1 / 33

Bab III

Kombinatorika. Bab III. Dasar-dasar P erhitungan. 1 ) Aturan Penjumlahan Misal himpunan A adl gabungan dari himpunan-himpunan bagian yang tidak kosong dan saling asing maka jumlah elemen himpunan A sama dengan jumlah anggota semua himpunan bagian Contoh

tymon
Download Presentation

Bab III

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kombinatorika Bab III

  2. Dasar-dasar Perhitungan 1 ) Aturan Penjumlahan Misal himpunan A adl gabungan dari himpunan-himpunan bagian yang tidak kosong dan saling asing maka jumlah elemen himpunan A sama dengan jumlah anggota semua himpunan bagian Contoh Dalam suatu kartu bridge lengkap berapa cara untuk mengambil a) Sebuah kartu jantung atau sebuah daun Jawab : Kartu jantung dan kartu daun merupakan himpunan yang saling asing maka untuk mendapatkan salah satunya adalah JUMLAH cara pada masing-masing bagian(jantung dan daun), untuk mendpat satu kartu jantung adalah 13 cara (karena kartu jantung ada 13 buah), untuk mendapat kartu daun adalah 13 cara(karena kartu daun 13 buah ) jadi untuk mendapat satu kartu jantung atau satu kartu daun adalah 13+13=26 cara b) Sebuah kartu jantung atau as

  3. Jawab : ingat jumalah kartu jantung 13 sudah termasuk as Kartu as semua 4 buah (ada 3 kartu as selan jantung) maka banyak cara sebuah kartu jantung atau as adalah 13+3=16 Contoh 2 Misal dua dadu berbeda warna (merah dan putih) dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8. Jawab : Bentuk elemen (merah, putih) Untuk mendapat jumlah 4 adalah 3 cara yaitu (1,3); (2,2); (3,1) Untuk mendapat jumlah 8 adalah 5 cara yaitu........ Jadi untuk mendapat jumlah 4 atau 8 adalah 3+5=8 cara Contoh 3 Misal dua dadu warna sama dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8. Jawab : karena warna sama maka elemen (1,3) dg (3,1) dianggap satu elemen Begitu juga elemen (2,6) dg (6,2) dan (3,5) dg (5,3) jadi kemungkinannya tinggal 5 cara

  4. 2) Aturan Perkalian Misal suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah dimana Langkah ke-1 ada n1 cara (cara ke1,cara ke2, .....Cara ke n1 ) Langkah ke-2 ada n2 cara (carake1,cara ke2, ..... Cara ke n2) Langkah ke-3 ada n3 cara (carake1,cara ke2, ..... Cara ke n3) ......................................... Langkah ke-k ada nk cara (cara ke1,cara ke2, ..... Cara ke nk ). Dg demikain semua pekerjaan adalah sebanyak (n1)(n2 )...(nk ) cara (untuk membayangkan bentuk elemennya, ingat perkaian kartesian jika ada k-terorder identik dg titik pada Rk/ruang demensi k ) Contoh 1 Jika dua buah dadu berbeda dilontarkan ada berapa banyak cara angka yang muncul ?bagaimana jika 5 dadu, bagaimna jika n dadu ? jawab adl (6)(6)= 62 cara; untuk 5 dadu adl 65; untuk n dadu adalah 6n cara

  5. Contoh 2 Misalkan barang-barang disuatu pabrik diberi nomer kode yang terdiri dari 3 huruf dan 4 angka (misal BUD1234) a)Jika baik huruf maupun angka boleh diulang penggunaannya ada berapa macam barang yg dat diberi kode yg berbeda? b)Jika huruf saja yg dapat diulang jawab a)Jumlah huruf 26 dan jumlah angka 10, maka kode yg terdiri dari 3 huruf adalah 263cara ,sedang kode yg terdiri dari 4 angka adl (10)4cara, maka banyak kode dg kombinasi 3 huruf dan 4 angka adl (26)3(10)4cara.= ........ cara b) kode yg terdiri dari 3 huruf adalah 263cara kode yg terdiri dari 4 angka adalah (10)(9)(8)(7) cara Maka banyak kode dengan 3 huruf dan 4 angka adalah (26)3(10)(9)(8)(7) cara

