1 / 75

RELASI

STRUKTUR DISKRIT. K-4. RELASI. Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia. RELASI. Relasi biner R dari himpunan P ke himpunan Q adalah himpunan bagian dari Cartesian product P dan Q ( P x Q ) Contoh 1:

miranda-ballard
Download Presentation

RELASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. STRUKTUR DISKRIT K-4 RELASI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Struktur Diskrit

  2. RELASI • Relasi biner R dari himpunan P ke himpunan Q adalah himpunan bagian dari Cartesian productP dan Q (P x Q) • Contoh 1: • P = {1, 2, 3} and Q = {a, b} • R = {(1,a), (1,b), (2,b), (3,a)} adalah relasi antara P dan Q.

  3. RELASI • Notasi: R (PQ). • a R badalahnotasiuntuk (a, b) R, yang artinyaadihubungankandenganbolehR • aRbadalahnotasiuntuk (a, b) R, yang artinyaatidakdihubungkanolehbolehrelasiR.

  4. DOMAIN & RANGE • JikaRmerupakanrelasidariPkeQ, maka • HimpunanPdisebutdaerahasal (domain) dariR, danhimpunanQ disebutdaerahhasil (range) dariR. • DomaindariRadalahhimpunan • Dom(R) = { xX | (x, y) RuntuksetiapyY} • RangedariRadalahhimpunan • Rng(R) = { yY | (x, y) Runtuksetiap x X}

  5. DOMAIN & RANGE • Contoh 2 : • JikaP = {1, 2, 3} dan Q = {a, b} • R = {(1,a), (1,b), (2,b)} • Maka : • Dom(R)= {1, 2}, Rng(R) = {a, b}

  6. Contoh 3 : • Misalkan X = {1, 2, 3} and Y = {a, b, c, d}. • Didefinisikan relasi : R = {(1,a), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c)} • Relasi R dapat digambar sbb.

  7. Contoh 4 : • Misaldiketahui : P = {2, 3, 4} danQ = {2, 4, 8, 9, 15}. JikadidefinisikanrelasiRdariPkeQ dengan (p, q) Rjikaphabismembagiq • makakitaperoleh R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8),}

  8. Relasi Unary • Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus • Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AA. • Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari AA.

  9. Contoh 5 : • Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) R jika x adalah faktor prima dari y. Maka • R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

  10. Contoh 11a. • MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdidefinisikanpadahimpunanA, maka • R = { (2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3) } bersifattransitif. Pasanganberbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2)

  11. Contoh 11b. • MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdidefinisikanpadahimpunanA, maka • R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidaktransitifkarena • (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitujuga • (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R.

  12. Contoh 11c. • MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelastransitif. • RelasiR = {(1, 2), (3, 4)} transitifkarenatidakada (a, b) Rdan (b, c) Rsedemikiansehingga (a, c) R. • Relasi yang hanyaberisisatuelemensepertiR = {(4, 5)}selalutransitif.

  13. 3. SIMETRIS • RelasiRpadahimpunanAdisebutsimetrisjika (a, b) R, maka (b, a) Runtuksetiapa, bA. • RelasiRpadahimpunanA disebuttidaksimetrisjika (a, b)Rsedemikiansehingga (b, a) R.

  14. 4. ANTI-SIMETRIS • RelasiRpadahimpunanAsedemikiansehingga (a, b) Rdan (b, a) Rhanyajikaa = buntuksetiapa, bAdisebutanti-simetris. • RelasiRpadahimpunanAdisebuttidakanti-simetrisjikaadaelemenberbedaadanbsedemikiansehingga (a, b) Rdan (b, a) R.

  15. Contoh 14a. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat : • Simetriskarenajika (a, b) Rmaka (b, a) R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitujuga (2, 4) dan (4, 2) R.

  16. Contoh 14b. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } • tidaksimetriskarenaadaelemen (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

  17. Contoh 14c. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } • Anti-simetriskarena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. • Rjugasimetris.

  18. Contoh 14d. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } • Anti-simetriskarena (1, 1) Rdan 1 = 1 dan, (2, 2) Rdan 2 = 2 dan. • Rtidaksimetris.

  19. Contoh 14e. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } • tidak anti-simetriskarena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggotaR. • R bersifatsimetris. • Rpadacontoh 14.a dan 14.b jugatidak anti-simetris.

  20. Contoh 14f. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } • tidaksimetristetapi anti-simetris.

  21. Contoh 14g. • JikaA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRberikutdidefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} • tidaksimetrisdantidak anti-simetris. • Rtidaksimetriskarena (4, 2)Rtetapi (2, 4)R. Rtidak anti-simetriskarena (2, 3) Rdan (3, 2) Rtetapi 2  3.

  22. Contoh 15 • Relasi “habismembagi” padahimpunanbilanganbulatpositif, bagaimanasifatrelasitsb ? • tidaksimetriskarenajikaahabismembagib, btidakhabismembagia, kecualijikaa = b. • Misal : 2 habismembagi 4, tetapi 4 tidakhabismembagi 2. Karenaitu, (2, 4) Rtetapi (4, 2) R. • Sehinggaberlakusifat anti simetris. • Misal : 4 habismembagi 4. Karenaitu, (4, 4) Rdan 4 = 4.

