Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS

1. Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS Készítette: Horváth Zoltán

2. Hányféle sorrendben lehet az E,F,G betűket pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes lehetőséget! E F G E G F F G E F E G G E F G F E Összesen 6 különböző sorrendet alkot a három elem.

3. Hányféle sorrendben lehet az 1,2,3,4 számjegyeket pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes lehetőséget! 3124 4123 1234 2134 3142 4132 1243 2143 3214 4213 1324 2314 3241 4231 1342 2341 3412 4312 1423 2413 3421 4321 1432 2431 Összesen 24 különböző sorrendet alkot a három elem.

4. Egy n számú, egymástól különböző elemek egy meghatározott sorrendjét permutációnak nevezzük. Jele: Kiszámítása: Ejtsd: n faktoriális

5. 6 ember hányféle sorrendben szállhat fel a busz első ajtóján, ha az ajtón egyszerre csak egy ember mehet át? azaz 6 elem permutációja. Ez 6 elem sorrendje, 720 különböző sorrendben szállhat fel a buszra a 6 ember.

6. Egy 20 fős osztály tanulói egy színházban egy sorba egymás mellé leülhetnek. Hány ülésrend alakulhat? Ez 20 elem sorrendje, azaz 20 elem permutációja. 2 432 902 008 176 640 000 különböző sorrendben ülhetnek a színház székeire egy sorba egymás mellé.

7. Hány olyan 10 jegyű szám van, amelyben minden számjegy pontosan egyszer fordul elő? Az első helyre 0 kivéve bármi írható, azaz 9 elem. A maradék pedig 9 elem sorrendje, azaz 9 elem permutációja. 3 265 920 különböző számjegyű 10 számjegyű számállítható elő a számjegyekből.

8. Hányféleképpen rendezhető egy sorba 5nő és 7 férfi úgy, hogy a nők elől állnak? A nők 5 elem permutációját, A férfiak 9 elem permutációját alkotják. 604 800 különböző sorrendet alkothat az 5 nő és 7 férfi a fenti feltételeknek megfelelően.

9. Hányféleképpen rendezhető egy polcon egy sorba 5 Mozart, 9 Beethoven, 3 Wagner és 4 Händel CD úgy, hogy a CD-k egy csoportot alkossanak előadónként? A 4 előadó gyűjteményei 4! féleképpen rendezhetők, És előadónként rendre 5!, 9!, 3! és 4! Féleképpen cserélődhetnek az előadókon belül. 150 493 593 600 különböző rendezettséget alkothat a 4 előadó CD-i.

10. Egy 10 fős csoportban Jancsi és Juliska egymásmellé szeretnének ülni. Hányféleképpen valósulhatmeg a szándékuk? Kezeljük a szerelmes párt 1 elemként, ami két különbözősorrendet jelöl, azaz két elem permutációját! Így összesen a maradék 8 fő és a szerelmes pár 9elemnek tekinthető, ami 9 elem permutációját adja. 725 760 különböző sorrendet alkothat a 10 fős csoport úgy, hogy Jancsi és Juliska egymás mellé üljön le.

11. Egy 10 fős csoportban Pistike és Sanyika egymásmellé nem ülhet a mozi székeire egy sorba. Hányféleképpen ültetheti le a csoportot a tanító néni? Az összes lehetőség a feltételek nélkül (10!) 10 elem permutációja lenne, amiből a feltételeket ki kell válogatni: Rossz esemény az, amikor a két fiú egymás mellé ül: Ennek száma: 2!9! 2903040 különböző sorrendet alkothat a 10 fős csoport úgy, hogy Pistike és Sanyika egymás mellé ne üljön le.

12. Egy 3 fős kerek asztalhoz hányféleképpen ülhet le 3 fő? A bekeretezett ülésrendek nemjelentenek különbözőülésrendet, mert ezekegymással forgás-szimmetrikusak. Ez 3 elem permutációja, de 2 -2 háromszor fordul elő Három fős asztalhoz kétféleképpen lehetleülni.

13. Egy pókerasztalhoz 6-an ülnek le.Hányféleképpen ülhetnek le játszani? Ha láncba ülnének, akkor ez hat elem permutációjalenne. De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésévela forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő, ahányan az asztalhoz ülnek. A pókerasztalhoz hatan 120 féleképpen ülhetnek le.