  6. Contoh 3berapa banyak bilangan yg terdiri dari 2digit atau 3 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka-angka 1,2,3,4,5,6,7 jika perulangan tidak diperbolehkan. Jawab Banyak bilangan dari 2 digit adalah (7)(6) cara= 42 cara Banyak bilangan dari 3 digit adalah (7)(6)(5) cara = 210 cara Maka banyak bilangan terdiri dari 2 digit atau 3 digit adalah (7)(6)+ (7)(6)(5) cara KOMBINASI DAN PERMUTASI Untuk perhitungan bagian ini yang perlu dipahami yaitu tentang Faktorial Definisi Besaran n faktorial (degan simbul n!)adalah sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n Catatan Untuk n=0 didefinisikan husus yaitu 0!=1 selanjutnya untuk bilangan bulat yang lain didapat sbb n!=1.2.3.......(n-1).n P(n;r) =

  7. Dari definisi faktorial didapat persamaan sbb n!= n(n-1)! (buktikan) = segingga didapatn!= n(n-1)! n! (n-1)! 1.2......(n-1)n 1.2.......(n-1) Kombinasi( hal yang diperhatikan obyek-obyek yg muncul) Misal himpunan S memiliki n elemen Ada himpunan bagian S memiliki r elemen dimana r≤n disebut kombinasi n obyek yang diambil sebanyak r obyek sekaligus, simbulnya adalah atau ditulis C(n,r) Banyaknya kombinasi yg dimaksud adl = Catatan: urutan tidak diperhatikan maksudnya adalah elemen bentuk ab dengan elemen bentuk ba dianggap satu elemen(dianggap sama) n r n r n! r! (n-r)!

  8. Contoh seorang pelatih basket akan memilh komposisi pemain yg akan diturunkan dlm pertandingan , ada 12 orang pemain yg dapat dipilih. Berapa macam tim yg dapat dibentuk? Jawab jumlah pemain basket dalam suatu tim ada 5 orang Banyak tim yg dapat dibentuk adl = = =792 Contoh 2 Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan laki-laki dan 7 karyawan wanita , lalu akan dipilih 5 orang untuk mengerjakan suatu proyak, ada berapa tim yg dapat dibentuk apabila dalam tim tersebut harus a)Terdiri dari 3 karyawan laki dan 2 karyawan wanita Jawab Untuk laki-laki adl C(5,3))= = 10 Untuk wanita adl C(7,2) = =21 Jadi unt milih tim terdiri 3 laki dan 2 wanita adl , =210 cara 12 ! 5! (12-5)! 12.11.10.9.8 1.2.3.4.5 12 5 5! 3!(5-3)! 7! 2!(7-2)! 7! 2!(7-2)! 5! 3!(5-1)!

  9. b) Terdiri dari paling sedikit terdapat 1 karyawan lakijawab Kasus ini ada 5 tim(setiap tim ada beberapa cara) tim satu 1 laki dan 4 wanita banyak cara adl 5 7 1 4 cara=175 Tim dua 2 laki dan 3 wanita banyak cara adl 5 7 2 3 cara=350 Tim tiga 3 laki dan 2 wanita banyak cara adl 5 7 3 2 cara=210 Tim empat 4 laki dan 1 wanita banyak cara adl 5 7 4 1 cara=35 Tim lima 5 laki dan 0 wanita banyak cara adl 5 7 5 0 cara=1 Jadi cara memilih paling sedikit 1karyawan laki adl semua cara dijumlah=771

  10. Permutasi (urutan diperhatikan artinya elemen ab beda dg elemen ba) pengulangan elemen tidak diperbolehkanartinnya tdk bisa dplih lagi Misalkan dalam kelas terdiri dari 30 mahasiswa coba perhatikan 2 kasus berikut; yaitu a) diambil 2 mahasiswa ada berapa cara b) diambil 1 mahasiswa sbg ketua dan 1 mahasiswa lagi sebagai bendahara Terlihat kasus ponit b) adalah permutasi karena ab dg ba adl beda sedangkan kasus a) terlihat ab dengan ba adalah sama (dihitung satu elemen ) Perhatikan gambar tentang 4 elemen diambil 2 elemen berikut; {a,b,c,d} { a,b} a,b b,a { a,c} a,c c,a {a,d} {b,c} { b,d} {c,d } dstnya ,dari sini didapat rumus