  23. Contoh 16 • TigabuahrelasiberikutmenyatakanrelasipadahimpunanbilanganbulatpositifN. • R : xlebihbesardariy, • S : x + y = 6, • T : 3x + y = 10 • Apasifatdarimasing-masingrelasitsb ?

  24. Contoh 16 • R : xlebihbesardariy, • Rbukanrelasisimetriskarena, misalkan 5 lebihbesardari 3 tetapi 3 tidaklebihbesardari 5.

  25. Contoh 16 • S : x + y = 6, • Srelasisimetriskarena (4, 2) dan (2, 4) adalahanggotaS. • Sbukanrelasi anti-simetriskarena, misalkan (4, 2) Sdan (4, 2) Stetapi 4  2.

  26. Contoh 16 • T : 3x + y = 10 • Ttidaksimetriskarena, misalkan (3, 1) adalahanggotaTtetapi (1, 3) bukananggotaT.

  27. Relasi yang bersifatsimetrismempunyaimatriks yang elemen-elemendibawah diagonal utamamerupakanpencerminandarielemen-elemendiatas diagonal utama, ataumij = mji= 1, untuki = 1, 2, …, n : • Sedangkangrafberarahdarirelasi yang bersifatsimetrisdicirikanoleh: jikaadabusurdariakeb, makajugaadabusurdaribkea.

  28. Matriksdarirelasianti-simetrismempunyaisifatyaitujikamij = 1 denganij, makamji= 0. Dpl, matriksdarirelasianti-simetrisadalahjikasalahsatudarimij = 0 ataumji = 0 bilaij. • Sedangkangrafberarahdarirelasi yang bersifatanti-simetrisdicirikanoleh: jikadanhanyajikatidakpernahadaduabusurdalamarahberlawananantaraduasimpulberbeda.

  29. RelasiEkivalen RelasiRpadahimpunanAdisebutrelasiekivalen/kesetaraan(equivalence relation) jikaia • refleksif, • transitifdan • simetris.

  30. Secaraintuitif, didalamrelasiekivalen, duabendaberhubunganjikakeduanyamemilikibeberapasifat yang samaataumemenuhibeberapapersyaratan yang sama. • Duaelemen yang dihubungkandenganrelasiekivalendinamakansetara (equivalent).

  31. Contoh: A = himpunanmahasiswa, Rrelasipada A: (a, b) Rjikaasatuangkatandenganb. Rrefleksif : • setiapmahasiswaseangkatandengandirinyasendiri Rsimetris : • jikaaseangkatandenganb, makabpastiseangkatandengana. Rtransitif : • jikaaseangkatandenganbdanbseangkatandenganc, makapastilahaseangkatandenganc. Dengandemikian, Radalahrelasiequivalent.

  32. Relasi Pengurutan Parsial RelasiRpadahimpunanSdikatakanrelasipengurutanparsial (partial ordering relation) jikaiarefleksif, anti-simetris, dantransitif. HimpunanSbersama-samadenganrelasiRdisebuthimpunanterurutsecaraparsial(partially ordered set, atauposet), dandilambangkandengan (S, R).

  33. Contoh:Relasipadahimpunanbilanganbulatadalahrelasipengurutanparsial.Contoh:Relasipadahimpunanbilanganbulatadalahrelasipengurutanparsial. Alasan: Relasi: refleksif, • karenaaauntuksetiapbilanganbulata; Relasi: anti-simetris, • karenajikaabdanba, makaa = b; Relasi: transitif, • karenajikaabdanbcmakaac.

  34. Contoh: Relasi “habismembagi” padahimpunanbilanganbulatadalahrelasipengurutanparsial. Alasan: relasi “habismembagi” bersifatrefleksif, anti-simetris, dantransitif.

  35. Secaraintuitif, didalamrelasipengurutanparsial, duabuahbendasalingberhubunganjikasalahsatunya: • lebihkecil (lebihbesar) daripada, atau • lebihrendah (lebihtinggi) daripadalainnyamenurutsifatataukriteriatertentu.

  36. Istilahpengurutanmenyatakanbahwabenda-bendadidalamhimpunantersebutdirutkanberdasarkansifatataukriteriatersebut. • Adajugakemungkinanduabuahbendadidalamhimpunantidakberhubungandalamsuaturelasipengurutanparsial. Dalamhaldemikian, kitatidakdapatmembandingkankeduanyasehinggatidakdapatdiidentifikasimana yang lebihbesarataulebihkecil. • Itulahalasandigunakanistilahpengurutanparsialataupengurutantak-lengkap

  37. Latihan • Jika |A| = ndanrelasiR : A AmakaberapabanyakrelasiR yang memilikisifat • Refleksif ? • Simetris ? Struktur Diskrit

More Related