14. Egy tábortüzet 8-an ülik körbe.Hányféleképpen ülhetnek a tűzhöz? Ha láncba ülnének, akkor ez nyolc elem permutációjalenne. De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésévela forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő, ahányan a tűzhöz ülnek. A tábortüzet nyolcan 5040 féleképpen ülhetik körbe.

15. Egy nemzetközi konferencián 5 magyar, 3 cseh és 4 lengyel egy asztalhoz ülnek le.Hányféleképpen ülhetnek le, ha az azonos nemzetiségűek egymás mellé ülnek? Adott 5, 3 és 4 elem permutációja, amely csoportok három elem permutációját adják. Ha kört alkotnak, akkor a forgásszimmetria miatt egy elrendezés 12-szer ismétlődik. A konferencián a feltételeknek megfelelően 8640ülésrend alakulhat ki az asztal körül.

16. Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos értékűeket nem különböztetjük meg? Összesen 6 féle sorrendben lehet lerakni ezeket az érméket.

17. Ha van n számú elemünk, és abból k1, k2, … kmelemek megegyezők, akkor ennek egy meghatározott sorrendjét ismétlésespermutációnaknevezzük. Jele: Kiszámítása:

18. Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos értékűeket nem különböztetjük meg? Ez 4 elem permutációja, Amelyben 2-2 elem ismétlődik! Összesen 6 féle sorrendben lehet lerakni ezeket az érméket.

19. A matematika szó betűiből hány db „szó” alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer használhatunk fel? A matematika szó 10 elemű, ez 10 elem permutációja. De az M betű 2-szer ismétlődik, az A betű 3-szor ismétlődik, a T betű 2-szer ismétlődik, ezért: Összesen 151200-féle szót lehet alkotni a matematika szó betűiből.

20. A paralelogramma szó betűiből hány db „szó” alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer használhatunk fel? A paralelogramma szó 14 elemű, ez 14 elem permutációja. De az A betű 4-szer ismétlődik, az R betű 2-szer ismétlődik, az L betű 2-szer ismétlődik, az M betű 2-szer ismétlődik, ezért: Összesen 454053600-féle szót lehet alkotni a paralelogramma szó betűiből.

21. Egy dobozban van 2 sárga golyó. Hány pirosat kell betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a dobozból kihúzott golyókat összesen 21 sorrendben lehessen kihúzni? Adott n számú golyó, amiből 2 db sárga, többi piros. A sárga golyó 2-szer ismétlődik, A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik, ezért: 7-2, vagyis 5 piros golyót kell betenni a dobozba!

22. Egy dobozban van 2 zöld golyó. Hány pirosat kell betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a dobozból kihúzott golyókat összesen 36 sorrendben lehessen kihúzni? Adott n számú golyó, amiből 2 db zöld, többi piros. A zöld golyó 2-szer ismétlődik, A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik, ezért: 9-2, vagyis 7 piros golyót kell betenni a dobozba!

23. Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik közül kiválasztják a három legszebbet! Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend? Az első helyre 10 jelentkező van. A második helyre 9 jelentkező van. A harmadik helyre 8 jelentkező van. A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés720 különböző sorrendben alakulhat!

24. Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik közül kiválasztják a három legszebbet! Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend? Ez 10 olyan elem permutációja, ahol 7 elem sorrendje nem számít, csak az első háromé! Az ilyen jellegű sorrendet variációnak nevezzük. A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés720 különböző sorrendben alakulhat!

25. Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből k db elem meghatározott sorrendjétállítjuk elő, akkor n elem k-ad osztályúvariációjának nevezzük. Jele: Kiszámítása:

26. Egy pályázatra 9-en jelentkeznek, ezek közül kettőt díjaznak. Hányféleképpen alakulhat a díjazás? Ez kilenc elem másodosztályú variációja: A pályázat díjazása 72 különböző módon alakulhat.

27. Egy 11 tagú csoprtból 6-ot feleltetnek egy órán. Hányféleképpen alakulhat a feleltetés, ha számít a felelés sorrendje? Ez tizenegy elem hatodosztályú variációja: A feleltetés sorrendje 332 640 módon alakulhat.

28. Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből bármilyen k db elem meghatározott sorrendjétállítjuk elő, miközben bármelyik elem k-szor iselőfordulhat, akkor n elem k-ad osztályúismétléses variációjának nevezzük. Jele: Kiszámítása:

29. Egy érmével 3 dobást végzünk. Hányféle dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük? Minden dobás alkalmával két lehetőségünk van. Az érmével a 3 dobás 8 különböző dobássorozat állít elő.

30. Egy kockával 4 dobást végzünk. Hányféle dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük? Minden dobás alkalmával hat lehetőségünk van. 4 kockadobás 1296 különböző dobássorozat állít elő.

31. Hány szelvényt kellene a totón kitölteni, hogy az első 13 mérkőzést biztosan eltaláljuk? Minden mérkőzésre három tipplehetőségünk van. A totón 1 594 323 szelvény hibátlan kitöltése szükséges a biztos találathoz..

32. Egy négyszemélyes lifthez 6 ember érkezik. Hányféleképpen mehetnek fel az első lifttel? Ez esetben hatból négyet kell kiválasztani. Ez lehetne hat elem negyedosztályú variációja is, De az első négy ember sorrendje ekkor nem számít! Vagyis sem a felmenők, sem a lent maradók sorrendjenem számít. Akkor a két részre eső társaságok sorrendjeivel egyszerűsítsük a hat fő sorrendjét! A hat ember közül 4-et 15-féleképpen választhatunk ki!

33. Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből k db elemet kiválasztunk úgy, hogy annak sorrendje nem számít, akkor n elem k-adosztályúkombinációjának nevezzük. Jele: Kiszámítása: Ejtsd: n alatt a k.

34. 8 fős társaságban hány kézfogás történik, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet? Egy kézfogáshoz két ember szükséges. Vagyis: hányféleképpen tudunk 2 főt 8 közül sorrendfüggetlenül választani? Ez nyolc elem másodosztályú kombinációja. 8 fő között összesen 28 kézfogás történhet.

35. 20-an jelentkeztek körmérkőzéses lebonyolítású sakkversenyre. Összesen hány meccset játszottak, ha mindenki mindenkivel csak egyszer játszott? Egy játszmához két ember szükséges. Vagyis: hányféleképpen tudunk 2 főt 20 közül sorrendfüggetlenül választani? Ez 20 elem másodosztályú kombinációja. 20 fő között összesen 190 játszma volt a körmérkőzéses sakkversenyen.

36. Hány szelvényt kell megvásárolni az ötös lottó biztos nyereményéhez? Vagyis: hányféleképpen tudunk 5 elemet 90 közül sorrendfüggetlenül választani? Ez 90 elem ötödosztályú kombinációja. Az ötöslottó biztos főnyereményéhez 43 949 268kitöltött, különböző szelvény szükséges.

37. Hány szelvényt kell megvásárolni a hatos lottó biztos nyereményéhez? Vagyis: hányféleképpen tudunk 6 elemet 45 közül sorrendfüggetlenül választani? Ez 45 elem hatodosztályú kombinációja. A hatoslottó biztos főnyereményéhez 8 145 060kitöltött, különböző szelvény szükséges.

38. Egy 30 fős osztályban 10 fiú, és 20 lány van. Hányféleképpen választhatunk ki 5 főt, hogy pontosan 2 fiú legyen? A fiúk közül 10 főből 2-t kell sorrend-függetlenül, A lányok közül 20 főből 3-t kell sorrend-függetlenül választani. 10 fiúból 2-t és 20 lányból 3-t 51300-féleképpen lehetkiválasztani.

39. Pista bácsi az ötszemélyes skodájával 12 embert el szeretne szállítani, de a szabályok betartásával ezt 3 fordulóval tudja csak teljesíteni. Hányféleképpen teheti? Először 12 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül, azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül, végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül választania. Pista bácsinak 34650 lehetősége van a fuvarozásra.

40. Zsolti bácsi az ötszemélyes audijával 12 embert el szeretne szállítani úgy, hogy első fuvarban Mari nénit elvigye. 3 fordulóval tudja csak teljesíteni a fuvarozást. Hányféleképpen teheti? Először 11 fő közül 3-t kell sorrend-függetlenül (Mari néni a negyedik utas), azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül, végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül választania. Zsolti bácsinak 11550 lehetősége van a fuvarozásra,ha Mari nénit az első körben el kell vinnie.