  11. Rumus cecara umum untuk r obyek yg diambil dari n obyek adalah P(n,r) = jika n=r disebut permutasi n obyek P(n,n)=n! n! (n-r)! Contoh Suatu undian dilakukan dg menggunakan angka yg terdidi dari 7 digit , jika digit digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dg yang lain , ada berapa kemungkinan nomer undiannya? Jawab Dalam undian tsb jelas urutan angka diperhatikan (dihitung), maka banyaknya undian adlah P(10, 7) = =10.9.8.7.6.5.4=604800 macam kmungkin Contoh 2 Sebuah grup terdiri dari 7 wanita dan 3 pria . Ada berapa macam cara berbaris yg mungkin dibuat jika 3 pria tersebut selalu kumpul/bersebelahan Jawab dalam hal ini ada dualangkah penyelesaiannya Langkah 1 adalah permutasi dari 3 obyek adalah P(3,3)=3!=3.2.1=6 Langkah 2 adl permutasi dari 8 obyek P(8,8)=8!=40320 Jadi macamnya grup laki dan wanita adalah (6)(40320)=241920 macam 10! (10-7)!

  12. Rumus permutasi untuk susunan melingkar dengan n obyek yang beda adalah P(n,n)=(n-1)!Berkurang karena posisi obyek yang pertama yang ditempatkan tidak begitu penting (yang dipentingkan kedudukan setiap obyek relatif dengan obyek yang lain Kombinasi dan permutasi dengan elemen berulang(elemen nya sama/elemen ada yang lebih dari satu Jika suatu himpunan terdiri dari n obyek tersusun dari Jenis 1 sebanyak n1 Jenis 2 sebanyak n2 ……………………. Jenis k sebanyak nk , dimana n1+n2+…..+nk=n Menggunakan rumus P(n,n1,n2,….nk)= ... = contoh Tentukan banyaknya macam cara untuk menyusun huruf-huruf dalam kata MISSISSIPPI Jawab n=11, jenis huruf M =1 buah jenis huruf I =4 buah n! n1!.n2!......nk! n-n1 n2 n n1 n-n1-n2-..n(k-1) nk

  13. Jenis huruf S =4 buahjenis huruf P =2 buahjadi banyaknya cara adl = =34650 11! 1!.4!.4!.2! Contoh Ada berapa macam cara agar 23 macam buku yang berbeda dapat diberikan pada 5 mahasiswa dengan aturan 2 mahasiswa memperoleh 4 buku dan 3 mahasiswa memperoleh 5 buku Jawab Ada dua langkah Langkah pertama memilih 2 mahasiswa memperoleh 4 buku Ada 5 = 5! =10 cara (rumus 2 sekat) 2 2! (5-2)! Langkah kedua pendistribusian 23 buku dibagikan 5 mahasiswa, itu merupakan permutasi berulang yaitu cara (rumus 5 sekat) Jadi banyak cara pendistribusiannyaadl = ...... macam cara 23! 4!.4!.5!.5!.5! 23! 4!.4!.5!.5!.5! 10

  14. Aplikasi kombinatorika dalam ilmu Komputer 1. Pengenal (identifer) dalam Pascal -harus dibuat(dideklarasikan) dulu sebelum identifertsb dipakai -identifer terdiri dari gabungan huruf, angka dan simbul-simbulhusus -karakter pertama harus huruf -panjang identifer tentangkompileryg dipakai -identifer yang sudah dipakai oleh pascal sebagai kata kunci(reserved word) tdk boleh dipakai untuk keperluan lain seperti begin, end dll Contoh Misalkan dalam kompilerpascal, identifer tersusun dari 26 huruf,10 angka dan 3 simbulhusus, panjang identiferyg diizinkan 8 karakter, jumlah kata kunci yang sudah dipakai 35, berapa identiferyg masih dapat digunakan? Jawab

