Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik 1(Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

2. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer

3. Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler Tidskontinuert signal (Analog) Tidsdiskret signal (Digitalt) Sampling Analogt system A/D komverter DSP (Digital signal processer)

4. Digitale signaler hvor? …og meget mere

5. Fysiologiske signaler Kardiologiskesignaler EEG

6. Typiske Digitale systemer • ADC • DSP • Display 010101011 110001011 Digital signal processor Analogt signal Analog til Digital konvertering Digital til analog konvertering Analogt signal Eksempel EKG baseret plustæller Filter Puls tæller Puls: 61

7. definition og notation: Signal • Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet • Tids variable: x(t) • Dimension: x(d1,d2)

8. Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal • Funktion af en diskret tids variabel • Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer x[n], -∞ < n < ∞ • Hvor n er et heltal • F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2 • Relation til analogt signal x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞ Hvor T er samplings perioden T N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret

9. Eksempel på sampling • Se Matlab demo

10. Basis signaler: Unit sample og Unit step

11. Basis signaler:Exponential (real) Stigende hvis α>1 Faldende hvis α<1

12. Basis signaler:Sinus ω0: frekvens rad/sample Φ: fase

13. Periodiske signaler • Et signal er periodisk med N hvis x[n]=x[n+N], hvor N er et heltal Et sinus signal er periodisk hvis Hvor Hvor både N og k er heltal

14. Diskrete sinus signaler • For sinus signaler gælder at • Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π eller ω0=-π og det interessante frekvens interval er -π ω0 π • Se Matlab Demo

15. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer

16. Tidsdiskrete systemer • Defination: • Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n] • Eksempler: • Filtrer • Operatorer Multiplications system

17. Det ideelle delay system • Delay y[n]=x[n-n0] hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved et heltal

18. Moving average system

19. Systemkarakteristika • Hukommelesesløst: • Y[n] er kun afhængig af x[n] • Akkumulator Akkumulator

20. Session 1. • Sekvenser • diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer

21. Lineært system

22. Lineært system Additiv egenskab: X1[n]  T{∙} X2[n] X1[n] T{∙}  X2[n] T{∙}

23. Lineært system Skalerings egenskab x X1[n] T{∙} a x X1[n] T{∙} a

24. Lineært system Defineret ud fra superposition

25. Eksemple • y[n]=x[n]^2 Test: Additiv egenskab x1[1]=2 og x2[1]=6

26. Tidsinvariante systemer • Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) • Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år Ikke tidsinvariant system 20 år 45 år 70 år

27. Kausalitet • Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. • y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1 • Kausalt system (Bagudrettet difference) • Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)

28. Stabilitet • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset • Bounded input Bounded output (BIBO) Givet

29. Unit sample egenskaber Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede og forskudte Unit samples Side 11 Oppenheim

30. Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim

31. Session 1. • Sekvenser • diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer

32. Impulsrespons og Lineære tidsinvariante systemer (LTI) Hvis vi antager T{∙} som er lineær kan vi bruge superposition Hvis vi antager tidsinvarians Side 23 Oppenheim

33. Folding (Convolution) • Foldings sum • Generel notation Side 23 Oppenheim

34. Folding: eksample

35. Regneregler for foldning • Foldning er kommutativ • Derfor • Foldning er distributiv med hensyn til addition Side 29 Oppenheim

36. Session 1. • Sekvenser • diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer

37. LTI egenskaber:Serielle systemer • Impuls responsen for en serie af LTI systemer svare til foldning af impuls responserne fra disse systemer da: H1[n] H2[n] x[n] y[n] H1[n]*H2[n] x[n] y[n] Side 29 Oppenheim

38. LTI egenskaber:Serielle systemer (kommutativitet) • På grund er kommutativitet er rækkefølgen af systemerne ligegyldig H1[n] H2[n] x[n] y[n] H2[n] H1[n] x[n] y[n] Obs! pas på i den virkelige verden Side 29 Oppenheim

39. LTI egenskaber: Parallelle systemer • Impuls responsen for parallelle LTI systemer svare til addering af impuls responserne fra disse systemer. Side 30 Oppenheim

40. LTI egenskaber:Stabilitet og impuls responsen Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis

41. LTI egenskaber:FIR systemer • Finiteimpulseresponse (FIR) • Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen • Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige

42. LTI egenskaber:IIR systemer • Infiniteimpulseresponse (IIR) • Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen • Kan være både stabilt og ustabilt • Eksempel på et stabilt system

43. LTI egenskaber:Kausalitet og impuls responsen Et LTI system er kausalt hvis og kun hvis Ikke kausal impulsrespons Spejling af impulsresponsen til venstre (n=0)

44. Eksempler på impulsresponser • Ideelle delay system y[n]=x[n-n0] • Stabilt ? • Ja • Kausalt? • Ja hvis n0≥0

45. Eksempler på impulsresponser • Moving average system • Stabilt ? Ja • Kausalt? • Kun hvis -M1≥0 og –M2≥0

46. Eksempler på impulsresponser • Akkumulator • Stabilt ? Nej • Kausalt? • Ja

47. Inverse systemer

48. Session 1. • Sekvenser • diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning • Lineære tidsinvariante systemer