¿porqué?)
Principio del buen orden • Pero si 2m-1-(-1)m-1 es múltiplo de 3 • (clase pasada) 2m-(-1)m es múltiplo de 3 • ¡Contradicción! A es vacío. • Equivalencia del principio de buen orden y el de inducción completa: ejercicio o leer Grimaldi Teorema 4.1
Inducción completa fuerte • Principio de inducción fuerte: Sea A(n) una proposición acerca del entero n. Si sabemos que: • A(n0) , A(n0+1), …, A(n1) es verdadera y • Si k n1 ,siempre que A(n0) , A(n0+1), …, A(k) sea verdadera se cumple que A(k+1) también lo es, • Entonces A(n) vale para todo nn0.
Inducción completa fuerte • Ejemplo:Todo natural mayor que 7 se puede expresar como suma de 3s y 5s • Principio de inducción fuertea A(n) = “n es suma de 3s y 5s”. Y n0 = 8. • Demostraremos que • A(8) , A(9), A(10) son verdaderas y • Si k 10 , A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas A(k+1) verdadera
Inducción completa fuerte • A(8) , A(9), A(10) , A(11) : • 8 = 3+5, 9 = 3+3+3, 10=5+5 • k 10 y A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas A(k+1) verdadera: • k 10 k > k+1-3 8 A(k+1-3) verdadera • k+1-3 = 3+..+3+5+..+5 • k+1 = 3+ 3+..+3+5+..+5 • A(k+1) verdadera:
Inducción como forma de conteo • Esquema: • 1) cuento a “mano” algunos casos para diferentes n • 2) Conjeturo una fórmula • 3) La demuestro por inducción
Inducción como forma de conteo • Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos. • 0) Considero el problema general para n elementos y an dicha cantidad • 1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}} a1 = 2 • n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}} a2 = 4 • n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} ,{1,2,3}} a2 = 8
Inducción como forma de conteo • Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos. • 0) Considero el problema general para n elementos y an dicha cantidad • 1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}} a1 = 2 = 21 • n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}} a2 = 4 = 22 • n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} ,{1,2,3}} a2 = 8 = 23
Inducción como forma de conteo • 2) Conjeturo que an = 2n • 3) Demostración por inducción: • Base: n = 1 ya lo cheque • Paso inductivo Si vale para k vale para k+1: • Sea S Ak+1 = {1,…,k+1} entonces • o bien k+1 S o bien k+1 S. • P(Ak+1) = {S sin k+1} {S con k+1} • Pero {S sin k+1} = P(Ak) • Y {S con k+1} = {S {k+1}: S sin k+1} • |{S con k+1}| = |{S sin k+1}| = ak • ak+1 = ak + ak = 2k + 2k = 2k+1.
Definiciones recursivas • Ejemplo 1: n! = n (n-1)! Y 0! = 1 • Ejemplo 2: Cmn = Cm-1n + Cm-1n-1 y • Cmm = 1 • Ventajas: • Cálculo • Demostración por inducción • Desventajas: Propiedades
Ejemplo de demostración usando la definición recursiva • Considere la sucesión definida por an = an-1 + an-2 si n 2, y a0 = a1 = 1 Entonces a2 = a1 + a0 = 1 +1 = 2 a3 = a2 + a1 = 2 +1 = 3 Etc
Ejemplo de demostración usando la definición recursiva • Conjeturamos que an 2 n n 6 • Por inducción fuerte con n0 = 6 y n1 = 7. • Paso base: sale de la tabla. • Paso inductivo: suponemos válida la proposición para n = 6, 7, …, k con k 7 y queremos demostrarla para k+1: ak+1 = ak +ak-1 • Para aplicar hipótesis inductiva a ak y ak-1 debemos chequear que k y k-1 están entre 6 y k. Para k es obvio, para k-1, sale de cómo k 7 k-1 • ak 2k + 2(k-1) = 4k-2 que es mayor o igual que 2(k+1) para todo k 2, pero estabamos bajo la hipótesis de k 6, así que se cumple.
Principio de inclusión-exclusión • ¿Cuantos enteros del 1 al 100 no son múltiplos de 2 ni de 3? • ¿Cuántas soluciones enteras hay a la ecuaciónx+y+z+t = 18, con x, y, z, t <=7 • ¿Cuántas funciones sobreyectivas hay? • ¿Cuantas permutaciones no dejan ninguno símbolo en su lugar original?
Diagramas de Venn Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento
Principio de inclusión-exclusión • |(A1c…Anc)| = |U| - |(A1… An)c|= |U| - |A1…An| = |U| - |A1| - |A2| -…- |An| + + |A1A2| + |A1A3|+ …+|An-1An|+ |A1A2A3|+ … + |An-2An-1An|-… (-1)n |A1A2…An|
Números de Stirling • Sob(m, n) = k=0m Cmk (-1)k (n-k)m • S(m, n) = Sob(m,n)/n! • Sob(m, n) = Cant. de formas de distribuir m objetos distinguibles en n cajas distinguibles sin que queden cajas vacías • S(m, n) = Cant. de formas de distribuir m objetos distinguibles en n cajas indistinguibles sin que queden cajas vacías
Resumen de técnicas de conteo • Básicas: combinaciones, etc • Inducción completa • Inclusión-exclusión • Principio del palomar
Relaciones de recurrencia • Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?
Relaciones de recurrencia • Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?
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Relaciones de recurrencia • Si fuera chico sería más fácil de contar! • Empecemos por los más chicos: 2x1, 2x2, 2x3, etc:
Baldosado 2x2 2x3 2x4
Baldosado 2x2 2x3 2x4
Baldosado • En general si voy a construir cualquier baldosado, tengo exactamente dos formas de empezar: • con una baldosa vertical o • Con dos baldosas horizontales • En el primer caso el resto lo baldosamos como si el patio fuera largo n-1 mientras que en el segundo como si fuera de n-2 • Así an = an-1 + an-2 mientras que a1 =1 y a2 = 2.
Baldosado • Así an = an-1 + an-2 mientras que a1 =1 y a2 = 2. • De aquí la sucesión es: 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 • De donde hay 1597 formas de baldosar un patio de 2x16.
Baldosado • ¿Asintóticas?