  15. Jawab Panjang identifer maksimal 8 karakter -Identiferdengan panjang 1 karakter =26 macam (karena pertama hrs huruf) -Identiferdengan panjang 2 karakter= (26)(39) macam (karena karakter pertama harus huruf karakter kedua bisa berupa huruf,angka dan sibulhusus) -identiferdengan panjang 3 karakter=26(39)2 -identiferdengan panjang 4 karakter=26(39)(39)(39)=26(39)3 ……………………………………………….. -identiferdengan panjang 8 karakter=26(39)(39)(39)(39)(39)(39)(39)=26(39)7 jadi jumlah identiber dengan panjang maksimal 8 adal=jumlah semua identiferdengan panjang 1 sampai 8 dijumlahkan yaitu 26+26(39)+26(39)2+26(39)3………..+26(39)7 Karena sudah dipakai 35 identifer sebagai kata kunci seinggaidentifer yang dapat dipakai adalah; (26+26(39)+26(39)2+26(39)3………..+26(39)7-35) macam

  16. Jumlah iterasi dalam suatu loop(kalang) -kebanyakan program menggunakan kalang -statemen dalam kalang inilah yang sering dieksekusi sehingga lama waktu eksekusi tgt dari banyaknya kalang-kalang dalam yang dieksekusi contoh Perhatikan kalang FOR dibawah ini , berapa kali statemen didalamnya dieksekusi? • For i = 1 to n do statemen – statemen dalam kalang. Tidak ada perintah di dalamnya yang menyebabkan eksekusi melompat keluar kalang. { end for - i} Jawab Misal x=statement dalam kalang, x tidak boleh keluar kalang sebelum kalang selesai dieksekusi x akan dieksekusi untuk i=1,2,3,….n; jadi dieksekusi sebanyak n kali

  17. lanjutan • For i = 1 to n Do For j = 1 to m Do Statemen – statemen dalam kalangan. Tidak ada perintah di dalamya yang menyebabkan eksekusi melompat keluar kalang.(jmlah=nilai+kuis) { End For – j } { End For – i} Jawab Eksekusi statemen dalam kalang dapat digambar sbb i=1 j=1 j=2 j=3 …. j=m (dan seterusnya untuk i=2, ………i=n) Ada tiap cabang keluar, statement selalu dieksekusi sekali menggunakan aturan perkalian, maka statement akan dieksekusi sebanyak mana kali

  18. lanjutan Contoh Ada berapa banyak fungsi bool 3 variabel yg dapat dibuat, bila fungsi bool didefinisikan dg mengawankan masing2 bil biner 3 digit 0 atau 1 Jawab Salah satu nilai fungsi biner adl 10011000 jadi didapat cara

  19. Koefisien Binomial 1. Segitiga Pascal Salah satu persamaan dlm kombinatorika dan dapat diguna untuk menghitung kombinasi suatu suku berdasarkan kombinasi suku-suku yg lebih rendah identitas paskal dinyatakan dalam persamaan = + = Secara geometris dapat digambar sbb r n 0 1 2 3 4......... r-1 r 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 ..... ..... .... .... ... n .......................... n+1 ................................. n r-1 n r n+1 r n+1 r+1 nr n+1r-1 n0 n1 n3 n2 n+1r-1 n+1r n+10 n+11

  20. Ada beberapa sifat penting dalam segi tiga Pascal nn n0 • Kondisi batas Nilai segitiga pascal dibagian ujung kiri kanan selalu =1 karena , = =1 b) Kondisi sekunder Nilai segi tiga pascal pd baris ke n di kolom ke dua dan kolom kedua sebelum terakhir selalu = n karena = = n c) Simetris Nilai pada setiap baris bersifat simetris karena = d) Jumlah diagonal: + ...........+ = e) Jumlah baris : + ..........+ .... .. + = 2 2 2 2 2 f) kwadrat penjumlahan baris : + + .......+ ........+ = g) Jumlah kolom :dg bil positif n dan r , nr berlaku : + +.... = n1 n n-1 n k n n-k n+1 0 n+2 1 n+r+1 n-1 n+r r n0 n1 n r nn n0 n1 n2 nr nn 2nn n+1 r+1 r r r+1 r nr

