Download
1 / 13
E N D
KOMBINATORIKA Nikola Olexová
Kombinatorika • Kombinatorika alebo kombinatorická matematika alebo kombinatorická analýza je súčasť diskrétnej matematiky, ktorá študuje (spravidla) konečné množiny objektov, ktoré vyhovujú zadaným kritériám a zaoberá sa najmä "počítaním" objektov v týchto množinách a rozhodovaním, či isté "optimálne" objekty a množiny objektov vôbec existujú . • Jedným z najvýznamejších kombinatorikov nedávnej doby bol Gian-Carlo Rota , ktorý pomohol sformalizovať kombinatoriku začiatkom šesťdesiatych rokov. • Produktívny riešiteľ rôznych problémov Paul Erdös pracoval hlavne na extremálnych problémoch.
Samotný predmet štúdia kombinatoriky možno vyjadriť na základe pojmu konfigurácie : Nech A a B sú dve konečné množiny. Ľubovoľné zobrazenie množiny A do množiny B, vyhovujúce určitým podmienkam, ktorých charakter dopredu nie je určený (v tejto definícii), sa nazýva konfigurácia. • Kombinatorika skúma otázky existencie, vytvárania a vyčíslenia (t.j. určenia počtu) konfigurácií, pričom sa často vyčísľujú nie samotné konfigurácie, ale iba im zodpovedajúce triedy ekvivalencie. • Príkladom konfigurácií sú -variácie -kombinácie -permutácie
Kombinatorické pravidlo súčtu Ak sa dá množina M rozložiť na niekoľko navzájom disjunktných podmnožín, teda a pre platí , tak počet prvkov množiny M možno získať ako súčet počtov prvkov všetkých podmnožín, teda kde znamená počet prvkov podmnožiny .
Kombinatorické pravidlo súčinu Ak máme vybrať prvok a prvok , počet všetkých možností výberu dvojíc je . (Je to počet všetkých prvkov karteziánskeho súčinu .)
Variácie • Variácie k-tej triedy z n prvkov bez opakovania: sú usporiadané k-tice vytvorené z n prvkov, pričom sa žiadny prvok v k-tici neopakuje, t.j. z n prvkov vyberáme k, záleží na ich poradí a prvky sa neopakujú. • Variácie k-tej triedy z n prvkov s opakovaním sú usporiadané k-tice vytvorené z n prvkov a prvky sa môžu v k-tici ľubovoľne opakovať t. j. z n prvkov vyberáme k, záleží na ich poradí a prvky sa opakujú.
Permutácie • Premutácie n prvkov bez opakovania sú usporiadané n-tice vytvorené z n prvkovej množiny, t. j. z n prvkov vyberáme n, záleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú. • Premutácie s opakovaním nje počet prvkov uvažovanej množiny. Z toho n1 je 1. druhu, n2 je 2. druhu, ... nk je k-teho druhu, pričom n1+n2+...+nk=n . Každé usporiadanie prvkov nazývame permutáciou s opakovaním.
Kombinácie • Kombinácie k-tej triedy z n prvkov bez opakovania sú ľubovoľné k-prvkové podmnožiny n prvkovej množiny, t.j. z n prvkov vyberáme k, nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú. • Kombinácie k-tej triedy z n prvkov s opakovaním sú ľubovoľné skupiny k-prvkov z n prvkov, t.j. z n prvkov vyberáme k, nezáleží na poradí prvkov v skupine a prvky sa môžu opakovať.
Základné vlastnostikombinačných čísel platí: 1. 2. 3.
Pascalov trojuholník • Pascalov trojuholník je schéma kombinačných čísel, ktorú môžeme rýchlo zapísať takto: krajné čísla sú 1 a každé ďalšie číslo v schéme sa rovná súčtu čísel bezprostredne nad ním.
Binomická veta platí: Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n. Binomický rozvoj má sčítancov. Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:
Polynomická veta Nech a je reálne číslo. Potom pre ľubovoľné kde suma ide cez všetky nezáporné t-tice pre ktoré platí