  21. contoh Menggunakan sifat-sifat koefisien binomial hitunglah • 1+2+3+..............+n • ++ .............+ Jawab a) k= maka 1+2+3+.........+n = + + .... = = = = catatan : ingat sifat penjumlahan kolom untuk r=1 • = k(k-1) + k dalam hal ini r=2 2 + maka ++......+ =Σ 2 + = Σ 2 +Σ = 2 + = k 1 1 1 2 1 n 1 n+11+1 n+12 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 n+12+1 n+1 1+1

  22. lanjutan n+2 r Contoh Misalkan n, r bil bulat positif da 2, nyatakan dalam suku-suku , dan Jawab = + ( identitas pascal ) = + + + = +2 + n r n r-1 n r-2 n+2 r n+1 r-1 n+1 r n r-2 n+2 r n+2 r n r-2 n r-1 n r-1 n r

  23. Teorema Binomial dan Multinomial n0 nn n1 n2 Misalkan x dan y dal bilangan 2 riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif maka = + + . + .....+ Contoh Uraikan pernyataan: a) b) dg teorema binomial soal manakah yg lebih besar 101 atau Teorema Multinomial Multinomial jumlah suku berbeda sebanyak t buahyaitu , dalam hal ini jika jumlahan suku t = 2 disebut binomial dg demikian berbentuk (x1+x2+........+xt)n = Σ. .............. ,dimana n1+n2+........+nt = n Dan banyak suku (x1+x2+........+xt)nadalahsedangkn koefisien n+t-1 n

  24. lanjutan Contoh 1 hitunglah koefisien .x3.. pada pernyataan ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )10 2 hitunglah koefisien dan banyak suku .. pada pernyataan (2x-3y+5z)8 Jawab 1. Koefisiennya adl =12600 2. koefisiennya adl .. . = -3024000 dan banyak sukunya adl = = = 45 n+t-1 n

  25. latihan 1. Misalkan 2 dadu yg berbeda warna dilontarkan.Berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah mata dadu genap?Bagaimana jika kedua dadu berwarna sama? • Berapa banyak kode barang yg dapat dibuat menggunakan 1 atau 3 huruf yg diikuti oleh 4 buah angka? • Suatu kemeja merk tertentu memiliki 12 warna pilihan,memiliki versi untuk pria dan wanita,serta 3 ukuran untuk tiap-tiap versi.Berapa banyak tipe kemeja yg dibuat? • Berapa banyak nomor telepon yg bisa dibuat,jika nomor tersebut terdiri dari 7 digit, dua digit pertama antara 2 hingga 9,digit ketiga antara 1 hingga 9,dan digit sisanya bebas? • Dalam suatu kelas akan dipilih seorang ketua,seorang bendahara,dan seorang sekretaris di antara 4 calon (A, B, C, D).Berapa banyak cara yg mungkin dilakukan? • Suatu komite yg beranggotakan paling sedikit 5 orang akan dipilih dari 9 calon yg ada.Berapa macam komite yg dapat dibuat? • Misalkan suatu departemen memiliki 10 staf pria dan wanita.Berapa banyak cara untuk membentuk komite yg beranggotakan 6 orang jika jumlah wanita dalam komite tersebut harus lebih banyak dari jumlah pria?

  26. LANJUTAN 8. Sebuah ruang di kereta api memiliki 10 tempat duduk,5 di antaranya menghadap mesin,dan 5 lainnya membelakangi mesin.Dari 10 penumpang,4 di antaranya senang duduk menghadap mesin,3 senang duduk membelakangi mesin,dan 3orang biasanya duduk di mana saja.Dalam beberapa cara semua penumpang tersebut dapat duduk sesuai keinginannya? 9. Dalam suatu bahasa pemrograman,suatu identifier adalah barisan sejumlah karakter,di mana karakter pertama haruslah huruf dan sisanya haruslah huruf atau angka a. Berapa banyak identifier dengan panjang yg ada? b. Secara khusus,dalam implementasinya dalam bahasa Pascal, identifier adalah barisan 1 hingga 8 karakter dengan ketentuan di atas.Berapa banyak jumlah identifier dalam Pascal? 10. Misalkan bahwa plat nomor kendaraan terdiri dari 3 huruf dan diikuti dengan 3 angka. a. Berapa banyak plat nomor yang mungkin ada? b. Berapa banyak plat nomor yang di awali dengan A dan di akhiri dengan 0? c. Berapa banyak plat nomor yang diawali dengan PDQ?

  27. Lanjutan 11. Di propinsi tertentu, plat nomor kendaraan yang bisa dibuat dari: a. 3 angka diikuti dengan 3 huruf atau 3 huruf diikuti 3 angka? b. 2 huruf diikuti dengan 4 angka atau 2 angka diikuti dengan 4 huruf? c. 3 huruf diikuti dengan 3 angka atau 4 huruf diikuti dengan 2 angka? d. 2 atau 3 huruf diikuti dengan 2 atau 3 angka? 12. Berapa banyak plat nomor kendaraan yang bisa dibuat dari 2 huruf dan diikuti dengan 4 angka? 13. Sebuah badan perwakilan mahasiswa (BPM) beranggotakan 15 mahasiswa. a. Dalam berapa cara sebuah komite yang terdiri dari 6 orang dapat dipilih dari anggota BPM tersebut? b. Dalam berapa cara sebuah komite yang terdiri dari 6 orang dapat dipilih dari anggota BPM tersebut jika ada dua orang anggota BPM kuliah di jurusan yang sama sehingga tidak diperbolehkan duduk bersama dalam sebuah komite? c. Misalkan anggota BPM terdiri dari 8 pria dan 7 wanita. - Berapa macam komite yang terdiri dari 3 pria dan 3 wanita dapat dibentuk? - Berapa macam komite yang beranggotakan 6 orang dapat di bentuk jika paling sedikit harus beranggotakan 1 wanita. d. Misalkan anggota BPM terdiri 3 mahasiswa tahun ke-1, 4 mahasiswa tahun tahun ke-2,3 mahasiswa tahun ke-3, dan 5 mahasiswa tahun ke-4.

  28. Lanjutan Berapa banyak komite dengan 8 anggota dapat di pilih sedemikian hingga setiap angkatan diwakili oleh 2 orang? 14. Sebuah tim pembuatan software beranggotakan 14 orang a. Berapa banyak cara dapat dilakukan untuk membentuk grup yang terdiri dari 7 orang? b. Misalkan 8 orang dalam tim tersebut adalah wanita dan 6 lainnya pria. - Berapa macam grup yang terdiri dari 3 pria dan 4 wanita dapat dibentuk? - Berapa macam grup yang beranggotakan 7 orang dan paling sedikit 1 orang diantaranya pria dapat di bentuk? - Berapa macam grup yang beranggotakan 7 orang dan paling banyak 3 orang wanita di antaranya dapat dibentuk? 15. Seorang mahasiswa harus menjawab 12 dari 15 pertanyaan dalam suatu ujian. Berapa banyak pilihan yang dimiliki mahasiswa tersebut. a. Seluruhnya? b. Jika ia harus menjawab 2 pertanyaan pertama? c. Jika ia harus menjawab pertanyaan pertama atau pertanyaan kedua, tetapi tidak keduanya. d. Jika ia harus menjawab 3 dari 5 pertanyaan pertama? e. Jika ia harus menjawab paling sedikit 3 dari 5 pertanyaan pertama?

  29. Lanjutan 16. Dalam berapa cara digit-digit 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9 disusun sehingga: a. Digit 0 dan 1 bersebelahan b. Digit 0 dan 1 bersebelahan dan dalam bentuk 01 c. 0,1,2 dan 3 bersebelahan. 17. Suatu bilangan yang terdiri dari 4 digit akan di bentuk dengan hanya menggunakan digit 3,4,5,6, dan 7. a. Dengan berapa cara pembentukan dapat dilakukan? b. Dalam berapa cara bilangan pada (a) memiliki digit yang berulang? c. Dalam beberapa cara bilangan pada (a) lebih besar dari 5000? d. Dalam beberapa cara bilangan pada (a) genap? 18. Bilangan yang terdiri dari 4 digit akan di bentuk menggunakan digit-digit 1,2,3,4,5,6,7,8 ( tanpa perulangan) a. Berapa banyak bilangan yang dapat di bentuk? b. Berapa banyak diantaranya bilangan yang kurang dari 4000? c. Berapa banyak di antaranya bilangan yang genap? d. Berapa banyak di antaranya bilangan yang ganjil? e. Berapa banyak di antaranya bilangan yang merupakan kelipatan dari 5? f. Berapa banyak di antaranya bilangan yang memiliki digit 3 dan digit 5?

  30. Lanjutan 19. Dalam himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, ...100} a. Berapa banyak bilangan genapnya? b. Berapa banyak bilangan ganjilnya? c. Berapa banyak cara untuk mengambil 2 bilangan dari himpunan tersebut sehingga jumlahnya genap? d. Berapa banyak cara untuk mengambil 2 bilangan dari himpunan tersebut sehingga jumlahnya ganjil? 20. Berapa banyak bilangan a. genap antara 1 hingga 1001? b. bulat antara 1 hingga 1001 yg habis dibagi 3? c. bulat 4 digit yg habis dibagi 5? d. bulat digit yg merupakan kelipatan? 21. Anda diberi 8 buku berbahasa Inggris yg berbeda-beda,12 buku berbahasa Jerman yg berbeda,dan 5 buku berbahasa Rusia yg berbeda.Tentukan banyaknya cara untuk mengatur buku-buku tersebut dalam rak jika : a. semua buku dg bahasa sama harus dikelompokkan menjadi satu b. semua buku berbahasa Inggris harus terletak di sisi paling kiri c. semua buku berbahasa Inggris harus terletak di sisi paling kiri dan semua buku berbahasa Jerman harus terletak di sisi paling kanan.

  31. LANJUTAN 22. Carilah banyaknya cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk 5 pria dan 5 wanita dalam satu baris : a. tanpa syarat b. jika mereka harus duduk berselang-seling c. ulangi soal (b) jika pria A dan wanita B harus duduk bersebelahan d. ulangi soal (b) jika pria A dan wanita B tidak boleh duduk bersebelahan 23. 6 orang menonton bioskop bersama-sama a. berapa banyak cara yg dapat dilakukan untuk mengtur tempat duduk mereka dalam satu baris b. misalkan salah satu di antaranya harus duduk di ujung.berapa banyak cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk mereka dalam satu baris? c. misalkan keenam orang tersebut terdiri dari 3 pasang suami-istri.setiap pasangan ingin duduk bersebelahan,dg suami di kiri.berapa banyak cara yg dapat dilakukan untuk mengatur tempat duduk mereka dalam satu baris?

  32. LANJUTAN 24. Dalam kata HULLABALOO : a. berapa macam berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya? b. berapa macam cara berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya jika harus dimulai dg huruf U dan berakhir dg huruf L? c. berapa macam cara berbeda untuk mengatur huruf-hurufnya jika dalam pengaturan tersebut harus memuat huruf HU yg bersebelahan satu sama lain? 25. Buktikan bahwa : a. k³ = k(k-1)(k-2) + 3k²-2k = k + 6 k + 6 k 1 2 3 b. gunakan hasil (a) untuk menghitung 1³+2³+.....+n³ 26. Carilah koefisien : a. dalam ekspresi b. x³ y7dalam ekspansi c. x100 y101 dalam ekspansi d. dalam ekspansi 27. Hitunglah menggunakan teorema binomial : a. b. y

  33. 28. Tentukan koefisien : a. XXXX dalam ekspansi ( + + + + )10 b. dalam (x – 7y + 3z – w)25 c. dalam (a + bx + c)10 29. Perhatikan potongan algoritma berikut. Berapa kali statement di loop terdalam akan di iterasi jika program tersebut dijalankan? • For i : = 1 To 4 For j : = 1 To i (statement yang ada dalam tubuh loop. Tidak ada statement melompat keluar loop) Next j Next i • For i : = 1 To n (n adalah bil. Bulat.) For j : = 1 To i (statement yang ada dalam tubuh loop. Tidak ada statement melompat keluar loop) Next j Next i

More Related